专题10实际应用题学案

专题十　实际应用题

类型1　一次函数图象型问题

1．“五一”期间，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．现有甲、乙两家租车公司，租车费用如下：甲公司按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费；乙公司无固定租金，直接按租车时间计费，每小时租金是30元．

(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，其图象如图所示，分别求出y1，y2关于x的函数解析式；

(2)请你帮助小丽计算，租用哪家新能源汽车自驾出游更合算？

2．(2019绥化)甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y(个)与甲加工时间x(h)之间的函数图象为折线OA－AB－BC，如图所示．

(1)这批零件一共有__________个，甲机器每小时加工__________个零件，乙机器排除故障后每小时加工__________个零件；

(2)当3≤x≤6时，求y与x之间的函数解析式；

(3)在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？

类型2　一次函数与方程(组)、不等式结合型问题

3．(2019河南一模)为支持国货，郑州某律师事务所准备购买若干台/部华为电脑和华为手机奖励优秀员工．如果购买1台电脑、2部手机，一共需要花费10 200元；如果购买2台电脑、1部手机，一共需要花费13 200元．

(1)求每台华为电脑和每部华为手机的价格分别是多少元？

(2)财务张经理交代会计小李，购买华为电脑和手机一共50台/部，并且手机部数不少于电脑台数的4倍，那么小李最多应准备多少钱？

4．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高．某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多500元，用6万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．

(1)求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？

(2)该公司计划购进A，B两种型号的净水器共40台进行试销，其中A型净水器x台，购买资金不超过7.5万元，并且A型净水器不少于27台．试销时A型净水器每台售价2 300元，B型净水器每台售价1 880元，问该公司有几种进货方案？并求出这几种方案中，销售完后获得的利润W的最大值．

5．(2019洛阳一模)洛阳某科技公司生产和销售A，B两类套装电子产品，3套A类产品和2套B类产品的总售价是24万元；2套A类产品和3套B类产品的总售价是26万元．公司生产一套A类产品的成本是2.5万元；生产B类产品的成本如下表：

(1)求该公司每套A类产品和B类产品的售价分别是多少万元？

(2)公司为了生产的方便，只安排生产某一类电子产品且销售顺利，设生产销售某类电子产品x套．

①公司销售x套A类产品的利润的表达式是y1＝__________；

公司销售x套B类产品的利润的表达式是y2＝__________；

②怎样安排生产，才能使公司的总利润最高？

6．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．

(1)根据题意，填写下表：

(2)设甲公司收费为y1元，乙公司收费为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；

(3)当x＞3时，小明选择哪家快递公司更省钱？请说明理由．

类型3　二次函数与一次函数结合型问题

7．(2019辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？

8．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：

①该产品90天内日销售量n(件)与时间(第x天)满足一次函数关系，部分数据如下表：

②该产品90天内每天的销售价格(元/件)与时间(第x天)的关系如下表：

(1)求出第10天的日销售量；

(2)设销售该产品每天的利 b润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出90天内该产品在第几天的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)在该产品后41天(即50≤x≤90时)的销售中，共有多少天销售利润不低于5 400元？请直接写出结果．

参考答案

1．解：(1)设y1＝k1x＋80.把点(1,95)代入，得95＝k1＋80，解得k1＝15.

∴y1关于x的函数解析式为y1＝15x＋80(x≥0)．

设y2＝k2x.把(1,30)代入，得k2＝30.

∴y2关于x的函数解析式为y2＝30x(x≥0)．

(2)当y1＝y2时，15x＋80＝30x，解得x＝.

当y1＞y2时，15x＋80＞30x，解得x<.

当y1＜y2时，15x＋80＜30x，解得x>.

答：当租车时间为小时时，选择甲、乙公司都一样；

当租车时间小于小时时，选择乙公司更合算；

当租车时间大于小时时，选择甲公司更合算．

2．解：(1)270，20，40.

(2)设当3≤x≤6时，y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b.

把B(3,90)，C(6,270)代入，

得解得

∴当3≤x≤6时，y与x之间的函数解析式为y＝60x－90.

(3)设甲加工x h时，甲与乙加工的零件个数相等．

①当0≤x≤3时，20x＝50－20，解得x＝1.5；

②当x>3时，20x＝30＋40(x－3)，解得x＝4.5.

