高中2.1 等式性质与不等式性质课堂检测

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这是一份高中2.1 等式性质与不等式性质课堂检测，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式中一定成立的是( )
A.ac>bcB.(a−b)c2>0C.1a<1bD.−2a<−2b

2. 已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是（）
A.若ac>bc>0，则a>bB.若a>b>0，则ac>bc
C.若a>b，c>0，则ac>bcD.若a>b，则ac2>bc2

3. 若a+b+c＝0，且aA.ab2
4. 已知a=2+11，b＝5，c=6+7，则a，b，c的大小关系为（）
A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a

5. 已知：−1A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a

6. 下面比较大小正确的是（）
A.(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)B.(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2)
C.(ac+bd)2≥(a2+b2)(c2+d2)D.(ac+bd)2>(a2+b2)(c2+d2)

7. 甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：
第一种：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2(v1≠v2)，平均速度为v¯；
第二种：在前一半时间用速度v1，在后一半时间用速度v2(v1≠v2)，平均速度为v′¯；
则v¯，v′¯的大小关系为（）
A.v¯>v′¯B.v¯
8. 已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且1a>1b，则甲是乙的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题①若ab>0，bc−ad>0，则ca−db>0；②若abd；③若bc−ad>0，bd>0则a+bbA.0B.1C.2D.3

10. 已知0A.M>NB.M二、多选题

若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是（）
A.ab≤1B.a+b≤2C.a2+b2≥2D.a3+b3≥3

下列四个条件，能推出1a<1b成立的有( )
A.b>0>aB.0>a>bC.a>0>bD.a>b>0

若非零实数a，b满足aA.ab<1B.ba+ab≥2C.1ab2<1a2bD.a2+a
设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（）
A.若a2−b2＝1，则a−b<1B.若1b−1a=1，则a−b<1
C.若|a−b|=1，则|a−b|<1D.若|a3−b3|＝1，则|a−b|<1
三、填空题

