2021学年4 探索三角形相似的条件教学设计及反思

这是一份2021学年4 探索三角形相似的条件教学设计及反思，共12页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。

一、基本目标
1．理解相似三角形的定义．
2．掌握相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的定义的理解．
【教学难点】
相似三角形判定定理1及其应用．
环节1 自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P89～P90的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．两角分别相等的两个三角形相似．
3．如图，若∠B＝∠C，则△ABE∽△ACD，理由：有两组角对应相等的两个三角形相似，且△BOD∽△COE，理由：有两组角对应相等的两个三角形相似.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．
【互动探索】(引发学生思考)线段平行→得角相等→得三角形相似→相似三角形的定义→线段比例式→得BC的长．
【解答】∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)，
∴BC＝eq \f(AB×DE,AD)＝eq \f(7×10,5)＝14.
【互动总结】(学生总结，老师点评)先判定三角形相似，再运用相似三角形的定义计算边长．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下面一定相似的一组三角形为( C )
A．两个等腰三角形B．两个直角三角形
C．两个等边三角形D．以上都不对
2．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( B )
A．4对 B．3对
C．2对 D．1对
3．如图，∠AED＝∠B，则一定成立的是( A )
A．AD∶AC＝AE∶AB
B．DE∶BC＝AD∶DB
C．DE∶BC＝AE∶AC
D．AD∶AB＝AE∶AC
4．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝eq \f(10,3).
5．如图，锐角三角形ABC的边AB、AC上的高线EC、BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE(用相似符号连接)．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A、B、D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO.
【互动探索】观察法：构造三角形相似→由三角形相似的定义，得线段比例式→代入数据，得出结论．
【解答】如图，∵AB⊥AO，DB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°.又∠ACO＝∠BCD(对顶角相等)，∴△ACO∽△BCD，∴eq \f(AO,BD)＝eq \f(AC,BC).∵AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，∴eq \f(AO,50)＝eq \f(120,60)，解得AO＝100，即峡谷的宽AO是100 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
请完成本课时对应训练！
第2课时 相似三角形判定定理2
一、基本目标
1．掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这个判定定理．
2．会运用本课时的判定定理证明三角形相似，并会应用它解决一些问题．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【教学难点】
运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”解决相关的证明和计算问题．
环节1 自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P91～P92的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如图，△ABC中，D、E是AB、AC上的三等分点(即AD＝eq \f(1,3)AB，AE＝eq \f(1,3)AC)，动手量一量，△ADE与△ABC相似吗？
解：通过测量可知，△ADE与△ABC相似．
2．相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知AD·AC＝AB·AE.求证：△ADE∽△ABC.
【互动探索】(引发学生思考)综合法：已知线段的乘积式→转化为线段间的比例式→相似三角形的判定定理2.
【证明】∵AD·AC＝AE·AB，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC).
在△ABC与△ADE中，∵eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知线段间的乘积式，要判定三角形相似的常用方法是将乘积式转化为比例式，再利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，不等长的两条对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分为甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则下列关于此四个三角形的关系中说法正确的是( B )
A．甲、丙相似，乙、丁相似
B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似
D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
2．如图，若AC∶AD＝AB∶AC，则△ACD∽△ABC，∠ACD＝∠ABC.
3．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝eq \f(1,4)DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为4，求BG的长．
【互动探索】(1)分析法：要证三角形相似→已知线段间关系→利用相似三角形判定定理2.(2)列出比例式即可求得CG的长，从而得出BG的长．
【解答】(1)证明：∵ABCD为正方形，∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°.∵AE＝ED，∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(1,2).∵DF＝eq \f(1,4)DC，∴eq \f(DF,DE)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(DF,DE)，∴△ABE∽△DEF.
(2)∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴eq \f(DE,CG)＝eq \f(DF,CF).又∵DF＝eq \f(1,4)DC，正方形的边长为4，∴ED＝2，CG＝6，∴BG＝BC＋CG＝10.
【互动总结】(学生总结，老师点评)正方形的四个角相等，四条边相等；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
请完成本课时对应训练！
第3课时 相似三角形判定定理3
一、基本目标
1．掌握相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
2．会运用本课时的判定定理证明三角形相似，会根据已知条件选择合适的判定方法判定三角形相似，并会应用它们解决一些问题．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的判定定理3，会用判定方法来证明和计算．
【教学难点】
能灵活根据已知条件选择合适的判定方法判定三角形相似．
环节1 自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P93～P94的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．
2．△ABC和△A′B′C′中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm，通过实际画一画，量一量判断△ABC和△A′B′C′是否相似？
解：通过画图测量可知，△ABC和△A′B′C′相似．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在边长为1的正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF.在②～⑥中，与①相似的三角形的有多少个？
【互动探索】(引发学生思考)判断与①相似的三角形→结合勾股定理能确定三角形的边长→利用相似三角形判定定理3解决问题．
【解答】AB＝1，AC＝eq \r(2)，BC＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，CD＝1，BD＝2eq \r(2)，DE＝2，BF＝EF＝eq \r(5)，BE＝2eq \r(5)，FH＝2，EK＝HG＝eq \r(2)，FG＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，BG＝5，FK＝3.
∵eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(5),\r(2))，eq \f(CD,AB)＝1，eq \f(BD,BC)＝eq \f(2\r(2),\r(5))，
∴△CDB与△ABC不相似．
∵eq \f(DE,AB)＝2，eq \f(DB,AC)＝eq \f(2\r(2),\r(2))＝2，eq \f(BE,BC)＝eq \f(2\r(5),\r(5))＝2，
∴△DEB∽△ABC.
