2021届江苏省常州市前黄高级中学、溧阳中学高三上学期期末联考数学试题含解析

这是一份2021届江苏省常州市前黄高级中学、溧阳中学高三上学期期末联考数学试题含解析，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届江苏省常州市前黄高级中学、溧阳中学高三上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则集合中元素的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先用列举法表示出集合B，再根据交集的概念求出，即可得出结果.【详解】，∴，即有2个元素故选：B.2．若，则z的虚部为（    ）A．1 B．-1 C．i D．【答案】B【分析】根据复数的除法运算，先求出，再根据共轭复数的定义求出，即可求出虚部.【详解】∵，∴∴，∴z的虚部为故选：B3．在的二项展开式中，的系数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得二项展开式的通项，结合通项确定的值，代入即可求解.【详解】由二项式展开式的通项为，当时，可得所以的系数为.故选：D.4．已知平面向量，，且，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．【详解】解：由平面向量，可得，由，可得，即，则，，故选：．5．年月日凌晨，嫦娘五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆.嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度(单位:)和燃料的质量(单位:)、火箭(除燃料外)的质量(单位:)的函数关系表达式为.如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据表达式，以及如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系，令 ，化简即可得出.【详解】依题意可知，可得，即，可得.如果火箭的最大速度达到，则燃料的质量与火箭的质量的关系是.故选：D6．设 ，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，则,再由指数、对数函数的单调性得出大小，得出答案.【详解】由，则 ， ， 所以故选：D7．函数的导函数在上的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据，得到，然后求得导函数判断.【详解】因为，所以，，所以，周期是，故选：B8．在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为A． B． C． D．【答案】B【分析】易得出AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，设球心为O，则OB＝OC＝OD，BO⊥AD，BO⊥OC，从而BO⊥平面ACD，由此能求出四面体ABCD的体积．【详解】在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，设球心为O，则O为AD的中点，∴AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，OB＝OC＝OD，BO⊥AD，BO⊥OC，∴BO⊥平面ACD，∴四面体ABCD的体积为：VB﹣ACD．故选：B【点晴】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题． 二、多选题9．下列命题中正确的是（    ）A．命题". sinx"的否定是“ x∈R，sinx>1"B．“a>1"是<1”的充分不必要条件C．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，则△ABC为锐角三角形D．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A= sin2B，则A=B【答案】AB【分析】根据命题的否定，充分条件与必要条件的定义，逐个选项进行判断即可【详解】对于A，符合命题的否定的定义，A正确；对于B，“a>1”可以推导出<1，但是<1，包括，所以，<1无法得出a>1，所以，B正确；对于C，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，只能说明为锐角，无法说明△ABC为锐角三角形，C错误；对于D，sin2A= sin2B，当时，同样成立，D错；故选：AB10．已知等差数列的前项和为（），公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（    ）A． B．C．当或时，取得最大值 D．当时，的最大值为21【答案】BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断，；由配方法，结合为正整数，可判断；由解不等式可判断．【详解】解：由公差，，可得，即，①由是与的等比中项，可得，即，化简得，②由①②解得，，故A错，B对；由因为，可得或11时，取最大值110，C对；由，解得，可得的最大值为20，D错；故选：BC．11．