2021学年2.2 基本不等式课堂检测

这是一份2021学年2.2 基本不等式课堂检测，共9页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 函数y＝2x(2−x)（其中00，且2a+b=4，则1ab的最小值为（ ）
A.14B.12C.2D.4

3. 已知实数x、y满足x>0、y>0，且，则x+2y的最小值为（ ）
A.2B.4C.6D.8

4. 若正数x，y满足x+3y＝5xy，则4x+3y的最小值为（ ）
A.245B.275C.5D.6

5. 若正实数x，y满足x+y＝1，则4x+1+1y的最小值为（ ）
A.447B.275C.143D.92

6. 若a>0，b>0，且，则2a+b的最小值为（ ）
A.2B.C.D.

7. 若正数a，b满足：1a+2b=1则2a−1+1b−2的最小值为( )
A.2B.2C.22D.1

8. 已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ）
A.3B.4C.92D.112

9. 若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y40)的最小值是2B.x2+2x2+2的最小值是2
C.x2+5x2+4的最小值是2D.2−3x−4x的最大值是2−43

《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC=b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( )

A.a+b2≥ab(a>0, b>0)B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)
C.ab≥21a+1b(a>0, b>0)D.a2+b22≥a+b2(a≥0, b>0)

若a>0，b>0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ）
A.ab≤1B.C.a2+b2≥2D.

若正实数a，b满足a+b＝1，则下列说法正确的是（ ）
A.ab有最大值B.+有最大值
C.+有最小值2D.a2+b2有最大值
三．填空题

已知实数x>0，y>0，且4x+1y=2，则xy的最小值为________，x+y的最小值为________．

若正数a，b满足ab＝2a+2b+5，则ab的最小值是________，a+b的最小值是________．

已知m>0，n>0，且+＝，则m+2n的最小值为________．

已知a，b，c为正数，则a2+b2+c2ab+bc+ac的最小值为________．
四、解答题

（1）证明：5−10>3−8
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：(1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8．

（1）已知a，b，c>0，求证：≥a+b+c；
（2）已知a>0，b>0，a+b＝1，求证：．

已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部且并全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且．
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部的函数关系式；

