数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精练

这是一份数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若向量{a→，b→，c→}是空间的一个基底，则一定可以与向量p→=2a→+b→，q→=2a→−b→构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A.a→B.b→C.c→D.a→+b→

2. 如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→=a→，A1D1→=b→，A1A→=c→．则下列向量中与B1M→相等的向量是( )

A.−12a→+12b→+c→B.12a→+12b→+c→
C.12a→−12b→+c→D.−12a→−12b→+c→

3. 若向量MA→，MB→，MC→的起点M和终点A，B，C互不重合，且无三点共线，则能使向量MA→，MB→，MC→成为空间一个基底的关系式是（ ）
A.OM→=13OA→+13OB→+13OC→
B.MA→=MB→+MC→
C.OM→=OA→+OB→+OC→
D.MA→=2MB→−MC→

4. 如图所示，在四面体O−ABC中，，，，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则＝（ ）

A.-+B.-++C.D.

5. 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，向量AB→,AD→,AA1→两两的夹角均为60∘，且|AB→|=1，|AD→|=2，|AA1→|=3，则|AC1→|等于( )
A.5B.6C.4D.8
二、填空题

在四面体O−ABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→=________（用a，b，c表示）

已知{，，}是空间的一个单位正交基底，{+，-，}是空间的另一个基底，若向量在基底{，，}下表示为＝3+5+9，则在基底，{+，-，3}下可表示为________．

在四棱锥P−ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝，＝，＝，试用基底{，，}表示向量＝________．
三、解答题

如图所示，正方体OABCO′A′B′C′，且＝，＝，＝．

（1）用，，表示向量，；

（2）设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用，，表示．

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，＝-，＝，设＝，＝，＝，试用，，表示．

四、选择题

已知，，是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（ ）
A.2，-，+2B.2，-，+2
C.，2，-D.，+，-

给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A.若{，，}可以作为空间的一个基底，与共线，≠，则{，，}也可以作为空间的一个基底
B.已知向量 // ，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面
D.已知{，，}是空间的一个基底，若＝+，则{，，}也是空间的一个基底
五、填空题

已知空间的一个基底{，，}，＝-+，＝x+y+，若与共线，则x＝________，y＝________．

已知e→1，e→2是空间单位向量，e→1⋅e→2=12，若空间向量b→满足b→⋅e→1=2，b→⋅e→2=52，且对于任意x，y∈R，|b→−(xe1→+ye2→)|≥|b→−(x0e1→+y0e2→)|=1(x0, y0∈R)，则x0=________，y0=________，|b→|=________．