∵eq \f(BF,AB)＝eq \f(\r(5),1)，eq \f(FG,AC)＝eq \f(\r(10),\r(2))＝eq \r(5)，eq \f(BG,BC)＝eq \f(5,\r(5))＝eq \r(5)，
∴△FBG∽△ABC.
∵eq \f(HG,AB)＝eq \f(\r(2),1)，eq \f(HF,AC)＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，eq \f(FG,BC)＝eq \f(\r(10),\r(5))＝eq \r(2)，
∴△HGF∽△ABC.
∵eq \f(EK,AB)＝eq \r(2)，eq \f(EF,AC)＝eq \f(\r(5),\r(2))，eq \f(FK,BC)＝eq \f(3,\r(5))，
∴△EKF与△ABC不相似．
综上，与①相似的三角形的有3个．
【互动总结】(学生总结，老师点评)三条边成比例的两个三角形相似．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( B )
2．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝20，B′C′＝25，A′C′＝40，则△ABC和△A′B′C′相似(填“相似”或“不相似”)．
3．如图，要使△ABC∽△DEF，则x＝40.
4．如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA、OB、OC上取一点A′、B′、C′，使得eq \f(OA′,OA)＝eq \f(OB′,OB)＝eq \f(OC′,OC)＝3，连结A′B′、B′C′、C′A′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？说明理由．
解：相似．理由：∵eq \f(OA′,OA)＝eq \f(OC′,OC)＝3，∠AOC＝∠A′OC′，∴△AOC∽△A′OC′.∴eq \f(A′C′,AC)＝eq \f(O′A′,OA)＝3.同理可得eq \f(B′C′,BC)＝3，eq \f(A′B′,AB)＝3，∴eq \f(A′C′,AC)＝eq \f(B′C′,BC)＝eq \f(A′B′,AB).∴△A′B′C′∽△ABC.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，已知eq \f(AB,BD)＝eq \f(BC,BE)＝eq \f(AC,DE)，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
【互动探索】分析等比例线段与要判断的△ABD与△BCE的边之间的关系．
【解答】相似．理由：∵eq \f(AB,BD)＝eq \f(BC,BE)＝eq \f(AC,DE)，∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE.∵eq \f(AB,BD)＝eq \f(BC,BE)，∴△ABD∽△CBE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题的关键是从等比例线段入手，可以考虑利用相似三角形的判定定理2或判定定理3.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
请完成本课时对应训练！
第4课时 黄金分割
一、基本目标
1．知道黄金分割的定义．
2．会找一条线段的黄金分割点．
3．会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．
二、重难点目标
【教学重点】
了解黄金分割的意义．
【教学难点】
找黄金分割点和画黄金矩形．
环节1 自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P95～P97的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
一般地，点C把线段分成两条线段AC和BC(如图)，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成右图中的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，eq \f(BE,BC)＝eq \f(BC,AB).点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
【互动探索】(引发学生思考)判断点E是AB的黄金分割点的关键是证明eq \f(BE,AE)＝eq \f(AE,AB)，黄金比是要证明eq \f(AD,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2).
【解答】∵四边形AEFD为正方形，
∴AE＝AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，
∴AE＝BC.
∵eq \f(BE,BC)＝eq \f(BC,AB)，∴eq \f(BE,AE)＝eq \f(AE,AB)，
∴点E是AB的黄金分割点，
eq \f(AE,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2).
∵eq \f(AD,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2)，
∴矩形ABCD的宽与长的比是黄金比．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了黄金矩形，宽与长的比是eq \f(\r(5)－1,2)的矩形叫做黄金矩形．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．已知点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，若AB＝4 cm，则AC的长为( A )
A．(2eq \r(5)－2) cmB．(6－2eq \r(5)) cm
C．(eq \r(5)－1) cmD．(3－eq \r(5)) cm
2．把长为7 cm的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为( B )
A.eq \f(7\r(5)－1,2) cmB．eq \f(21－7\r(5),2) cm
C.eq \f(21＋7\r(5),2) cmD．eq \f(7\r(5)－21,2) cm
3．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α＝144度．
4．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20 m，试计算主持人应走到离A点至少7.6m处．(结果精确到0.1 m，黄金比取0.618)
5．已知线段AB＝10 cm，点C是它的黄金分割点，求AC的长．
解：分两种情况讨论：当点C靠近点A时，AC＝10×eq \f(3－\r(5),2)＝(15－5eq \r(5)) cm；当点C靠近点B时，AC＝10×eq \f(\r(5)－1,2)＝(5eq \r(5)－5) cm.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1·AB)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，则线段AP2018的长度是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－\r(5),2)))2018B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)))2018
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2018D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5)－2))2018
【互动探索】根据黄金分割的定义得到BP1＝eq \f(\r(5)－1,2)AB＝eq \f(\r(5)－1,2)，从而得出AP1＝1－eq \f(\r(5)－1,2)＝eq \f(3－\r(5),2)，同理得到AP2＝eq \f(3－\r(5),2)×eq \f(3－\r(5),2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－\r(5),2)))2，AP3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－\r(5),2)))3，根据此规律得到APn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－\r(5),2)))n.
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了黄金分割，利用黄金分割解决本题的关键是较长线段是整个线段长的eq \f(\r(5)－1,2)倍．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
黄金分割eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(定义,黄金分割点,黄金比→\f(\r(5)－1,2)))
请完成本课时对应训练！