已知a＝x3+y3，b＝x2y+xy2，其中x，y均为正数，则a，b的大小关系为________．

若ad≠bc，则(a2+b2)(c2+d2)________(ac+bd)2．（选“≥”、“≤”、“>”、“<”其一填入）

已知实数a、x满足x
若a∈R，且a2−a<0，则a，a2，−a，−a2从小到大的排列顺序是________．
四、解答题

已知a>0且a≠1，试比较a2+1a2−1与a+1a−1的值的大小．

已知m>0，a，b∈R，求证：a+mb1+m2≤a2+mb21+m．

已知 1≤x+y≤5，−1≤x−y≤3，求2x−3y的取值范围．
参考答案与试题解析
人教A版（2019）必修第一册《2.1 等式性质与不等式性质》2021年同步练习卷（4）
一、单选题
1.
【答案】
D
【考点】
不等式的概念与应用
【解析】
根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．
【解答】
解：∵ a，b，c∈R且a>b，
∴ 取c＝0，可排除A，B；
取a＝1，b＝−1可排除C．
由不等式的性质知当a>b时，−2a<−2b，故D正确．
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
不等式的概念
【解析】
根据不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】
A．当c<0时，不等式不成立，故A不正确；
B．当c<0时，不等式不成立，故B不正确；
C．∵ a>b，c>0，∴ ac>bc，故C正确；
D．当c＝0时，不等式不成立，故D不正确，
3.
【答案】
C
【考点】
不等式的概念
【解析】
根据题意即可得出a<0，c>0，从而可判断选项B不成立，选项C成立，而当b＝0时，选项A，D都不成立，从而可得出正确的选项．
【解答】
∵ a+b+c＝0，且a∴ a<0，c>0，
∵ bac，∴ B不成立，
∵ a0，∴ acb＝0时，A，D都不成立．
4.
【答案】
C
【考点】
不等式的概念
【解析】
由a2=13+222,b2=13+236,c2=13+242，即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
∵ a2=13+222,b2=13+12=13+236,c2=13+242，
又22<36<42，
∴ a2b>a．
5.
【答案】
D
【考点】
不等式的概念
【解析】
利用不等式的性质和“作差法”即可得出．
【解答】
∵ −10，b<0<1．b2<1．
∴ ab−ab2＝ab(1−b)>0，ab2−a＝a(b2−1)>0．
∴ ab>ab2>a．
6.
【答案】
A
【考点】
利用不等式比较两数大小
【解析】
直接根据不等式的性质即可求解．
【解答】
∵ (a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd＝(ac+bd)2；
7.
【答案】
B
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
第一种，设出总路程为2s，由平均速度的公式可得v¯，第二种，设总时间为2t，求得平均速度v′¯，再由作差法，结合完全平方公式可判断大小关系．
【解答】
第一种：设总路程为2s，则v¯=2ssv1+sv2=2v1v2v1+v2，
第二种：设时间为2t，则v′¯=v1t+v2t2t=v1+v22，
v′¯−v¯=v1+v22−2v1v2v1+v2=(v1+v2)2−4v1v22(v1+v2)=(v1−v2)22(v1+v2)>0，∴ v′¯>v¯，
8.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据不等式的性质，求出条件乙的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
由1a>1b得1a−1b=b−aab>0，
∵ a>b，∴ b−a<0，
则ab<0，即a，b异号，
则a>0，b<0，
则甲是乙的必要不充分条件，
9.
【答案】
D
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】
下列命题①若ab>0，bc−ad>0，则ca−db>0，正确；
②若a−b>0，−c>−d>0，∴ ac>bd，正确；
③若bc−ad>0，bd>0，则bc−adbd>0，化为cd>ab，可得a+bb其中真命题的个数是3．
10.
【答案】
A
【考点】
利用不等式比较两数大小
【解析】
直接利用代数式的运算的应用和数的大小比较的应用求出结果．
【解答】
由于00．
所以M−N=11+a−b1+b−a1+a+11+b=1−aa+1+1−b1+b=(1−a)(1+b)+(1+a)(1−b)(1+a)(1+b)=2(1−ab)(1+a)(1+b)>0．
所以M>N，
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
利用不等式比较两数大小
基本不等式
【解析】
根据a>0，b>0，a+b＝2，取a＝b＝1，即可排除错误选项，根据本题为多选题，即可得到答案．
【解答】
解：对于A，由2=a+b≥2ab⇒ab≤1，正确；
对于B，令a=1，b=1时，a+b=2，错误；
对于C，a2+b2=(a+b)2−2ab=4−2ab≥2，正确；
对于D，令a=1，b=1时，a3+b3=2，错误.
故选AC.
【答案】
A,B,D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用不等式的性质，代入验证即可．
【解答】
解：1a<1b⇔b−aab<0⇔ab(a−b)>0，