在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝，＝，＝，E，F分别是AD1，BD的中点．

（1）用向量，，表示，；

（2）若＝x+y+z，求实数x，y，z的值．
参考答案与试题解析
人教A版（2019）选择性必修第一册《1.2 空间向量基本定理》2021年同步练习卷（5）
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
【解析】
空间向量的一组基底，要满足不为零向量，且三个向量不共面，逐个判断即可．
【解答】
解：由已知及向量共面定理，结合p→+q→=2a→+b→+2a→−b→=4a→，
可知向量p→，q→，a→共面，同理可得p→−q→=2a→+b→−2a→+b→=2b→，
故向量p→，q→，b→共面，故向量a→，b→都不可能与p→，q→构成基底，
又可得a→+b→=34(2a→+b→)−14(2a→−b→)=34p→−14q→，
故向量a→+b→也不可能与p→，q→构成基底，只有c→符合题意，
故选C
2.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
相等向量与相反向量
【解析】
由题意可得B1M→=B1B→+BM→=A1A→+12B1D1→=c→+12[b→−a→]，化简得到结果．
【解答】
解：由题意可得B1M→=B1B→+BM→=A1A→+12BD→
=A1A→+12B1D1→=c→+12(A1D1→−A1B1→)
=c→+12(b→−a→)=−12a→+12b→+c→，
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
A．由OM→=13OA→+13OB→+13OC→，13+13+13=1，利用平面向量基本定理可知：点M在平面ABC内；
B．由MA→=MB→+MC→，利用平面向量基本定理可知：向量MA→，MB→，MC→共面；
C．由OM→=OA→+OB→+OC→，且向量MA→，MB→，MC→的起点M与终点A、B、C互不重合且无三点共线，由空间平行六面体法则即可判断出；
D．由MA→=2MB→−MC→可知：向量MA→，MB→，MC→共面．
【解答】
解：A．∵ OM→=13OA→+13OB→+13OC→，13+13+13=1，
∴ 点M在平面ABC内，
因此向量MA→，MB→，MC→不能构成一个空间基底；
B．∵ MA→=MB→+MC→，
∴ 向量MA→，MB→，MC→共面，不能构成一个空间基底；
C．由OM→=OA→+OB→+OC→，且向量MA→，MB→，MC→的起点M与终点A、B、C互不重合且无三点共线，
由空间平行六面体法则可知：
OM是以点O为顶点的对角线，
∴ 向量MA→，MB→，MC→能构成一个空间基底；
D．由MA→=2MB→−MC→可知：向量MA→，MB→，MC→共面，
因此不能构成空间的一个基底．
综上可得：只有C正确．
故选：C．
4.
【答案】
B
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据向量加法和减法的三角形法则得出．
【解答】
连接ON，
∵ N是BC的中点，∴ ＝，
∵ ＝2，∴ ＝，
∴ ＝＝-＝-++，
5.
【答案】
A
【考点】
平面向量的夹角
向量在几何中的应用
【解析】
由题设知AC1→=AB→+BC→+CC1→，故AC1→2=(AB→+BC→+CC1→)2，由此能求出|AC1→|．
【解答】
解：如图，
∵ 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，
向量AB→、AD→、AA1→两两的夹角均为60∘，
且|AB→|=1，|AD→|=2，|AA1→|=3，
∴ AC1→=AB→+BC→+CC1→，
∴ AC1→2=(AB→+BC→+CC1→)2
=AB→2+BC→2+CC1→2+2AB→⋅BC→+
2AB→⋅CC1→+2BC→⋅CC1→
=1+4+9+2×1×2×cs60∘+
2×1×3×cs60∘+2×2×3×cs60∘
=25，
∴ |AC1→|=5．
故选A．
二、填空题
【答案】
12a→+14b→+14c→
【考点】
空间向量的加减法
中点坐标公式
【解析】
利用D为BC的中点，E为AD的中点，OE→=12(OA→+OD→)，OD→=12(OB→+OC→)，化简可得结果．
【解答】
解：在四面体O−ABC中，OA→=a，OB→=b，OC→=c，D为BC的中点，E为AD的中点，
∴ OE→=12(OA→+OD→)=OA→2+OD→2=12a→+12×12(OB→+OC→)=12a→+14(b→+c→)=12a→+14b→+14c→，
故答案为：12a→+14b→+14c→．
【答案】
＝4（+）-（-）+3(3）
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
设＝x（+）+y（-）+z(3），利用向量相等列方程组求出x、y、z的值即可．
【解答】
由题意知，＝3+9，
设＝x（+-）+z(2），
所以＝(x+y)+3z，
由向量相等得，
解得；
所以在基底{+，-，4
＝4（+）-（-）．
【答案】
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
由题意画出图形，然后利用向量加减法的三角形法则求得．
【解答】
如图，
＝
＝．
三、解答题
【答案】
正方体OABC−O′A′B′C′，且＝，＝，＝．
所以，
．
根据三角形法则：连接OG和OH，
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
（1）直接利用三角形法则和向量的线性运算的应用求出结果．
（2）直接利用三角形法则和向量的线性运算的应用求出结果．
【解答】
正方体OABC−O′A′B′C′，且＝，＝，＝．
所以，
．
根据三角形法则：连接OG和OH，
【答案】
连接AN，
∴ ＝+，
∵ ＝-（+），＝+＝+（-）＝+，
∴ ＝-（++＝-++．
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
根据向量的加减的几何意义即可求出．
【解答】
连接AN，
∴ ＝+，
∵ ＝-（+），＝+＝+（-）＝+，
∴ ＝-（++＝-++．
四、选择题
【答案】
A,B,D
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
空间向量的正交分解及其坐标表示
平面向量的基本定理
【解析】
分别判断向量是否共面即可．
【解答】
A，因为2＝（-（+8）、-、+2，故它们不能构成一个基底；
B，因为2＝（-（+2）、-、+2，故它们不能构成一个基底；
C，因为找不到实数λ、μ，使+μ（-，故、8、-三个向量不共面；
对于D，因为＝（+（-），得、+、-三个向量共面，
【答案】
A,B,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定A、B、C、D的结果．
【解答】
对于选项A：若{，，}可以作为空间的一个基底，与，≠，则{，，，真命题．
对于选项B：已知向量 // ，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底．
对于选项C：已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，，则A，B，M，真命题．
对于选项D：已知{，，}是空间的一个基底，若＝+，，}也是空间的一个基底．
五、填空题
【答案】
1,−1
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
由与共线，得存在实数λ，使，列出方程组能求出结果．
【解答】
因为空间的一个基底{，，}，
＝-+，＝x+，与共线，
所以存在实数λ，使，
即-+＝λx+λ，
∴ ，解得．
【答案】
1,2,22
【考点】
空间向量的数量积运算
平面向量数量积的运算
【解析】
由题意和数量积的运算可得=π3，不妨设e1→=(12, 32, 0)，e2→=(1, 0, 0)，由已知可解b→=(52, 32, t)，可得|b→−(xe1→+ye2→|2=(x+y−42)2+34(y−2)2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，(x+y−42)2+34(y−2)2+t2取最小值1，由模长公式可得|b→|．
【解答】
解：∵ e1→⋅e2→=|e1→||e2→|cs=cs=12，
∴ =π3，不妨设e1→=(12, 32, 0)，e2→=(1, 0, 0)，b→=(m, n, t)，
则由题意可知b→⋅e1→=12m+32n=2，b→⋅e2→=m=52，解得m=52，n=32，∴ b→=(52, 32, t)，
∵ b→−(xe1→+ye2→)=(52−12x−y, 32−32x, t)，
∴ |b→−(xe1→+ye2→|2=(52−12x−y)2+(32−32x)2+t2
=x2+xy+y2−4x−5y+t2+7=(x+y−42)2+34(y−2)2+t2，
由题意当x=x0=1，y=y0=2时，(x+y−42)2+34(y−2)2+t2取最小值1，
此时t2=1，故|b→|=(52)2+(32)2+t2=22
故答案为：1；2；22
【答案】
如图，＝+＝-+-＝--，
＝+＝+
＝-（+）+（+（-）．
＝（+）
＝（-+）
＝（-+--）
＝--，
∴ x＝，y＝-．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量的基本定理
【解析】
（1）如图，＝+＝-+-，＝+＝+＝-（+）+（+），进而得到答案；
（2）＝（+）＝（-+），结合＝x+y+z，可得实数x，y，z的值．
【解答】
如图，＝+＝-+-＝--，
＝+＝+
＝-（+）+（+（-）．
＝（+）
＝（-+）
＝（-+--）
＝--，
∴ x＝，y＝-．