答：甲加工1.5 h或4.5 h时，甲与乙加工的零件个数相等．

3．解：(1)设每台华为电脑的价格是x元，每部华为手机的价格是y元．

根据题意，得解得

答：每台华为电脑的价格是5 400元，每部华为手机的价格是2 400元．

(2)设购买华为电脑m台，则购买华为手机(50－m)部，购买手机和电脑共需要W元．

根据题意，得W＝5 400m＋2 400(50－m)＝3 000m＋120 000.

∵50－m≥4m，∴m≤10.

∵3 000＞0，∴W随m的增大而增大．

∴当m＝10时，W取到最大值，W最大＝150 000.

答：小李最多应准备150 000元．

4．解：(1)设每台B型净水器的进价为a元，则每台A型净水器的进价为(a＋500)元．

依题意，得 ＝，解得a＝1 500.

经检验，a＝1 500是原方程的解，且符合题意．a＋500＝2 000.

答：每台A型净水器的进价为2 000元，每台B型净水器的进价为1 500元．

(2)依题意，得W＝(2 300－2 000)x＋(1 880－1 500)(40－x)＝－80x＋15 200.

∵购买资金不超过7.5万元，∴2 000x＋1 500(40－x)≤75 000.

解得x≤30.又x≥27，∴27≤x≤30.∴x可取27,28,29,30.

∴有四种进货方案：

①购进27台A型净水器，13台B型净水器；

②购进28台A型净水器，12台B型净水器；

③购进29台A型净水器，11台B型净水器；

④购进30台A型净水器，10台B型净水器．

∵－80＜0，∴W随x的增大而减小．

∴当x＝27时，利润W最大，最大值为－80×27＋15 200＝13 040.

答：购进27台A型净水器，13台B型净水器时，销售完后获得的利润W最大，最大利润为13 040元．

5．解：(1)设每套A类产品的售价是a万元，每套B类产品的售价是b万元．

由题意，得解得

答：该公司每套A类产品和B类产品的售价分别是4万元、6万元．

(2)①1.5x,2x－4.

②令1.5x＞2x－4，得x＜8，即如果生产产品总套数小于8套，则安排生产A类产品利润最高；

令1.5x＝2x－4，得x＝8，即如果生产产品总套数等于8套，则安排生产A类产品和生产B类产品利润一样；

令1.5x＜2x－4，得x＞8，即如果生产产品总套数大于8套，则安排生产B类产品利润最高．

6．解：(1)11,52,67,19.

(2)当0＜x≤1时，y1＝22x；

当x＞1时，y1＝22＋15(x－1)＝15x＋7.

∴y1关于x的函数关系式为y1＝

y2关于x的函数关系式为y2＝16x＋3(x＞0)．

(3)当x＞3时，

①若y1＞y2，有15x＋7＞16x＋3，解得x＜4；

②若y1＝y2，有15x＋7＝16x＋3，解得x＝4；

③若y1＜y2，有15x＋7＜16x＋3，解得x＞4.

∴当3＜x＜4时，小明选择乙公司更省钱；当x＝4时，小明选择甲、乙两家公司都一样；当x＞4时，小明选择甲公司更省钱．

7．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．

由图象可得当x＝30时，y＝140；当x＝50时，y＝100.

∴解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋200(30≤x≤60)．

(2)设该公司日获利W元．

由题意，得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2 000.

∵－2＜0，∴当x＜65时，W随着x的增大而增大．

∵30≤x≤60，∴当x＝60时，W有最大值．

∴W最大＝－2×(60－65)2＋2 000＝1 950.

答：销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1 950元．

8．解：(1)根据题意，可设n关于x的函数表达式为n＝kx＋b.

由题意，得解得

∴n关于x的函数表达式为n＝－2x＋200.

当x＝10时，n＝－2×10＋200＝180.

答：第10天的日销售量为180件．

(2)当1≤x＜50时，y＝(－2x＋200)(x＋60－40)＝－2(x－40)2＋7 200.

∵－2＜0，∴当x＝40时，y有最大值，最大值是7 200.

当50≤x≤90时，y＝60(－2x＋200)＝－120x＋12 000.

∵－120＜0，∴y随x的增大而减小．

∴当x＝50时，y有最大值，最大值是6 000.

∵7 200＞6 000，∴当x＝40时，y有最大值，最大值为7 200.

答：90天内该产品在第40天的销售利润最大，最大利润是7 200元．

(3)在该产品后41天的销售中，共有6天销售利润不低于5 400元．

【提示】当50≤x≤90时，－120x＋12 000≥5 400，解得x≤55.

∴50≤x≤55.