2020-2021学年山西省太原市第五中学高一上学期12月阶段性检测数学试题含解析

2020-2021学年山西省太原市第五中学高一上学期12月阶段性检测试题

数学

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

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1．（    ）

A． B． C． D．

2．计算（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

3．角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．终边经过点，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数，则它的图象过定点（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数(其中)的图象如图所示，则函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

6．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：

则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)

A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3

C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2

7．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于（         ）

A． B． C． D．

8．已知函数若，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

9．已知函数，若、、互不相等，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．设函数，其中表示不超过x的最大整数，若函数的图象与函数的图象恰有3个交点，则实数a的取值范围是

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

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11．若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数的取值是__________．

12．求值：已知，，则__________．

13．有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究上述函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且}：（3）在上是减函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数可能是__________．

14．已知，，，则、、的大小关系是__________．

15．（1）已知，求；

（2）已知，且，求．

16．已知函数．

（1）在直角坐标系中作出函数的图象；

（2），若函数有三个零点，求实数a的取值范围；

（3）解方程．

17．已知函数是奇函数．

（1）计算a的值；

（2）判断的单调性并说明理由；

（3）若对恒成立，求实数m的取值范围．

18．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林，假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．

（1）求森林面积的年增长率；

（2）为使森林面积达到亩至少需要植树造林多少年？（结果精确到1年）

（参考数据：，）

参考答案

1．B

【分析】

利用三角函数的诱导公式，化简得到，即可求解.

【详解】

由三角函数的诱导公式，可得.

故选：B.

2．D

【分析】

根据对数的运算法则，准确计算，即可求解.

【详解】

根据对数的运算法则，可得.

故选：D.

3．A

【分析】

本题首先可根据题意得出，然后根据解得，最后通过即可得出结果.

【详解】

因为，终边经过点，

所以终边位于第四象限，

联立，解得，

则，

故选：A.

4．C

【分析】

根据函数的解析式，令，求得，即可求解.

【详解】

由题意，函数且，

令，可得，

所以函数的图象恒过定点.

故选：C.

5．A

【分析】

根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.

【详解】

由图象可知：，因为，所以由可得：，由可得：，由可得：，

因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合，

故选：A

6．C

【详解】

由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，是幂函数，是指数函数，是对数函数，故选C．

7．C

【分析】

根据圆心角可以得出弧长与半径的关系，根据面积公式可得出弧长．

【详解】

由题意可得，

所以

【点睛】

本题考查扇形的面积公式、弧长公式，属于基础题．

8．D

【详解】

当时，，则；当时，，则，综上，实数的取值范围是.

考点：分段函数.

9．B

【分析】

本题可通过函数的图像得出结果.

【详解】

如图，绘出函数的图像，

若，由图像易知，，，

故的取值范围是，

故选：B.

10．D

【分析】

利用当时有，故函数在具有“局部周期性”，故可在平面直角坐标系中画出函数的图像，结合的图像与的图像有3个交点可以得到实数的取值范围.

【详解】

，而，

故

当时，，故在上的图像如图所示：

因为的图像与的图像有3个交点，故，故，故选D.

【点睛】

不同函数图像的交点问题，关键在于正确刻画函数的图像，可以用图像变换的方法把复杂函数的图像归结基本初等函数的图像的平移或对称变换等，也可以根据解析式的特点先刻画函数的局部图像，再根据函数的性质得到其他范围上的图像.

11．4

【分析】

本题可根据题意得出函数仅有一个零点，然后通过判别式即可得出结果.

【详解】

因为函数存在零点且不能用二分法求该函数的零点，

所以由二次函数性质易知，函数仅有一个零点，

，解得，

故答案为：.

12．

【分析】

根据指数幂与对数的互化，求得，再结合指数幂的运算公式，即可求解.

【详解】

由，，可得，

所以.

故答案为：.

13．①②

【分析】

根据基本初等函数的定义与性质，判断是否满足条件即可．

【详解】

解：对于①，，是定义域，，上的奇函数，值域是，且，且在上是单调减函数，满足条件；

对于②，，是定义域，，上的偶函数，值域是，且在上是单调减函数，满足条件；

对于③，，是定义域上的奇函数，值域是，且在上是单调增函数，不满足条件；

对于④，，是定义域为，值域是，且在上是单调增函数，不满足条件．

故答案为：①②．

14．

【分析】

本题可通过指数与对数的运算法则得出、、，即可得出结果.

【详解】

，即

，，

即，

，即，

故，

故答案为：.

15．（1）；（2）．

【分析】

（1）将弦化切，再代入计算可得；

（2）首先将两边平方，即可得到，最后根据计算可得；

【详解】

解：（1）；

（2）由，所以，即，所以，

因为，所以，

所以．

16．（1）作图见解析；（2）；（3）方程的解为或0或或4．

【分析】

（1）根据函数解析式画出函数图象即可；

（2）将函数的零点转化为函数与的交点，数形结合即可得解；

（3）由函数图象可得，则原方程转化为或，结合函数解析式计算可得；

【详解】

解：（1）因为，所以函数图象如下所示：

（2）因为有3个零点，即与有3个交点，由函数图象可知

（3）由函数图像可知

因为，所以或，即或或

解得或或或

即方程的解为或或或

17．（1）；（2）是减函数；答案见解析；（3）．

【分析】

（1）由，可得出a的值；

（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可；

（3）对不等式变形可得，然后分别利用函数的奇偶性和单调性可得，即对恒成立，

所以，再令，求出的最大值即可得解.

【详解】

（1）因为是奇函数，所以，

解得，经验证时，是奇函数．

所以，所以；

（2）设，，且，

，

即，所以是减函数；

（3）由可得

由是奇函数可得，

由是减函数可得，

即对恒成立，

所以﹐令，

则，所以，

所以．

【点睛】

方法点睛：对于本题第（3）问，解决抽象不等式的问题时，通常的方法是利用函数的单调性和奇偶性脱掉“f”，然后将其转化为具体的不等式再进行求解即可.

18．（1）；（2）至少需要植树造林年．

【分析】

（1）本题可设年增长率为，根据题意得出，通过计算即可得出结果；

（2）本题可设至少需要植树年，然后列出方程，通过计算即可得出结果.

【详解】

（1）设年增长率为，

则，，，.

（2）设至少需要植树年，

则，，

即，，，

故至少需要植树造林年.