2020-2021学年河北省张家口市第一中学高二下学期期中数学考试试题（衔接班）含答案

河北省张家口市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试

数学试卷（衔接）

一、单选题(每小题5分，共40分)

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．是的（    ）

A．充要条件        B．必要不充分条件   C．充分不必要条件  D．既不充分也不必要条件

3．设非空集合P，Q满足P∩Q=Q且P≠Q，则下列命题是假命题的是（    ）

A．∀x∈Q，有x∈P B．∃x∈P，有x∉Q

C．∃x∉Q，有x∈P D．∀x∉Q，有x∉P

4．函数，设，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

5．设函数与的图象交点为，则所在区间是（    ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)

6．已知奇函数在单调递增，，若，则（    ）

A． B．

C． D．

7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0x2)，则函数y＝[f(x)]的值域为（    ）

A．        B．{－1，0，1}       C．{－1，0，1，2}     D．{0，1，2}

8．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（每小题5分，共20分）

9．下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．下列说法中正确的是（    ）

A．任取，均有

B．图象经过的幂函数是偶函数

C．在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称

D．若方程的两根分别为m，n，则

11．已知a>0，b>0，，对于代数式，下列说法正确的是（    ）

A．最小值为9                              B．最大值是9

C．当a=b=时取得最大                    D．当a=b=时取得最小值

12．设函数，其中是自然对数的底数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数在定义域上单调递增         B．若，则

C．若，则或  D．函数是定义域为的奇函数

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．计算___________.

14．已知实数，，则的最小值为_________ ．

15．已知函数，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围为___________．

16．函数的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为，最小值为，则_______．

四、解答题（17题10分，18-22每题12分）

17．命题p：函数的定义域为，命题q：函数在上单调递减.

（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数a的取值范围.

18．张先生为提高家庭经济收入进行投资.他现有100万元资金可用于投资，有两种投资方式，一种是投资某科技公司，另一种是投资生态环保企业.已知投资科技公司的收益与投入的资金数(，单位：万元)的关系式为，而投资生态环保企业，其收益与投入的资金数(，单位：万元)的算术平方根成正比，且各投资一万元时，投资科技公司和生态环保企业的收益分别为万元和万元.

（1）分别写出收益，与投资金额的函数关系式；

（2）张先生如何安排这100万元资金，才能使得总收益最大，最大收益是多少？

19．已知定义在上的函数满足：①对任意正实数x，y，都有；②当时，．

（1）判断函数在上的单调性，并证明；

（2）若，集合，（且），且，求实数a的取值范围．

20．如图，在四棱锥中，，，，，，，．

（1）证明；平面平面；

（2）若，点在上，且，求二面角的大小．

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为8.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值.

22．已知函数，．

（Ⅰ）求的极值点；

（Ⅱ）当时，，求的取值范围．．

张家口市第一中学高二下学期中考试

数学答案

1．B  2．C  3．D  4．C  5．B  6．C  7．B  8．C 9．BCD  10．ACD  11．AD  12．ABD

13．0   14．   15．   16．       

17．【详解】（1）命题为真命题时，函数的定义域为，

即在上恒成立，

所以，解得.

（2）命题为真命题时，.

所以“真假”时，的取值范围是；“假真” ，的取值范围是空集.

综上所述，实数a的取值范围是.

18．【详解】（1）根据题意可设，

由题意知，得，，

所以.

（2）设投资生态环保企业的资金为万元，则投资科技公司的资金为万元，

设总收益为(单位：万元)，则，

设，则，

，即时，总收益取得最大值，为万元，此时投资生态环保企业万元，投资科技公司万元.

19．【详解】（1）在上为增函数．证明过程如下：

设，则由条件“对任意正数x，y都有”可知：

，∵，∴由已知条件，

∴，即，因此在上为增函数．

（2）∵，∴，

∴，

由（1）知，在上为增函数，

∴，解得，从而，

在已知条件中，令，得，∴，

∵在上为增函数，∴，

当时，则，由，得；

当时，则，由，得

综上的取值范围为.

20．（1）证明见解析；（2）．

【详解】（1）因为，，所以，

在中，由余弦定理得：

，因为，所以，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）由（1）可知，又，，

所以平面，故以A为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

因为，所以点，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，故，同理，设平面的法向量为，

易得，所以，

易知二面角为锐角，

所以二面角的大小为．

21．（1）；（2）.

【详解】（1）由椭圆的定义可知，的周长为，

∴，，又离心率为，∴， ，

所以椭圆方程为.

（2）当直线轴时，； 

当直线不垂直轴时，设，

，，

∴. 设与平行且与椭圆相切的直线为：，

，

∵，∴，

∴距的最大距离为，

∴，

综上，面积的最大值为.

22．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.

【详解】（Ⅰ）的定义域为，，

令，则；

①当，即时，，则，

在上单调递增，无极值点；

②当，即时，令，解得：，

，，则；

当和时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减，

的极大值点为，极小值点为.

综上所述：当时，无极值点；当时，的极大值点为，极小值点为.

（Ⅱ）记，，

则，，．

记，则．

①当，时，，在上为增函数，又，

在上为增函数，又，当时，．

②当时，，，

存在，使得，

当时，，，此时在上为减函数，

又．当时，，即，

当时，为减函数，又，

不满足题意；

综上所述：的取值范围为.