九年级下册5.7二次函数的应用优秀巩固练习

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5.7二次函数的应用同步练习

青岛版初中数学九年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

2. 某书店销售一批新进图书，已知销售这种图书每天获得的利润元与图书的售价元本之间的函数解析式为若想每天

获得的利润最大，则售价应定为 

A. 元本 B. 元本 C. 元本 D. 元本

3. 心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力与提出概念的时间单位：之间近似满足函数关系，值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为   

A.
B.
C.
D.

4. 如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与之间函数关系的图象是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是

A.  B.  C.  D.

6. 运动会上，某运动员掷铅球时，所掷铅球的高与水平距离之间的函数表达式为，则该运动员的成绩是     

A.  B.  C.  D.

7. 飞机着陆后滑行的距离单位：与滑行时间单位：的函数关系式满足，则飞机着陆至停下来滑行的距离是

A.  B.  C.  D.

8. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度与飞行时间满足函数表达式则下列说法中正确的是

A. 点火后和点火后的升空高度相同
B. 点火后火箭落于地面
C. 点火后的升空高度为
D. 火箭升空的最大高度为

9. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是

A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系

10. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表所示．给出下列说法：抛物线与轴的交点为；抛物线的对称轴是在轴的右侧；抛物线一定经过点；在对称轴左侧，随增大而减小．从表可知，下列说法正确的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 军事演习时发射一颗炮弹，经后炮弹的高度为，且时间与高度之间的函数关系为，若炮弹在第与第时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的．

A. 第 B. 第 C. 第 D. 第

12. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系下列叙述正确的是

A. 小球的飞行高度不能达到 B. 小球的飞行高度可以达到
C. 小球从飞出到落地要用时 D. 小球飞出时的飞行高度为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行的时间单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行______米才能停下来．
14. 如图，用长为米的篱笆，一面靠墙墙的长度超过米，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米，则关于的函数解析式是________________不要求写取值范围．
15. 某商场经营一种小商品，已知购进时单价是元．调查发现：当销售单价是元时，月销售量为件．而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，当月销售利润最大时，销售单价为____元．
16. 某商场购进一批单价为元的日用商品如果以单价元销售，那么半月内可销售出件根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高元，销售量相应减少件，当销售量单价是___________元时，才能在半月内获得最大利润．
17. 某幢建筑物从米高的窗口用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状抛物线所在平面与墙面垂直，如图，如果抛物线的最高点离墙米，离地面米，则水流落地点离墙的距离是          米
    
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 某商店购进一批成本为每件元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
    

求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；

若商店按单价不低于成本价，且不高于元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润元最大？最大利润是多少？

若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于元，则每天的销售量最少应为多少件？






 

19. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本元．试销期间发现每天的销售量袋与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用元．

请直接写出与之间的函数关系式；
如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？
设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？






 

20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点、在轴上，并且，动点在过、、三点的抛物线上．
    求抛物线的函数表达式；
    在直线上方的抛物线上，是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
    在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元总成本放养总费用收购成本．
    设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；
    设这批淡水鱼放养天后的质量为，销售单价为元根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．
    分别求出当和时，与的函数关系式；
    设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．利润销售总额总成本

22. 小张到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：小张的采购价元吨与采购吨之间函数关系的图象如图中的折线段所示不包含端点，但包含端点．
    求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
    已知老王种植水果的成本是元吨，那么小张的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润最大？最大利润是多少？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且点是第三象限内抛物线上的一动点．
    求此抛物线的表达式；
    若，求点的坐标；
    连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

24. 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为元千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量千克与销售单价元千克的函数关系如图所示：
    求与的函数解析式也称关系式；
    求这一天销售西瓜获得的利润的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点二次函数的图象经过点，与轴交于点，与一次函数的图象交于另一点．
    求二次函数的表达式；
    当时，直接写出的取值范围；
    平移，使点的对应点落在二次函数第四象限的图象上，点的对应点落在直线上，求此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，抛物线经过点和，
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
函数表达式为：，
，
，故函数有最大值，
当时，取得最大值，此时，
答：水流喷出的最大高度为米．
故选：．
由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出和的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义．
根据函数解析式为，可得当时，有最大值．
【解答】
解：，
抛物线的开口向下，
当时，，
想每天获得的利润最大，则销售价应定为元，
故选C．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定已知点坐标，求出函数表达式，通常自变量在对称轴时，函数取得最值．
把点坐标：、、，代入函数，求出函数表达式，由，故函数有最大值，即：当时，有最大值．
【解答】
解：由题意得：函数过点、、，
把以上三点坐标代入得：
，解得：，
则函数的表达式为：，
，则函数有最大值，
当时，有最大值，即学生接受能力最强，
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图像，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，运用了分类讨论思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出与的函数关系式．
过点作于，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图，易得，根据三角形面积公式得到，于是可判断当时，与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，与的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．

