北师大版八年级上册第二章 实数7 二次根式教案

这是一份北师大版八年级上册第二章 实数7 二次根式教案，共6页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。

一、基本目标
1．了解二次根式及最简二次根式的概念．
2．会化简二次根式．
3．理解并掌握二次根式的性质．
二、重难点目标
【教学重点】
二次根式及最简二次根式的概念．
【教学难点】
化简二次根式．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，形如eq \r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．强调条件：a≥0、eq \r(a)≥0，也就是说二次根式具有双重非负性.
2．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.
3．乘法法则的推广：eq \r(a·b·c…n)＝eq \r(a)·eq \r(b)·eq \r(c)…eq \r(n).
4．下列式子中，不是二次根式的是( B )
A．eq \r(45)B．eq \r(－3)
C．eq \r(a2＋3)D．eq \r(\f(2,3))
5．计算：eq \r(0.0196×22 500)＝21；eq \r(5\f(4,9))＝eq \f(7,3).
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】当x________，eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋1)在实数范围内有意义．
【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？
【解答】要使eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋1)在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．
【例2】化简下列二次根式．
(1)eq \r(48)； (2)eq \r(8a3b)(a≥0，b≥0)；
(3)eq \r(－36×169×－9).
【互动探索】(引发学生思考)如何化简二次根式？什么样的二次根式是最简二次根式？
【解答】(1)eq \r(48)＝eq \r(16×3)＝eq \r(16)×eq \r(3)＝4eq \r(3).
(2)eq \r(8a3b)＝eq \r(22·a2·2ab)＝eq \r(2a2)·eq \r(2ab)＝2aeq \r(2ab).
(3)eq \r(－36×169×－9)＝eq \r(36×169×9)＝6×13×3＝234.
【互动总结】(学生总结，老师点评)①若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．②将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列二次根式中的最简二次根式是( A )
A．eq \r(30)B．eq \r(12)
C．eq \r(8)D．eq \r(\f(1,2))
2．下列各式正确的是( D )
A．eq \r(－4×－9)＝eq \r(－4)×eq \r(－9)
B．eq \r(16＋\f(9,4))＝eq \r(16)×eq \r(\f(9,4))
C．eq \r(4\f(4,9))＝eq \r(4)×eq \r(\f(4,9))
D．eq \r(4×9)＝eq \r(4)×eq \r(9)
3．把eq \r(200)化成最简二次根式是10eq \r(2).
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次根式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(定义\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(形如\r(a)a≥0的式子,有意义的条件：a≥0)),性质：\r(a)2＝aa≥0，\r(a2)＝aa≥0,最简二次根式))
请完成本课时对应练习！
第2课时 二次根式的四则运算
一、基本目标
1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的．
2．会进行简单的二次根式乘除以及加减运算．
二、重难点目标
【教学重点】
二次根式的四则运算．
【教学难点】
合并同类二次根式．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P43～P45的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．分别把下面两个式子：eq \r(ab)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)，eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)等号的左边和右边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则：eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0)；除法法则：eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \r(\f(a,b))(a≥0，b＞0).
2．二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式分别合并．有括号时，要先去括号．
3．计算：
(1)eq \r(\f(1,3))×eq \r(27)； (2)eq \f(\r(3),\r(5))； (3)eq \r(80)－eq \r(45)； (4)(2eq \r(5)－eq \r(2))2.
解：(1)3. (2)eq \f(\r(15),5). (3)eq \r(5).
(4)22－4eq \r(10).
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】计算：
(1)2eq \r(3)－6eq \r(3)； (2)eq \r(80)－eq \r(20)＋eq \r(5)；
(3)eq \f(2,3)eq \r(9x)＋6eq \r(\f(x,4))－2xeq \r(\f(1,x)).
【互动探索】(引发学生思考)(1)直接把二次根式合并．(2)、(3)先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数中相同的二次根式合并．
【解答】(1)2eq \r(3)－6eq \r(3)＝－4eq \r(3).
(2)eq \r(80)－eq \r(20)＋eq \r(5)＝4eq \r(5)－2eq \r(5)＋eq \r(5)＝3eq \r(5).