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，M为线段AB的中点，则（    ）A．以线段AB为直径的圆与直线相切B．以线段BF为直径的圆与y轴相切C．当时，D．（O为坐标原点）【答案】ABD【分析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.【详解】对于选项A，AB的中点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，A正确；对于选项B，C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线可得 ，，，则，D正确，若设，易见，，则，设线段BF中点是N，则，则，N到y轴的距离是，故以线段BF为直径的圆与y轴相切，B正确；又 ，当可得，，所，，C错误.故选：ABD.【点睛】抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线的焦点F的弦，若，，是弦AB的倾斜角，则：（1），；（2） ；（3）；（4）以线段AB为直径的圆与准线相切；（5）以线段AF或BF为直径的圆与y轴相切.12．已知曲线在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是（    ）A．存在ω，使B．存在ω，使C．有且仅有一个，使D．存在，使【答案】ABD【分析】利用特殊值，结合图象确定各个选项的正确性【详解】对于AB选项，取，画出的图象如下图所示，符合“在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心”.此时，故AB选项正确.对于CD选项，取，画出的图象如下图所示，符合“在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心”.，由图可知在区间上有两个，使，C选项错误.由图可知，存在，使，D选项正确.故选：ABD【点睛】有关三角函数图象与性质的题目，结合图象可以迅速解答.  三、填空题13．已知，则的值为________．【答案】【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的关系，运用弦化切，代入可求得值.【详解】原式,又∵，∴原式，故答案为：.【点睛】本题考查同角三角函数的关系，和运用二倍角公式化简求值问题，关键在于将齐次式转化为正切的式子，属于基础题.14．CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种.【答案】360【分析】理解题意，分两步安排，先安排接待工作，再安排讲解工作. 安排接待工作时，甲和乙至多安排1人，故分没安排甲乙和甲乙安排1人两类求解，从而计算出不同的安排方案总数.【详解】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有种，一类是甲乙安排1人有种，再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共种，故不同的安排方案共有种.故答案为：360.【点睛】本题考查了排列、组合的综合应用，考查了分析理解能力，分类讨论思想，属于中档题.15．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲､乙､丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为__________.“我身边的榜样”评选选票候选人符号注：1.同意话“○”，不同意画“×”.2.每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票.甲 乙 丙  【答案】95%【分析】假设总票数为100张，投1票的，投2票的，投3票的，则有，整理后得到当时取最小值5，进而可计算出投票的有效率．【详解】解：不妨设共有选票100张，投1票的，投2票的，投3票的，则有，整理可得，即，由题意，若要投票有效率越高，则需越小，故当时，最小为5，此时，此时投票的有效率为，故答案为：．16．如图，在底面边长为，高为的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为___________．【答案】.【分析】设出小球半径，结合图形，利用已知条件，根据勾股定理，即可求出答案.【详解】易知大球的半径为 ，设小球的半径为，为小球球心，为大球球心，大球与正四棱柱的下底面相切与点，小球与正四棱柱的上底面相切与点，连接，作 于点，如图，由题意可知，,，所以，, 因为两圆相切，所以 ，因为为直角三角形，所以，即 ， 又因为 ，所以 .故答案为：.【点睛】与球有关的“切”“接”问题，主要考查学生的空间想象能力，解答时要准确掌握“切”“接”问题的处理规律.(1) “切”的处理首先要找准切点，通过做截面来解决，使截面过切点和球心.(2) “接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. 四、解答题17．已知递增的等差数列中，、是方程的两根，数列的前n项和为，且（1）求数列，的通项公式；  （2）记，求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由条件可得，，即，可求出，先求出，当时，，，两式相减得，可求出.