【解答】

解：过点作于，
是等腰直角三角形，
，，
当时，如图，

 
，
， 
，是开口向上的抛物线的一部分；
当时，如图，

，
，
，是开口向下的抛物线的一部分；
因此，只有选项的图象符合题意．
故选B．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式，是解题的关键．
设以抛物线形拱桥的拱顶为坐标原点的抛物线解析式为：，将点代入，求得值，可得函数解析式，根据水面宽增加可得，则可得水面下降后的值，用原来水面的值减去它，即可得答案．
【解答】
解：设以抛物线形拱桥的拱顶为坐标原点的抛物线解析式为：，则点在抛物线上，
，
解得，
，
当水面宽度增加时，则，
代入得：，
水面下降的距离为：．
故选B．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即，测量运动员成绩，也就是求的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
【解答】
解：由题意可知，把代入解析式得：
，
解方程得，舍去，
即该运动员的成绩是米．
故选D．
铅球落地才能计算成绩，此时，即，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．  

7.【答案】
 

【解析】解：，
当时，取得最大值，
即飞机着陆后滑行米才能停下来，
故选：．
将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为的最大值是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：、当时，；当时，；所以点火后和点火后的升空高度不相同，此选项错误；
B、当时，，所以点火后火箭离地面的高度为，此选项错误；
C、当时，，此选项错误；
D、由知火箭升空的最大高度为，此选项正确．
故选：．
分别求出、、、时的值可判断、、三个选项，将解析式配方成顶点式可判断选项．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由题意得，
，
，
，
即与是一次函数关系．


，
矩形面积满足的函数关系为，
即满足二次函数关系，
故选：．
矩形的周长为，可用来表示，代入中，可得关于的函数关系式，代简即可得出答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】 本题主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．
解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与，轴的交点坐标等；
由表格中数据时，，时，；可判断抛物线的对称轴是，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．
【解答】

解：由表格中数据可知，时，，时，，

抛物线与轴的交点为，正确；

抛物线的对称轴是，对称轴在轴的右侧，正确；

根据对称性可知，抛物线的对称轴是，点的对称点为，即抛物线一定经过点，正确；

由表中数据可知在对称轴左侧，随增大而增大，错误．

正确的有．

故选C．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的应用：先通过题意确定出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质解决问题；实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
由于炮弹在第与第时的高度相等，即取和时的值相等，根据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的最大值问题求解．
【解答】
解：取和时的值相等，
抛物线的对称轴为直线，
即炮弹达到最大高度的时间是．
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】此题主要考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键．根据选项结合二次函数的性质和最值分别分析得出答案．
【解答】解：、当时，，
解得：，，
故小球的飞行高度能达到，故此选项错误；
B、，
故时，小球的飞行高度最大为：，故此选项错误；
C、时，，
解得：，，
小球从飞出到落地要用时，故此选项正确；
D、当时，，
故小球飞出时的飞行高度为，故此选项错误；
故选：．  

13.【答案】
 

【解析】解：，
当时，取得最大值，即飞机着陆后滑行米才能停下来，
故答案为：．
将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为的最大值是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设平行于墙的一边为米，则垂直于墙的一边为米，
根据题意得：，
故答案为：
根据题意列出与的二次函数解析式即可．
此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的应用，解本题的关键首先求列出函数关系式，再将方程配方，即可求最大值．
设销售单价为元时，销售利润最大，单价利润为元，销售数量为，根据公式利润售价进价销售数量．通过配方可求利润最大值．
【解答】
解：设销售单价为元时，销售利润最大，
单价利润为元，
销售数量为，
利润总额为，
化简得：，
配方得：，
当单价为元时，有最大利润元，
故答案为：．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了销售问题的数量关系利润数量每件的利润的运用，二次函数的性质的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键设售价提高元，总利润为元，则销量为件，根据利润数量每件的利润建立与的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

