北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程教学设计

这是一份北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程教学设计，共4页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。

一、基本目标
1．掌握用分解因式法解一元二次方程的方法．
2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．
3．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
二、重难点目标
【教学重点】
运用分解因式法解一元二次方程．
【教学难点】
灵活运用各种分解因式的方法解一元二次方程．
环节1 自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P46～P47的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．将下列各题因式分解：
am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
a2±2ab＋b2＝(a±b)2；
x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)；
3x2－14x＋8＝(x－4)(3x－2).
2．当一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积时，我们可以用书中方法求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
3．如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝－1或x＝1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用因式分解法解下列方程：
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
(2)5x2－2x－eq \f(1,4)＝x2－2x＋eq \f(3,4)；
(3)3x(2x＋1)＝4x＋2；
(4)(x－4)2＝(5－2x)2.
【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？分解因式时要注意些什么问题？
【解答】(1)因式分解，得(x＋1)(x－2)＝0.
于是，得x＋1＝0或x－2＝0，
故x1＝－1，x2＝2.
(2)移项、合并同类项，得4x2－1＝0.
因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.
于是，得2x＋1＝0或2x－1＝0，
故x1＝－eq \f(1,2)，x2＝eq \f(1,2).
(3)原方程可变形为3x(2x＋1)－2(2x＋1)＝0.
因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0.
于是，得2x＋1＝0或3x－2＝0，
故x1＝－eq \f(1,2)，x2＝eq \f(2,3).
(4)移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0.
因式分解，得[(x－4)＋(5－2x)][(x－4)－(5－2x)]＝0.
即(1－x)(3x－9)＝0，
于是，得1－x＝0或3x－9＝0，
故x1＝1，x2＝3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；②将方程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方程；③对两个一元一次方程分别求解．
【例2】我们知道x2－(a＋b)x＋ab＝(x－a)(x－b)，那么x2－(a＋b)x＋ab＝0就可转化为(x－a)(x－b)＝0，请你用上面的方法解下列方程．
(1)x2－3x－4＝0； (2)x2－7x＋6＝0；
(3)x2＋4x－5＝0.
【互动探索】(引发学生思考)上面因式分解的特点是什么？一次项系数与常数项有什么关系？
【解答】二次三项式x2－(a＋b)x＋ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由(－a)·(－b)而成的，而一次项是由－a·x＋(－b·x)交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
(1)因式分解，得(x＋1)(x－4)＝0.
于是，得x＋1＝0或x－4＝0，
故x1＝－1，x2＝4.
(2)因式分解，得(x－1)(x－6)＝0.
于是，得x－1＝0或x－6＝0，
故x1＝1，x2＝6.
(3)因式分解，得(x＋5)(x－1)＝0.
于是，得x＋5＝0或x－1＝0，
故x1＝－5，x2＝1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)上面这种因式分解的方法叫做十字相乘法，在解一元二次方程中经常用到这种方法．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．解方程：
(1)x2－3x－10＝0；(2)3x(x＋2)＝5(x＋2)．
解：(1)x1＝－2，x2＝5.
(2)x1＝－2，x2＝eq \f(5,3).
2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，求该三角形的周长．
解：解x2－12x＋35＝0，得x1＝5，x2＝7.
∵3＋4＝7，∴x＝5，故该三角形的周长为3＋4＋5＝12.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知9a2－4b2＝0，求代数式eq \f(a,b)－eq \f(b,a)－eq \f(a2＋b2,ab)的值．
【互动探索】a、b的值能直接求出来吗？a、b之间有怎样的关系？怎样将a、b的关系代入代数式中求值．
【解答】原式＝eq \f(a2－b2－a2－b2,ab)＝－eq \f(2b,a).
∵9a2－4b2＝0，
∴(3a＋2b)(3a－2b)＝0，
即3a＋2b＝0或3a－2b＝0，
∴a＝－eq \f(2,3)b或a＝eq \f(2,3)b.
当a＝－eq \f(2,3)b时，原式＝－eq \f(2b,－\f(2,3)b)＝3；
当a＝eq \f(2,3)b时，原式＝－3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)要求eq \f(a,b)－eq \f(b,a)－eq \f(a2＋b2,ab)的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．本题注意不要漏解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用因式分解法解一元二次方程的思路：因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
请完成本课时对应训练！