（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
参考答案与试题解析
人教A版（2019）必修第一册《2.2 基本不等式》2021年同步练习卷（4）
一、单选题
1.
【答案】
D
【考点】
二次函数的图象
二次函数的性质
【解析】
法一：由y＝2x(2−x)，可求函数的最大值；
法二：由y＝2x(2−x)＝−2x2+4x，结合二次函数的性质可求．
【解答】
法一：∵ 00，y>0，x+y＝1，
∴ x+1+y＝2，
4x+1+1y=x+1+y2⋅(4x+1+1y)=12(1+4+4yx+1+x+1y)≥12(5+24)=92（当且仅当x=13，y=23取等号），
6.
【答案】
D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
可设m＝a+1，n＝a+2b，即有+＝1，则a＝m−1，b＝(n−a)＝(n−m+1)，可得2a+b＝(3m+n−3)，由3m+n＝(3m+n)（+）＝4++，运用基本不等式可得所求最小值，注意等号成立的条件．
【解答】
a>0，b>0，且，
设m＝a+1，n＝a+2b，即有+＝1，
则a＝m−1，b＝(n−a)＝(n−m+1)，
可得2a+b＝2m−2+(n−m+1)
＝(3m+n−3)，
由3m+n＝(3m+n)（+）＝4++
≥4+2＝4+2，
当且仅当n＝m＝+1时，上式取得等号．
则(3m+n−3)≥(1+2）＝+．
则2a+b的最小值为+．
7.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题意可得b=2aa−1且a−1>0，代入消元并化简可得2a−1+1b−2=2a−1+a−12，由基本不等式可得．
【解答】
解：∵ 正数a，b满足1a+2b=1，
∴ b=2aa−1，由b=2aa−1>0可得a−1>0，
∴ 2a−1+1b−2=2a−1+12aa−1−2
=2a−1+a−12a−2(a−1)
=2a−1+a−12≥22a−1⋅a−12=2，
当且仅当2a−1=a−12即a=b=3时取等号.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析 ∵ 2xy=x⋅2y≤x+2y22，
∴ 上式可化为x+2y2+4x+2y−32≥0．
又∵ x>0，y>0，∴ x+2y≥4．
当x=2，y=1时取等号．故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】
将不等式x+y40，
解得m4，
∴ 实数m的取值范围是(−∞, −1)∪(4, +∞)．
故选：B．
10.
【答案】
A
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由x2+xy−2＝0二元换一元，表示出3x+y＝2x+≥4，利用基本不等式求出最小值即可．
【解答】
因为x2+xy−2＝0，
所以＝，
所以3x+y＝3x+＝2x+≥4，当且仅当x＝1时等号成立，
二．多选题
【答案】
A,B
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知结合基本不等式，检验各选项的成立条件是否成立即可判断．
【解答】
由基本不等式可知，x>0时，x+1x≥2，当且仅当x=1x即x＝1时取等号，故A正确；
B:x2+2x2+2=x2+2≥2，当x＝0时取得等号，故B正确；
C:x2+5x2+4=x2+4+1x2+4，令t=x2+4，则t≥2，
因为y=t+1t在[2, +∞)上单调递增，当t＝2时，取得最小值52，故C错误；
D:2−(3x+4x)在x0, b>0)．
由于CD2=DE⋅OD，
所以DE=CD2OD=aba+b2，
所以由CD≥DE，
整理得：ab≥2aba+b=21a+1b(a>0, b>0)．
故选AC.
【答案】
A,C,D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题B直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断．
【解答】
对于命题ab≤1：由，A正确；
对于命题：令a＝1，b＝1时候不成立，B错误；
对于命题a2+b2≥2:a2+b2＝(a+b)2−2ab＝4−2ab≥2，C正确；
对于命题：，命题D正确．
【答案】
A,B
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断．
【解答】
因为正实数a，b满足a+b＝1，
由基本不等式可得ab＝，当且仅当a＝b时取等号，故A正确；
因为＝a+b+2＝1+2≤1+a+b＝2，当且仅当a＝b时取等号，
所以的最大值为，故B正确；
＝＝≥4，即有最小值4，故C错误；
a2+b2＝(a+b)2−2ab＝1−2ab，结合A可知有最小值，当且仅当a＝b时取等号，故D错误；
三．填空题
【答案】
4,92
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由题意利用基本不等式，得出结论．
【解答】
实数x>0，y>0，且4x+1y=2≥24xy，则xy≥4，当且精当x＝4，y＝2时，等号成立．
x+y＝(x+y)⋅(2x+12y)＝2+x2y+2yx+12≥52+2x2y⋅2yx=92，当且仅当 x＝2y时，等号成立，
【答案】
25,10
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由已知结合基本不等式即可直接求解．
【解答】
因为正数a，b满足ab＝2a+2b+5，
解可得，≥5，
解可得ab≥25，当且仅当a＝b时取等号，
因为2a+2b+5＝ab，当且仅当a＝b时取等号，
解可得，a+b≥10，
【答案】
3+6
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
先换元，令s＝m+2，t＝n+2，则＝，m+2n＝s+2t−6；再采用“乘1法”，求出s+2t的最小值即可得解．
【解答】
令s＝m+2，t＝n+2，则s>2，t>2，且＝，
∴ m+2n＝(s−2)+2(t−2)＝s+2t−6，
而s+2t＝3(s+2t)⋅（）＝3(1+++2)≥3×(3+2）＝3(3+），当且仅当＝，即s＝t时，等号成立．
∴ s+2t的最小值为3(3+），
∴ m+2n＝s+2t−6≥3(3+）−6＝3+6．
【答案】
1
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
结合a2+b2+c2≥ab+ac+bc，即可直接求解．
【解答】
因为a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，
当且仅当a＝b＝c时，上述三个不等式同时取得等号＝，
故a2+b2+c2≥ab+ac+bc，
所以a2+b2+c2ab+ac+bc≥1，当且仅当a＝b＝c时取等号．
四、解答题
【答案】
证明：（1）∵ (5+8)2>(10+3)2，
∴ 5+8>10+3，
∴ 5−10>3−8
（2）∵ a，b，c∈R+，且a+b+c=1，
∴ 左边=b+ca⋅a+cb⋅a+bc≥2bc⋅2ac⋅2ababc=8（a=b=c时取等号），
∴ (1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8．
【考点】
不等式的证明
【解析】
（1）利用(5+8)2>(10+3)2，即可证明结论；
（2）先利用“1”的代换，再利用基本不等式，即可得到结论．
【解答】
证明：（1）∵ (5+8)2>(10+3)2，
∴ 5+8>10+3，
∴ 5−10>3−8
（2）∵ a，b，c∈R+，且a+b+c=1，
∴ 左边=b+ca⋅a+cb⋅a+bc≥2bc⋅2ac⋅2ababc=8（a=b=c时取等号），
∴ (1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8．
【答案】
由a，b，c>0，可得：
a+≥2c，b+≥2a，c+≥2b，
相加可得(a+b+c)+（）≥2(a+b+c)，
即有≥a+b+c，
当且仅当a＝b＝c取得等号；
a>0，b>0，a+b＝1，
可得a+b≥2，即有00，可得a+≥2c，b+≥2a，c+≥2b，相加即可得证；
（2）a>0，b>0，a+b＝1，可得a+b≥2，求得≥4，即可得证．
【解答】
由a，b，c>0，可得：
a+≥2c，b+≥2a，c+≥2b，
相加可得(a+b+c)+（）≥2(a+b+c)，
即有≥a+b+c，
当且仅当a＝b＝c取得等号；
a>0，b>0，a+b＝1，
可得a+b≥2，即有0