（2）由（1）可得，由错位相减法求和即可.【详解】(1)得，，因为是递增，所以，，即得，所以 在中，令得，，当时，，，两式相减得  ，是等比数列，所以 (2) 两式相减得：，所以【点睛】关键点睛：本题考查求等差、等比数列的通项公式和利用错位相减法求和，解答本题的关键是利用错位相减法求和的步骤，以及计算要准确，由 减去时的运算要求准确，属于中档题.18．已知中，.（1）中是否必有一个内角为钝角，说明理由.（2）若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.请证明使得存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值.【答案】（1）是，理由见解析；（2）证明见解析，满足条件①③④，.【分析】（1）利用正弦定理可得，再利用两角和的正弦公式可得，即可得到答案；（2）先证明若满足①②同时成立是不可能的，从而得到要么满足①③④或②③④，进行求解证明；【详解】解：（1）因为，由正弦定理可得，在中，，，所以不等式整理为，即，因为，，所以，所以B为钝角.（2）（i）若满足①②，由（1）B为钝角，A，C为锐角，及，可得，，所以不符合B为钝角，故①②不同时成立.（ii）若满足①③④，则正弦定理可得，即，所以，又，所以，在三角形中，，所以或，而由（1）可得，所以可得，，所以.(iii)若满足②③④，由B为钝角，，所以，而，所以，这时，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立.综上所述：只有满足①③④时.【点睛】本题考查正弦定理、两角和的正弦公式，是高考中的新题型，求解时注意逻辑推理能力的考查与运用.19．如图，正方形和所在平面互相垂直，且边长都是1，，，分别为线段，，上的动点，且，平面，记.（1）证明：平面；（2）当的长最小时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）求出的长最小时点的位置，然后分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）因为平面，且平面，平面平面，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又因为平面平面，且平面，平面平面，所以平面.（2）由（1）知，，，当且仅当时等号成立，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，因为，，则，取，得，设平面的一个法向量为，因为，，则，取，得，所以，则二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，考查用空间向量法求二面角，解题关键是是建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量的夹角得二面角，注意观察二面角是锐二面角还是钝二面角．20．为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取140名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的有90名客户.（1）完成下面列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关； 对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数   对业务水平不满意人数   合计   （2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该社区中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少?附：00100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，期望为；（3）.【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表，由公式计算，结合临界值表，即可判定结果；（2）根据题意，得到的可能取值，分别求出对应的概率，即可得出分布列，进而可得出期望；（3）先由题意，计算出从该运营系统中任选一名客户流失的概率，再由互斥事件的概率计算公式，即可得出结果.【详解】解：（1）由题意知对业务水平的满意的为120人，对服务水平的满意的为100人，得列联表： 对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数9030120对业务水平不满意人数101020合计10040140.所以，有的把握认为业务水平与服务水平有关.（2）的可能取值为0，1，2；所以，，.则的分布列如下，012.（3）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为.从该运营系统中任选一名客户流失的概率为，在业务服务协议终止时，从社区中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为.【点睛】本题主要考查独立性检验，考查求离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率计算，属于跨章节综合题.21．已知函数，.（1）当时，求的零点；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）求导数，确定函数的单调性，求得最小值，从而得零点；（2）求出导函数，然后分类讨论，时，求得，然后令，利用导数证得，不合题意；时，令，再求，由确定的单调性，确定零点，从而得的最小值为，然后根据和的关系可证，从而得证结论成立．【详解】（1）由题知：当时，，，令，所以，所以在上单调递增，且，所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以，所以的零点为.（2）因为，当时，，令，因为；所以在上单调递增，所以，即，所以不合题意，当时，令，则，所以在上单调递增，且，，所以存在，使得，即，，所以，当时，设，在上单调递减；当时，设，在单调递增；所以.综上，所求的取值范围为.【点睛】本题考查用导数研究函数的零点，研究不等式恒成立问题，解题思路是用导数求得函数的最小值，证明最小值不小于0，为此需要对导函数再次求导，确定单调性，确定零点，得原函数的最小值．式子中含有两个字母时，需根据它们的关系消元化为一元函数．22．已知椭圆C： 的离心率为，且经过点,直线l与椭圆C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，若，求证：直线l经过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由椭圆的离心率和过定点的坐标，列出之间的关系式，求得的值，进而求得椭圆的方程；（2）设的坐标，由，设的坐标，可得的坐标，求出的方程，与椭圆的方程联立求得、的坐标，假设直线过定点的坐标，向量和的交叉相乘积为0时，求得，即可求解.【详解】（1）依题意，椭圆C： 的离心率为，且经过点，可得，解得，所以椭圆C的方程为.（2）设，则，因为，所以直线PM方程为，联立方程组，整理得，即，即，所以，，同理，，猜想：直线AB过定点，其中待定．证明：因为，，由，所以当时，恒成立．所以直线AB即直线l过定点．【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．