2022届重庆市第八中学高三上学期8月入学摸底测试数学试题含答案

重庆八中2021—2022学年度高三（上）入学摸底测试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．已知函数，则（    ）．

A． B． C．0 D．2

3．已知函数定义域为，则函数定义域为（    ）．

A． B． C． D．

4．直线是曲线的一条切线，则实数（    ）．

A．或3 B．1或5 C． D．5

5．设，，，则，，的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

6．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ）．

A．  B．

C．  D．

7．若对任意的正实数，不等式，则实数的最大值是（    ）．

A． B． C． D．

8．设实数，若对任意的，不等于恒成立，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题中，正确的命题有（    ）．

A．函数与是同一个函数

B．命题“，”的否定为“，”

C．

D．已知，则“”是“”的充分不必要条件

10．悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程其中为参数．当时，我们可构造出双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数．关于双曲线，下列结论正确的是（    ）．

A．是偶函数 B．

C． D．

11．设函数，则关于的方程的实数根的个数可能为（    ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）．

A．函数有极小值

B．函数在处的切线与直线垂直

C．若有三个实根，则的取值范围为

D．若时，，则的最小值为3

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．

13．函数的单调递增区间是______．

14．若函数不存在极值点，则的取值范围是______．

15．若函数是偶函数，且在上单调递减，则满足的的解集是______．

16．已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知的内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角；

（2）若，，求的面积．

18．（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

19．（本小题满分12分）

某中学校为了判断学生对几何题和代数题的感兴趣程度是否与性别有关，在校内组织了一次几何题与代数题选答测试，现从所有参赛学生中随机抽取100人，对这100名学生选答几何题与代数题的情况进行了统计．其中男同学40人，女同学60人，所得统计数据（单位：人）如下表所示：

（1）请将题中表格补充完整，并判断能否有99%的把握认为“学生是否选择几何题和代数题与性别有关”；

（2）该中学校多次组织学生作答几何题与代数题，据以往经验，参赛学生做对代数题的概率为，做对几何题的概率为，且做对代数题与几何题相对独立．该学校再次组织了一次测试活动，测试只有三道试题，一道代数题，两道几何题，规定参赛学生必须三道试题都要作答．用表示某参赛学生在这次测试中做对试题的个数，求随机变量的分布列和数学期望．

参考公式：，其中．

临界值表供参考：

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，，分别是棱，的中点，是棱上一点．

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆：（）的离心率为，长轴端点和短轴端点的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆上异于椭圆端点的任意一点，过点且平行于的直线与椭圆相交于，两点（点为坐标原点），是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数（）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若函数的两个极值点，（）恰为函数的两个零点，且的取值范围是，求实数的取值范围．

数学试题参考答案

命题：张新、王虎军   审题：张新   打印：王虎军   校对：张新

一、选择题：

1．B  【详解】由题意，，故，故选B．

2．D  【详解】，∴．

3．A  【详解】函数需满足，解得．

4．B  【详解】令，解得，故切点为或，而，所以或．故选B．

5．A  【详解】，，，所以．故选A．

6．C  【详解】设，，由条件可知当时，，函数在单调递增；因为是奇函数，所以也是奇函数，且在单增，因为，所以，所以函数的解集是，而，是上的奇函数，，所以的解集是．

7．A  【详解】分离参数得：对于任意恒成立，令（），则，则；当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以实数的最大值是，故选A．

8．B  【详解】因为，不等式成立，即，转化为恒成立，构造函数（），可得，当，，单增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立；设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，所以，即实数的取值范围是．故选B．

二、选择题：

9．AC  【详解】和定义域都为，对应关系相同，两个函数是同一个函数，A正确；对于B，全称命题“，”的否定为“，”，故B错误．

对于C，，故C正确；

对于D，由，得，因为当时，一定成立，而时，不一定有，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D错误．

10．ABD  【详解】因双曲线正弦函数是奇函数，双曲线余弦函数是偶函数，因此是奇函数，A错误；，B错误；

双曲余弦函数是偶函数，且在递增，，C正确；

对于D，，D错误．因此，说法错误的是ABD．

11．BCD  【详解】，由，，即函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，则函数与的图象如下图所示，平移直线可知，函数与的交点个数可能为0，1，2，3，则关于的方程的实数根的个数可能是0，1，2，3，故选BCD．

12．AD  【详解】由已知，，当或时，，时，，所以在和上递减，在上递增，极小值，极大值，A正确；切线斜率，直线斜率，，两直线不垂直，B错误；时，，时，，若有三个实根，则；当时，只有两个根，C错误；若时，，则，的最小值为3，D正确．故选AD．

三、填空题：

13．  【详解】由得．设（），则在区间上单调递增，在区间上单调递减．又在上单调递增，所以函数的单调递增区间是．故答案为，写成亦可．

14．  【详解】∵，∴若，则恒成立，在上为增函数，满足条件；若，则时，即时，恒成立，在上为增函数，满足条件；综上可得，即．

15．  【详解】由是偶函数知关于对称；由在上单调递减知：在上单调递增．由知：，即，解得，故解集为．

16．  【详解】由题意知，函数的定义域为，

，因为函数有唯一极值点，所以是函数的唯一极值点，所以在无变号零点，令，则，

当时，恒成立，所以在内单调递增，且，所以在上无解，符合要求；当时，有解，且，又因为时，，所以在上单调递减；时，，所以在上单调递增，所以，解得，当时，作出函数和的图象可知它们相切于点，所以符合条件，综上所述：，故答案为．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）由正弦定理得：

所以，所以

因为，所以，所以，所以．

（2）由余弦定理得：，又因为，

所以，又因为

所以，所以．

18．解：（1）当时，，解得

当时，

所以是以为首项，公比的等比数列，所以

（2），∴

∴

∴，∴

19．解：（1）

因为．

所以没有99%的把握认为在本次测试中“学生是否选择几何题和代数题与性别有关” ．

（2）随机变量的所有可能值为0，1，2，3，则有：

，，

，．

所以的分布列为

所以．

20．解：（1）依题意可得：，．

∵平面平面，平面平面，，平面，

∴平面，∴．

在中，，是棱的中点，所以．

又，，C平面，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（2）如图，取的中点，连接，，

则，

由（1）知平面，∴平面

∴是直线与平面所成角

∴，

∴，∴

∴是棱的中点（或向量法由线面角解出点做坐标）

以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则有：，，，

∴，，

设平面的法向量为，平面的法向量为

则，令，则

有，令，则

∴

∴锐二面角的余弦值为．

21．解：（1）依题意得，∴椭圆的方程：

（2）因为是椭圆上异于椭圆端点的任意一点，且，故直线的斜率存在．

设过点的直线：，设，．

由，消去并整理，得．

（注：）

由

又因为（此处可以用向量翻译得到）

．

综上，存在实数，使得成立，且．

22．解：（1）（）的定义域为，

（，）．

对于方程的判别式（）分类讨论

（i）若，即时，恒成立，故在上单调递增；

（ii）若，即时，

令，解得，．

当，；

当时，．

所以：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，单调递增区间为和；

单调递增区间为．

（2）由（1）知：且，．（）

又（），∴，

由得：

两式相减，得．（）

∴

令，∴，∴，

所以在上单调递减，

由的取值范围是，得的取值范围是，

∴，

又∵，故实数的取值范围是．