专题7圆与四边形的证明和计算学案

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专题七　圆与四边形的证明与判断类型1　与圆有关的证明与计算1．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C．(1)求证：∠CBP＝∠D；(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．    2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若sin B＝，CF＝2，求⊙O的半径．   
3．(2019聊城)如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过C点作⊙O的切线CE，交OF于点E.(1)求证：EC＝ED；(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．    类型2　特殊四边形的动态探究4．(2019信阳一模)如图，⊙O与直线MN相切于点A，点B是⊙O上异于点A的一点，∠BAN的平分线与⊙O交于点C，连接BC．(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)填空：①若∠CAN＝15°，⊙O的半径为2，则AB＝__________；②当∠CAN＝__________时，四边形OACB为菱形．     5．如图，AB是半圆O的直径，AB＝a，D是半圆上一点，弦AD平分∠BAF，DF⊥AF于点F，AF与半圆交于点C，DE⊥AB于点E，连接CD，DB，OD．(1)求证：△CDF≌△BDE；(2)填空：①当AD＝__________时，四边形AODC是菱形；②当AD＝__________时，四边形AEDF是正方形． 6．(2019濮阳二模)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP的中点．(1)求证：四边形OBCP是平行四边形；(2)填空：①当∠BOP＝__________时，四边形AOCP是菱形；②连接BP，当∠ABP＝__________时，PC是⊙O的切线．   7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，E是BA延长线上的一点，作∠EAC的平分线AD．若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上同时出发从点C向点B运动，运动的速度均为1 cm/s，运动时间为t s.(1)连接PQ，交AC于点O.求证：AO＝CO；(2)填空：①当t＝__________s时，四边形APCQ是矩形；②当t＝__________s时，四边形APCQ是菱形．  8．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连接CE.(1)求证：∠ADC＝∠CEP；(2)填空：①当∠DAP＝__________时，四边形DEPC为正方形；②在点P运动过程中，若⊙O的半径长为10，tan∠DCE＝，则AD＝__________.参考答案1．(1)证明：如图，连接OB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴∠A＋∠D＝90°.∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC.∴∠OBC＝90°.∴∠OBA＋∠CBP＝90°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.∴∠CBP＝∠D.(2)解：∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°.∴∠P＋∠A＝90°.∴∠P＝∠D.∴△AOP∽△ABD.∴＝，即 ＝.∴BP＝7.2．(1)证明：如图，作OG⊥DF于点G，连接OE.∵BD＝DC，BO＝OA，∴OD∥AC.∴∠ODG＝∠DFC.∵∠OGD＝∠C＝90°，OD＝DF，∴△OGD≌△DCF(AAS)．∴OG＝CD.∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC.∴∠AEO＝∠C＝90°.∴OE∥BC.∵OD∥CE，∴四边形CDOE是矩形．∴CD＝OE.∴OG＝OE，即OG是⊙O的半径．∴DF是⊙O的切线．(2)解：设OE＝x，则BD＝DC＝OE＝x.∵sin B＝，∴∠B＝60°.在Rt△OBD中，OD＝BD·tan 60°＝x＝DF.在Rt△DCF中，DF2＝CF2＋DC2.即(x)2＝22＋x2，解得x＝.∴⊙O的半径为.3．(1)证明：如图，连接OC.∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE.∴∠OCE＝∠OCA＋∠ACE＝90°.∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠ACE＋∠A＝90°.∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°.∴∠ODA＋∠A＝90°.∴∠ODA＝∠ACE.∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＝∠ACE.∴EC＝ED.(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠DCF＝90°.∴在Rt△DCF中，∠DCE＋∠ECF＝90°，∠CDF＋∠F＝90°.∵∠DCE＝∠CDE，∴∠ECF＝∠F.∴EC＝EF.∵EF＝3，∴EC＝DE＝3.∵OC＝OA＝4，∴OE＝＝＝5.∴OD＝OE－DE＝2.在Rt△OAD中，AD＝＝＝2.∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD＝90°，∴Rt△AOD∽Rt△ACB.∴＝，即＝.∴AC＝.4．(1)证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD.∵MN是⊙O的切线，∴DA⊥MN.∴∠DAN＝90°.∴∠DAC＋∠CAN＝90°.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠ADC＋∠DAC＝90°.∴∠CAN＝∠ADC.∵∠ADC＝∠B，∴∠B＝∠CAN.∵AC是∠BAN的平分线，∴∠CAN＝∠CAB.∴∠CAB＝∠B.∴AC＝BC.∴△ABC是等腰三角形．(2)解：①2；②30°.5．(1)证明：∵AD平分∠BAF，DE⊥AB，DF⊥AF，∴DE＝DF，∠F＝∠DEB＝90°.∵∠ACD＋∠FCD＝180°，∠EBD＋∠ACD＝180°，∴∠FCD＝∠EBD.在△CDF和△BDE中，∴△CDF≌△BDE(AAS)．(2)解：①a；②a.6．(1)证明：∵PC∥AB，∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM.∵点M是OP的中点，∴OM＝PM.在△CPM和△AOM中，∴△CPM≌△AOM(AAS)．∴PC＝OA.∵AB是半圆O的直径，∴OA＝OB.∴PC＝OB.又PC∥AB，∴四边形OBCP是平行四边形．(2)解：①120°；②45°.7．(1)证明：如图，连接AQ，CP.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠PAC＝∠B＋∠C＝2∠C.∴∠PAC＝∠C.∴AP∥BC.∵点P和点Q的速度均为1 cm/s，∴AP＝CQ.∴四边形APCQ是平行四边形．∴AO＝CO.(2)解：①6；②.8．(1)证明：∵C为AP的中点，且CD过圆心O，∴AC＝CP，DC⊥AP.∴∠DCA＝∠DCP＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°.∵DE为⊙O的切线，∴∠CDE＝90°.∴四边形CPED是矩形．∴CD＝PE，∠CPE＝90°＝∠ACD.在△DAC和△ECP中，∴△DAC≌△ECP(SAS)．∴∠ADC＝∠CEP.(2)解：①45°；②8.