2022年中考数学三轮冲刺专题训练05《函数与几何图形的综合》（含答案）

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专题训练(五)　[函数与几何图形的综合]1.已知函数y=mx2-(2m-5)x+m-2的图象与x轴有两个公共点.(1)求m的取值范围,并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式;(2)题(1)中求得的函数记为C1.①当n≤x≤-1时,y的取值范围是1≤y≤-3n,求n的值;②函数C2:y=m(x-h)2+k的图象由函数C1的图象平移得到,其顶点P落在以原点为圆心,半径为的圆内或圆上.设函数C1的图象顶点为M,求点P与点M距离最大时函数C2的解析式.           2.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值.(3)点D为抛物线对称轴上一点.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标.             3.如图,以原点O为圆心,3为半径的圆与x轴分别交于A,B两点(点B在点A的右边),P是半径OB上一点,过点P且垂直于AB的直线与☉O分别交于C,D两点(点C在点D的上方),直线AC,DB交于点E.若AC∶CE=1∶2.(1)求点P的坐标;(2)求过点A和点E,且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式.           4.如图,抛物线y=a(x-2)2-1过点C(4,3),交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧).(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标;(2)连接OC,CM,求tan∠OCM的值;(3)若点P在抛物线的对称轴上,连接BP,CP,BM,当∠CPB=∠PMB时,求点P的坐标.           5.如图①,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+m与x轴,y轴分别交于点A和点B(0,-1),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).(1)求n的值和抛物线的解析式.(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<4),DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图②).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式及p的最大值.(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A,O,B的对应点分别是点A1,O1,B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.        6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-x-与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.(1)求直线AE的解析式.(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是线段CP上的一点,点N是线段CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值.(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2-x-沿x轴正方向平移得到新抛物线y',y'经过点D,y'的顶点为点F.在新抛物线y'的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.   参考答案1.解:(1)由题意可得:解得:m<,且m≠0.当m=2时,函数解析式为y=2x2+x.(2)①函数y=2x2+x图象开口向上,对称轴为直线x=-,∴当x<-时,y随x的增大而减小.∵当n≤x≤-1时,y的取值范围是1≤y≤-3n,∴2n2+n=-3n.∴n=-2或n=0(舍去).∴n=-2.②∵y=2x2+x=2x+2-,∴函数C1的图象顶点M的坐标为-,-.由图形可知当P为射线MO与圆的交点时,距离最大.∵点P在直线OM上,由O(0,0),M-,-可求得直线的解析式为y=x.设P(a,b),则有a=2b.根据勾股定理可得PO2=(2b)2+b2=()2,解得b=1(负值已舍).∴a=2.∴PM最大时函数C2的解析式为y=2(x-2)2+1.2.解:(1)由题意得解得∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)方法1(代数法):如图①,过点P作PG∥CF交CB于点G,由题意知∠BCO=∠CFE=45°,F(0,m),C(0,3),∴△CFE和△GPE均为等腰直角三角形,∴EF=CF=(3-m),PE=PG.又易知直线BC的解析式为y=-x+3.设xP=t(1<t<3),则PE=PG=(-t+3-t-m)=(-m-2t+3).又∵t2-4t+3=t+m,∴m=t2-5t+3.∴PE+EF=(3-m)+(-m-2t+3)=(-2t-2m+6)=-(t+m-3)=-(t2-4t)=-(t-2)2+4,∴当t=2时,PE+EF取最大值4.方法2:(几何法)如图②,由题易知直线BC的解析式为y=-x+3,OC=OB=3,∴∠OCB=45°.同理可知∠OFE=45°,∴△CEF为等腰直角三角形.以BC为对称轴将△FCE对称得到△F'CE,作PH⊥CF'于点H则PE+EF=PF'=PH.又PH=yC-yP=3-yP.∴当yP最小时,PE+EF取最大值.∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴当yP=-1时,(PE+EF)max=×(3+1)=4.