2022届重庆市西南大学附属中学高三上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2022届重庆市西南大学附属中学高三上学期开学考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，下列正确命题的序号有，定义在R上的函数的导函数为，已知全集，，，则集合B可能为，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
西南大学附属中学校高2022级开学考试数学试题（总分：150分  考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．若，则z的虚部为(       )A．1      B．-1       C．i         D．-i2．等差数列的前n项和为Sn，若S9=81，则(       )A．26       B．27         C．28       D．293．已知向量，满足，，且⊥(-)，则在方向上的投影为(       )A．        B．3       C．-         D．4．下列正确命题的序号有(       )A．若随机变量X～B(100，p)，且E(X)=20，则B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与BCD是互斥事件，也是对立事件C．在独立性检验中，K2的观测值越小，则认为“这两个分类变量有关”的把握越大D．由一组样本数据，，…得到回归直线方程，那么直线至少经过，，…中的一个点5．已知函数，则①的图象关于点对称；②在上的值域为；③的图象关于直线对称；④若，则．其中正确的有(       )个A．1        B．2        C．3        D．46．A，B，C，D，E，F六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A，B，C去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B说：“你的名次在C之前．”对C说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有(       )种.A．108       B．120        C．144        D．1567．定义在R上的函数的导函数为．若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是(       )A．       B．        C．        D．8．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将ΔMF1F2沿MN折成直二面角F1-MN-F2，若使折叠后点F1，F2距离最小，则(       )A．        B．         C．         D．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知全集，，，则集合B可能为(       )A．        B．        C．        D．10．下列结论正确的是(       )A．若，则          B．，C．若，则     D．若，则11．“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线.连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得∠FMN=15°；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形ABCD的边长为，第2个正方形EFGH的边长为，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，…），则(       )A．数列是公比为的等比数列        B．
C．数列是公比为的等比数列       D．数列的前n项和数学第3页（共4页）12．已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法正确的有(       )A．在是增函数B．是奇函数C．在上有两个极值点D．若为在上的一个极值点，且当时，恒成立，则三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．已知抛物线的焦点为F，P是抛物线上一点，若，则P点的横坐标为_________．14．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项的系数为___________．15．已知ΔABC外接圆的圆心为O，半径为2．设点O到边BC，CA，AB的距离分别为，，．若，则___________．16．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求二面角E-BC1-F的余弦值．
18．在ΔABC中，内A，B，C角的对边分别为a，b，c，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：(1)求∠B的大小；(2)若b=2，求ΔABC面积的取值范围.19．在数列中，已知，()．(1)证明：数列为等比数列；(2)记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值.20．“T2钻石联赛”是国际乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5”模式．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局．24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．若某位选手率先在7局比赛中拿下4局，则比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局．已知在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式中，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立．(1)若甲乙24分钟内可以完整打满2局，求4局比赛决出胜负的概率；(2)若甲乙24分钟内可以完整打满3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望．21．椭圆E：()的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率，过的直线交椭圆于两点，且ΔABF2的周长为8．(1)求椭圆E的方程．(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．22．已知函数，，．(1)若存在唯一的零点，求a的取值范围；(2)若有两个不同的解，，求证.          参考答案选填：12345678ABDBCACB9101112131415 ACADBDABD14542023解答题：17（10分）.（1）证明见解析；（2）.（1）连接BD1，由E，F分别为DD1，DB的中点，∴EF∥BD1，又面EFABC1D1，BD1面ABC1D1∴EF∥平面ABC1D1             4分（2）构建以D为原点，，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
∴D(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(0，0，1)，∴=(2，2,0)，=(0，2，2)，=(2，2，-1)，=(0，2，1)，          6分又二面角E-BC1-F即为二面角E-BC1-D，若是面BDC1的一个法向量，则，若，即，  7分若是面EBC1的一个法向量，则，若，即，8分∴，则锐二面角E-BC1-F的余弦值为.     10分18（12分）．（1）条件选择见解析，∠B=；(2)（1）若选①，，则有，     3分∴，，所以∠B=.         6分若选②，由正弦定理：，又，∴，则且，即∠B=.若选③，由正弦定理：∴整理得，又，∴即∠B=.（2）由，得到.        8分由不等式，得到，∴                         10分从而，当且仅当时取等号.所以ΔABC面积的范围为.          12分19（12分）．（1）证明见解析；（2）10（1）证明：由，得，从而，     2分，∴            4分又，故数列为等比数列；         5分（2）解：由(1)得，故       ，7分所以，     8分，     10分令，则，解得，∵，∴.故使得的整数n的最小值为10；             12分20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）分布列见解析，.（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为，乙胜出分别为，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为C，4局比赛决出胜负记为事件D.          4分（Ⅱ）的可能取值为4、5、6、7；       5分；  6分；       8分；10分所以，随机变量X的概率分布列为：X4567P的数学期望为EX=.             12分21．（1）；（2）存在，定点M(1，0).（1）因为，即，又，所以，.       2分又因为即所以c=1，所以，故椭圆E的方程是.        4分（2）解法一：由得.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，所以且Δ=0，即化简得.(*)5分此时，所以，由得Q.        7分假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上.      8分设M，则对满足(*)式的恒成立.因为，，由得整理得.(**)         10分由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以，解得故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.         12分解法二：接：假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上.     8分取k=0，，此时P(0，)，Q(4，)以PQ为直径的圆为交x轴于点M1(1，0)，M2(3，0)取，m=2，此时，Q(4，0)，以PQ为直径的圆为交x轴于点M3(1，0)，M4(4，0)所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1，0).         10分因为M的坐标为(1，0)，所以，而，故恒有，即存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.         12分解法三：由对称性可知设与        6分直线l：                   8分                   9分对恒成立，所以x=1，得M(1，0).       12分22．(1)或；(2)见解析.(1)解法一：由题，①当时，恒成立，所以在上为减函数，当，；当，.所以在上一定存在唯一的零点，符合题意；②当，，不符合题意；③当时，由得，当时，，递减；当时，，递增，所以当时，取得极大值，因为存在唯一的零点，则，解得因此a的取值范围为或.            4分解法二：存在唯一的零点等价于只有一个解（显然x=1不是零点）令，，令，得，因此在(0，1)，(1，e)上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，当，；当，；当，；当，；简图如下：因此的取值范围为或.           4分(2)令，则      5分①当时，恒成立，所以在上为减函数，不符合题意；     6分②当时，由得，当时，，所以为减函数；当时，，所以为增函数，所以当时，取得极大值.           7分又因为存在两个不同零点，，所以，即整理得，显然，         8分作关于直线的对称曲线，令.         9分当，，所以在上单调递减，          10分不妨设，（因为若，则显然成立）则，即，         11分又因为，，且在上为减函数，故，即，又，故.       12分