A，ab<0，a−b<0，ab(a−b)>0成立；
B，ab>0，a−b>0，ab(a−b)>0成立；
C．ab<0，a−b>0，ab(a−b)<0，原式不成立；
D．ab>0，a−b>0，ab(a−b)>0成立.
故选ABD.
【答案】
A,B,D
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
当a【解答】
解：当a当ab<0时，ab+ba≥2不成立，
因为1ab2−1a2b=a−b(ab)2<0，则1ab2<1a2b一定成立，
因为a2−b2+a−b=(a−b)(a+b+1)符号不定，故a2+a故选ABD.
【答案】
A,D
【考点】
利用不等式比较两数大小
【解析】
A将a2−b2＝1，分解变形为(a+1)(a−1)＝b2，即可证明a−1b，去掉绝对值，将a3−b3＝1分解变形为(a−1)(a2+1+a)＝b3，即可证明a−b<1，同理当a【解答】
若a2−b2＝1，则a2−1＝b2，即(a+1)(a−1)＝b2，∵ a+1>a−1，∴ a−1若1b−1a=1，可取a＝7，b=78，则a−b>1，∴ B错误；
若|a−b|=1，则可取a＝9，b＝4，而|a−b|＝5>1，∴ C错误；
由|a3−b3|＝1，
若a>b>0，则a3−b3＝1，即(a−1)(a2+a+1)＝b3，∵ a2+1+a>b2，∴ a−1若0a2，∴ b−1∴ |a−b|<1，∴ D正确．
三、填空题
【答案】
a≥b
【考点】
不等式的概念
【解析】
作差，变形，写成几个因式乘积的形式，即可判定大小．
【解答】
a＝x3+y3，b＝x2y+xy2，
则a−b＝x3+y3−x2y−xy2＝x2(x−y)−y2(x−y)＝(x−y)(x2−y2)＝(x−y)2(x+y)，
x，y均为正数，所以(x−y)2≥0，x+y>0，
所以(x−y)2(x+y)≥0，即a−b≥0，
所以a≥b．
【答案】
>
【考点】
利用不等式比较两数大小
【解析】
根据ad≠bc即可得出(ad)2+(bc)2>2ac⋅bd，从而可得出(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2．
【解答】
∵ ad≠bc，
∴ (a2+b2)(c2+d2)＝(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2>(ac)2+(bd)2+2ac⋅bd＝(ac+bd)2．
【答案】
x2
【考点】
不等式的概念
【解析】
利用不等式的基本性质可得答案．
【解答】
已知实数a、x满足xx2>a2>0，ax>a2>0，x2>ax>0，所以x2>ax>a2>0，
则a2、x2、ax中的最大数为x2，
【答案】
−a<−a2【考点】
利用不等式比较两数大小
【解析】
作差比较可得．
【解答】
∵ a2−a<0，∴ 0−a2−(−a)＝−(a2−a)>0，∴ −a2>−a，
∴ −a<−a2<0四、解答题
【答案】
∵ a2+1a2−1−a+1a−1=−2aa2−1，
∴ 当a>1时，−2a<0，a2−1>0，则−2aa2−1<0，即a2+1a2−1当00，即a2+1a2−1>a+1a−1，
综上可得a>1时，a2+1a2−1a+1a−1．
【考点】
利用不等式比较两数大小
【解析】
作差可得出a2+1a2−1−a+1a−1=−2aa2−1，然后讨论a>1和0【解答】
∵ a2+1a2−1−a+1a−1=−2aa2−1，
∴ 当a>1时，−2a<0，a2−1>0，则−2aa2−1<0，即a2+1a2−1当00，即a2+1a2−1>a+1a−1，
综上可得a>1时，a2+1a2−1a+1a−1．
【答案】
证明：∵ m>0，∴ 1+m>0．
所以要证原不等式成立，
只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2)，
即证ma2−2ab+b2≥0，
即证(a−b)2≥0，而a−b2≥0显然成立，故原不等式得证．
【考点】
分析法的思考过程、特点及应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
略
【答案】
解：画出二元一次不等式组1≤x+y≤5−1≤x−y≤3所表示的平面区域（如图所示），
画出直线2x−3y=0，并平移使之经过可行域，观察图形可知，当直线经过点A时，直线的纵截距最大，此时z最小．当直线经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最大．
解方程组x−y=−1x+y=5得A(2, 3)，所以zmin=2×2−3×3=−5．
解方程组x−y=3x+y=1得B(2, −1)，所以zmax=2×2−3×(−1)=7．
所以2x−3y的取值范围是[−5, 7]．
【考点】
简单线性规划
【解析】
该问题是已知不等关系求范围的问题，若用不等式的性质求解，容易使未知数的范围扩大，导致结果错误．若把1≤x+y≤5，−1≤x−y≤3，看作是变量x，y的线性约束条件，把求2x−3y的取值范围看作是求目标函数 z=2x−3y范围，就成了一个线性规划问题了．因此可按照解决线性规划问题的方法进行．
【解答】
解：画出二元一次不等式组1≤x+y≤5−1≤x−y≤3所表示的平面区域（如图所示），
画出直线2x−3y=0，并平移使之经过可行域，观察图形可知，当直线经过点A时，直线的纵截距最大，此时z最小．当直线经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最大．
解方程组x−y=−1x+y=5得A(2, 3)，所以zmin=2×2−3×3=−5．
解方程组x−y=3x+y=1得B(2, −1)，所以zmax=2×2−3×(−1)=7．
所以2x−3y的取值范围是[−5, 7]．