(3)eq \f(2,3)eq \r(9x)＋6eq \r(\f(x,4))－2xeq \r(\f(1,x))＝2eq \r(x)＋3eq \r(x)－2eq \r(x)＝3eq \r(x).
【互动总结】(学生总结，老师点评)将各二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的项合并．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．计算3eq \r(2)－eq \r(2)的值是( D )
A．2B．3
C．eq \r(2)D．2eq \r(2)
2．计算eq \r(3)×eq \r(5)的结果是( B )
A．eq \r(8)B．eq \r(15)
C．3eq \r(5)D．5eq \r(3)
3．若最简二次根式eq \r(3a－8)与eq \r(17－2a)可以合并，则a＝5.
4．计算：
(1)eq \f(\r(15),\r(3))； (2)eq \r(6)×eq \r(15)×eq \r(10)；
(3)eq \r(32)－eq \r(8)； (4)2eq \r(12)＋3eq \r(48).
解：(1)eq \r(5). (2)30. (3)2eq \r(2). (4)16eq \r(3).
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】计算：(2eq \r(3)＋3eq \r(2)－eq \r(6))(2eq \r(3)－3eq \r(2)＋eq \r(6))．
【互动探索】将括号内的各项重新结合，构成平方差公式，再结合完全平方公式展开并化简．
【解答】原式＝[2eq \r(3)＋(3eq \r(2)－eq \r(6))][2eq \r(3)－(3eq \r(2)－eq \r(6))]＝(2eq \r(3))2－(3eq \r(2)－eq \r(6))2＝12－(18－12eq \r(3)＋6)＝12eq \r(3)－12.
【互动总结】(学生总结，老师点评)结合题目特点使用适当的运算方法，可以减少计算量．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次根式的四则运算eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(乘除法则,加减法则,乘法公式))
请完成本课时对应练习！
第3课时 二次根式的混合运算
一、基本目标
正确进行二次根式的四则混合运算．
二、重难点目标
【教学重点】
二次根式的混合运算．
【教学难点】
运用二次根式的混合运算解决问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P46～P47的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(8,27))－5\r(3)))×eq \r(6)；
(2)(5＋eq \r(6))(5eq \r(2)－2eq \r(3))；
(3)(2eq \r(3)＋3eq \r(2))×(2eq \r(3)－3eq \r(2))；
(4)(4＋3eq \r(5))2.
解：(1)eq \f(4,3)－15eq \r(2). (2)19eq \r(2). (3)－6.
(4)61＋24eq \r(5).
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(eq \r(2)≈1.414)
【互动探索】(引发学生思考)可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．
【解答】贺卡的周长为4×(eq \r(288)＋eq \r(338))＝4×(12eq \r(2)＋13eq \r(2))＝4×25eq \r(2)≈141.4(厘米)．
∵1.5米＝150厘米，150>141.4，
∴李欣的彩带够用．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．
活动2 巩固练习(学生独学)
计算：
(1)eq \r(\f(2,5))－eq \r(\f(1,10))；
(2)eq \r(12)－eq \r(3)＋eq \r(\f(1,3))；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(18)－\r(\f(1,2))))×eq \r(8)；
(4)2eq \r(75)＋eq \r(8)－eq \r(27).
解：(1)eq \f(1,10)eq \r(10). (2)eq \f(4,3)eq \r(3). (3)10. (4)7eq \r(3)＋2eq \r(2).
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知a＝eq \f(1,\r(5)－2)，b＝eq \f(1,\r(5)＋2)，求eq \r(a2＋b2＋2)的值．
【互动探索】要求代数式的值，可以先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解．
【解答】∵a＝eq \f(1,\r(5)－2)＝eq \f(\r(5)＋2,\r(5)－2\r(5)＋2)＝eq \r(5)＋2，b＝eq \f(1,\r(5)＋2)＝eq \f(\r(5)－2,\r(5)＋2\r(5)－2)＝eq \r(5)－2，
∴a＋b＝2eq \r(5)，ab＝1.
∴eq \r(a2＋b2＋2)＝eq \r(a＋b2－2ab＋2)＝eq \r(2\r(5)2－2＋2)＝eq \r(20)＝2eq \r(5).
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次根式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(综合运算,化简求值,实际应用))
请完成本课时对应练习！