2020-2021学年安徽省六安市第一中学高二下学期期末考试文科数学试题含答案

  六安一中2020-2021年度高二年级第二学期期末考试

数学试卷（文科）

满分：150分  时间：120分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． В． C． D．

2．已知，则（    ）

A． В． C． D．

3．下列函数中是增函数的为（    ）

A． В． C． D．

4．点（3，0）到双曲线的一条渐近线的距离为（    ）

A． В． C． D．

5．下列命题中，真命题是（    ）

A．在中“”是“”的充分不必要条件

B．对任意，

C．命题“，”的否定是“，”

D．“若，则”的否命题是“若，则”

6．已知，，，则（    ）

A． В． C． D．

7．函数的单调递增区间是（    ）

A． В． C． D．

8．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.6 D．0.8

9．在一个正方体中，过顶点的三条梭的中点分别为，，．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（    ）

A． В． C． D．

10．已知函数，（），则它的值域为（    ）

A． В．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0）

11．已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（    ）

A．1 B．0 C．2 D．-1

12．已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：

①的图象关于对称；

②的图象关于对称；

③在[0，6]内至少有5个零点；

④若在[0，1]上单调递增，则它在[2021，2022]上也是单调递增．

其中正确的是（    ）

A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的定义域为______．

14．已知函数是偶函数，则______．

15．函数的最小值为______．

16．已知，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：

18．（本小题满分12分）

已知直三棱柱，中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，．

（1）求三棱锥的体积；

（2）已知为棱上的点，证明：．

19．（本小题满分12分）

设函数，其中．

（1）讨论的单调性；

（2）若函数没有零点，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）

设、为曲线：上两点，与的横坐标之和为4．

（1）求直线的斜率；

（2）为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．

21．（本小题满分12分）

已知且，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．

注意：以下请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为（1，0），为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．

23．（本小题满分10分）

已知函数，．

（1）画出的图像；

（2）若，求的取值范围．

六安一中2020-2021年度高二年级第二学期期末考试

数学试卷（文科）参考答案

1~6．BCADBC 7~12．CDADAC

13． 14．1 15．1 16．8

三、解答题

（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为，乙机床生产的产品中的一级品的频率为

（2），故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异

18．（1）如图所示，连结，

由题意可得：，

由于，，，故平面，

而平面，故，

从而有，从而．

则，∴，为等腰直角三角形，

，

．

（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，

如图所示，取棱，的中点，，连结，，，

正方形中，，为中点，

则，又，，

故平面，而平面，从而．

19．（1）函数的定义域为，又，

因为，，故，当时，；当时，；

所以的减区间为，增区间为．

（2）因为且的图与轴没有公共点，

所以的图象在轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得，

故即．

20．（1）设，，则，，，，

于是直线的斜率．

（2）由，得．设，由题设知，解得，于是．

设直线的方程为，故线段的中点为，．

将代入得．当，

即时，．

从而．由题设知，

即，解得．

所以直线的方程为．

21．（1）当时，，，

令，当时，，当时，．

∴函数在上单调递增；上单调递减．

（2），设函数．

则，令，得，在内，单调递增；

在上，调递；∴，又，

当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，

即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是，

这即是，所以的取值范围是．

22．（1）由曲线的极坐标方程可得，

将，代入可得，即，

即曲线的直角坐标方程为．

（2）设，设，

∵，

∴，

则，即，

故的轨迹的参数方程为（为参数）

∴曲线的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，

则圆心距为，∵，

∴两圆内含，故曲线与没有公共点．

23．（1），

画出函数图像如下：

（2），如图，在同一个坐标系里画出，图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，∴．