【解答】

解：设售价提高元，总利润为元，由题意，得

，

即：，

由于，抛物线开口向下，故在处取得最大值，

即当时，利润可以取得最大值，

这时的售价为元．

故答案为．

17.【答案】
 

【解析】解：设抛物线的解析式为，
由题意，得点坐标为，代入解析式得，
．
抛物线的解析式为．
当时，，解得舍去，，
米．
 

18.【答案】解：设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：
解得：
故函数的表达式为：；
由题意得：，
，故当时，随的增大而增大，而，
当时，由最大值，此时，，
故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元；
由题意得：，
解得：，
当时，销售量最少．
每天的销售量，
每天的销售量最少应为件．
 

【解析】将点、代入一次函数表达式，即可求解；
由题意得，即可求解；
由题意得，解不等式即可得到结论．
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润得出函数关系式是解题关键．
 

19.【答案】解：设，
将，；，代入，
得，解得，
则与之间的函数关系式为；

由题意，得，
整理，得，
解得，．
，
．
答：如果每天获得元的利润，销售单价为元；

由题意得：

，
，
当时，有最大值为．
故当销售单价定为元时，每天的利润最大，最大利润是元．
 

【解析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．
根据每天的销售量袋与销售单价元之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解；
根据每天获得元的利润列出方程，解方程并结合即可求解；
根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
 

20.【答案】解：，
，
，
，，
，，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，
即；
作轴，如图，
易得直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为；
存在．
，
，
当时，点在原点，即；
当时，点与点关于轴对称，则；
当时，点的坐标或，
综上所述，点的坐标为或或或．
 

【解析】先确定，，再设交点式，然后把点坐标代入求出即可；
作轴，如图，易得直线的解析式为，设，则，再用表示出，接着根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；
先计算出，再分类讨论：当时，易得；当时，利用点与点关于轴对称得到点坐标；当时可直接写出点的坐标．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
 

21.【答案】解：由题意，得：，
解得，
答：的值为，的值为；

当时，设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
与的函数解析式为；
当时，设与的函数解析式为，
将点、代入，得：，
解得：，
与的函数解析式为；

由题意，当时，
，
，
当时，元；
当时，

，
，
当时，元，
综上所述，放养天时，最大，最大值为元．
 

【解析】由放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元可得答案；
分、两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；
就以上两种情况，根据“利润销售总额总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据相等关系列出利润的函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，．
当时，设满足的函数关系式为，

解得：，
与之间的函数关系式为： ．

当时，老王获得的利润为：

  ，此时老王获得的最大利润为 元．
当时，老王获得的利润为 
．
当时，利润取得最大值，最大值为元．
 ，
当小张的采购量为吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为元．
 

【解析】分别根据当时，，当时，设满足的函数关系式为，分别求出即可；
利用当时，老王获得的利润为：，当时，老王获得的利润为分别求出即可．
此题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，根据数形结合以及分类讨论得出是解题关键．
 

23.【答案】解：抛物线，则，故，
而，则，，
故点、、的坐标分别为、、；
则，故，
故抛物线的表达式为：；

抛物线的对称轴为，
当时，点、的纵坐标相同，根据函数的对称性得点；

过点作轴交于点，

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则的面积，
，
有最大值，当时，的最大值为，此时点．
 

【解析】抛物线，则，故，而，则，，确定点、、的坐标；即可求解；
抛物线的对称轴为，当时，点、的纵坐标相同，即可求解；
的面积，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，但较为容易．
 

24.【答案】解：
当时，设与的关系式为
根据题意得，解得

当时，
故与的函数解析式为：
由已知得：
当时，

，抛物线的开口向下
时，取最大值，

当时，
随的增大而增大
时取得最大值，
综上所述，当销售价格为元时，取得最大利润，最大利润为元．
 

【解析】根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得与的函数解析式；
根据总利润每千克利润销售量，列出函数关系式，配方后根据的取值范围可得的最大值．
本题主要考查的是待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，根据相等关系列出函数解析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键；
 

25.【答案】解：一次函数的图象过点、，则点、；
将点的坐标代入抛物线表达式并解得：，，
则抛物线的表达式为：；

由图象得：的取值范围为：或；

，
设点，则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：或舍去，
故，则点．
 

【解析】一次函数的图象过点、，则点、；将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
由图象得：的取值范围为：或；
，设点，则点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．