(3)由(1)知对称轴为直线x=2,设D(2,n),如图③.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形,且D在BC上方D1位置时,由勾股定理得C+BC2=B,即(2-0)2+(n-3)2+(3)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5;当△BCD是以BC为直角边的直角三角形,且D在BC下方D2位置时,由勾股定理得B+BC2=C,即(2-3)2+(n-0)2+(3)2=(2-0)2+(n-3)2,解得n=-1.∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,D点坐标为(2,5)或(2,-1).3.解:(1)过点E作EF⊥x轴于点F,∵CD⊥AB,∴CD∥EF,PC=PD.∴△ACP∽△AEF,△BPD∽△BFE.∵AC∶CE=1∶2,∴AC∶AE=1∶3.∴==,==.∴AF=3AP,BF=3PB.∵AF-BF=AB.∴3AP-3PB=AB.又∵☉O的半径为3,设P(m,0),∴3(3+m)-3(3-m)=6,∴m=1.∴P(1,0).(2)∵P(1,0),∴OP=1,∵A(-3,0).∴OA=3,∴AP=4,BP=2.∴AF=12.连接BC.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∵CD⊥AB,∴△ACP∽△CBP,∴=.∴CP2=AP·BP=4×2=8.∴CP=2(负值已舍).∴EF=3CP=6.∴E(9,6).∵抛物线的顶点在直线CD上,∴CD是抛物线的对称轴,∴抛物线过点(5,0).设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c.根据题意得解得∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-.4.解:(1)由抛物线y=a(x-2)2-1过点C(4,3),得3=a(4-2)2-1,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=(x-2)2-1,顶点M的坐标为(2,-1).(2)如图,连接OM,∵OC2=32+42=25,OM2=22+12=5,CM2=22+42=20,∴CM2+OM2=OC2,∴∠OMC=90°.OM=,CM=2,tan∠OCM===.(3)如图,过C作CN垂直于对称轴,垂足N在对称轴上,取一点E,使EN=CN=2,连接CE,EM=6.当y=0时,(x-2)2-1=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0).∵CN=EN,∴∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°,∵∠EPB=∠EPC+∠CPB=∠PMB+∠PBM,∴∠EPC=∠PBM,∴△CEP∽△PMB,∴=,易知MB=,CE=2,∴=,解得PM=3±,∴P点坐标为(2,2+)或(2,2-).5.解:(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0,-1),∴m=-1,∴直线l的解析式为y=x-1.∵直线l:y=x-1经过点C(4,n),∴n=×4-1=2.∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,-1),∴解得∴抛物线的解析式为y=x2-x-1.(2)令y=0,则x-1=0,解得x=,∴点A的坐标为,0,∴OA=.在Rt△OAB中,OB=1,∴AB===.∵DE∥y轴,∴∠ABO=∠DEF,在矩形DFEG中,EF=DE·cos∠DEF=DE·=DE,DF=DE·sin∠DEF=DE·=DE,∴p=2(DF+EF)=2×+DE=DE,∵点D的横坐标为t(0<t<4),∴Dt,t2-t-1,Et,t-1,∴DE=t-1-t2-t-1=-t2+2t,∴p=×-t2+2t=-t2+t,∴p=-(t-2)2+,且-<0,∴当t=2时,p有最大值.(3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°,∴A1O1∥y轴,B1O1∥x轴.设点A1的横坐标为x,如图①,点O1,B1在抛物线上时,点O1的横坐标为x,点B1的横坐标为x+1,∴x2-x-1=(x+1)2-(x+1)-1,解得x=.如图②,点A1,B1在抛物线上时,点B1的横坐标为x+1,点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大,∴x2-x-1=(x+1)2-(x+1)-1+,解得x=-.综上所述,点A1的横坐标为或-.6.解:(1)令y=0,得x2-x-=0,解得x1=-1,x2=3,∴点A(-1,0),B(3,0).∵点E(4,n)在抛物线上,∴n=×42-×4-=,即点E,设直线AE的解析式为y=kx+b,则,解得∴直线AE的解析式为y=x+.(2)令y=x2-x-中x=0,得y=-,∴C(0,-).由(1)得点E,∴直线CE的解析式为y=x-.过点P作PH∥y轴,交CE于点H,如图①,设点Pt,t2-t-,则Ht,t-,∴PH=t--=-t2+t,∴S△PCE=S△PHC+S△PHE=·PH·=××4=-t2+t=-(t2-4t)=-(t-2)2+.∵-<0,∴当t=2时,S△PCE最大,此时点P(2,-).∵C(0,-),∴PC∥x轴.∵B(3,0),K为BC的中点,∴K,-.如图②,作点K关于CP,CD的对称点K1,K2,连接K1K2,分别交CP,CD于点M,N.此时KM+MN+NK最小,易知K1,-.∵OC=,OB=3,OD=1,∴∠OCB=60°,∠OCD=30°,∴CD平分∠OCB,∴点K2在y轴上.∵CK=OC=,∴点K2与原点O重合,∴KM+MN+NK=K1M+MN+NO=OK1==3,∴KM+MN+NK的最小值为3.(3)存在.如图③,点Q的坐标分别为Q1(3,2),Q23,,Q33,-,Q43,.