初中数学青岛版九年级下册5.5确定二次函数的表达式优秀复习练习题

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5.5确定二次函数的表达式同步练习

青岛版初中数学九年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在的网格中，每个小方格都是边长为的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线的两个交点两个交点位于对称轴异侧之间的距离为，且这两个点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于轴的抛物线条数是

A.  B.  C.  D.

2. 抛物线的顶点坐标是 

A.     B.  C.  D.

3. 如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，则以下结论：无论取何值，的值总是正数当时，其中正确结论是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为    

A.
B.              
C.        
D.
 

5. 关于二次函数，下列说法正确的是    

A. 图像与轴的交点坐标为
B. 图像的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小
D. 的最小值为

6. 在二次函数中，与的部分对应值如下表：

则下列说法：该二次函数的图像经过原点；该二次函数的图像开口向下；该二次函数的图像经过点；当时，随着的增大而增大；方程有两个不相等的实数根．其中正确的是       

A.  B.  C.  D.

7. 若二次函数图象的顶点坐标为，且抛物线过点，则二次函数的解析式是   

A.  B.
C.  D.

8. 把配方成的形式是

A.  B.
C.  D.

9. 在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为   

A.          B.           C.           D.

10. 已知抛物线的顶点为，与轴相交于，两点点在点左侧，点关于轴的对称点为，我们称以为顶点且过点，对称轴与轴平行的抛物线为抛物线的“梦之星”抛物线，直线为抛物线的“梦之星”直线若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是和，则这条抛物线的解析式为

A.  B.
C.  D.

11. 如图，一条抛物线与轴相交于，两点点在点的左侧，其顶点在线段上移动，点，的坐标分别为，，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知二次函数的图象，则它的表达式可能是

A.
B.
C.
D.
 

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 二次函数，用配方法化为的形式为______．
14. 已知二次函数，当，则自变量的取值范围是___________
15. 已知抛物线的顶点为，且与轴两交点间的距离为则抛物线的函数表达式_______________．
16. 抛物线的形状与相同，对称轴平行于轴，且时，有最大值，该抛物线关系式为____________．
17. 如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为          ．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 我们把方程称为圆心为、半径长为的圆的标准方程．例如，圆心为、半径长为的圆的标准方程是在平面直角坐标系中，与轴交于点，，且点的坐标为，与轴相切于点，过点，，的抛物线的顶点为．
    求的标准方程；
    试判断直线与的位置关系，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示．

求该二次函数的表达式；  

当时，则函数值的取值范围为________   






 

20. 已知二次函数   

求二次函数图象的顶点坐标；   

当时，函数的最大值和最小值分别为多少？   

当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 






 

21. 已知抛物线的解析式是，抛物线与抛物线关于轴对称，求抛物线的解析式．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．点是轴上的一个动点．
    

求此抛物线的解析式；

当的值最小时，求点的坐标；






 

23. 已知，其中与成正比例，与成正比例，且当时，，当时，．
    求与的函数关系式；
    判断点是否在此函数图象上，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知抛物线．
    该抛物线的对称轴为______ ；
    若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式；
    设点，在该抛物线上，若，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知某抛物线的顶点为，且过点．
    求抛物线的解析式；
    动点能否在抛物线上？请说明理由；
    若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：根据题意，先找抛物线开口向下，
经过点，，的抛物线的解析式为满足条件，
然后向右平移个单位，向上平移个单位一次得到一条抛物线，可平移次，
所以，一共有条抛物线；
同理可得开口向上的抛物线也有条．
所以，满足上述条件且对称轴平行于轴的抛物线条数是：．
故选：．
先找到符合条件的一条抛物线，再满足条件的基础上平移此抛物线即可得到答案．
本题属于阅读理解型问题，给出新定义进行迁移运用，主要考查了二次函数图象的性质以及学习新知识并运用的能力．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．
先化成顶点式，再根据二次函数的顶点坐标为，直接写出顶点坐标即可．
【解答】
解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为．
故选B  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，点的系数法求二次函数的解析式，根据与的图象在轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出的值；由抛物线与轴的交点求出，的值；根据两函数的解析式直接得出与的关系即可．

【解答】

解：因为，开口向上，顶点坐标为，所以无论取何值，的值总是正数，故正确
因为点在抛物线上，所以，解得，故错误
当时，，故错误
因为点的坐标为，，两点关于直线对称，所以点的坐标为．
又，两点关于直线对称，所以点的坐标为．
所以，所以，故正确．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点的纵坐标，利用点的纵坐标与点的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．
首先根据点在抛物线上求得抛物线的解析式和线段的长，从而求得点的坐标，根据点的纵坐标和点的纵坐标相等得到点的坐标即可；
【解答】
解：的顶点在抛物线上，
，
解得：
解析式为，
的顶点，
，
绕点顺时针旋转，得到，
轴，
点和点的纵坐标均为，
令，得，
解得：，
点在第一象限，
点的坐标为：
故选C．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考察二次根式图象的性质。考察二次函数与轴的交点，只需观察一般式中的值；考察一般式中对称轴与，的关系左同右异；考察二次函数的增减性，必须先确定对称轴，再根据抛物线开口方向确定增减性；考察抛物线的最值，可由公式计算，也可以将对称轴的值带入解析式。所以三个选项都可以由抛物线顶点式直接得出结论．
【解答】
解：因为，所以，当时，，故选项A错误
B.该函数图象的对称轴是直线，故选项B错误
C.当时，随的增大而减小，故选项C错误
D.的最小值为，故选项D正确．
故选D．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标和对称轴，熟练掌握待定系数法是解题的关键结合图表可以得出当或时，，时，，根据此三点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质，根据抛物线的性质来求解．
【解答】
解：由图表可知或时，，时，，代入抛物线解析式式得

解得，
．
，，
图象经过原点，故正确．
，
抛物线开口向上，故错误．
把代入得，，
图象经过点，故正确．
抛物线的对称轴是，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，故错误．
抛物线与轴有两个交点、，
有两个不相等的实数根，故正确．
综上所述，正确的有．
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式，顶点式：根据二次函数的顶点式求解析式．
【解答】
解：设这个二次函数的解析式为
二次函数的图象的顶点坐标为，
二次函数的解析式为，
把代入得，
所以．
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的三种形式：一般式：是常数，；顶点式：是常数，，其中为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为；交点式：是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，，本题利用配方法求解．

【解答】

解：

．
故选D．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．
比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．
【解答】
解：由图象知，、、组成的点开口向上，；
A、、组成的二次函数开口向上，；
B、、三点组成的二次函数开口向下，；
A、、三点组成的二次函数开口向下，；
即只需比较、、组成的二次函数和、、组成的二次函数即可．
设、、组成的二次函数为，
把，，代入上式得，
，
解得；
设、、组成的二次函数为，
把，，代入上式得，
，
解得，
即最大的值为，
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质相关知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质先求出“梦之星”抛物线的顶点坐标，再求出和的交点的坐标为，接着利用点和点关于轴对称得到，则可设顶点式，然后把点坐标代入求出的值即可得到原抛物线解析式．
【解答】
解：，
点坐标为，
解方程组
得或
点的坐标为，
点和点关于轴对称，
，
设原抛物线解析式为，
把代入得，解得，
原抛物线解析式为．
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数与轴的交点，以及二次函数解析式求解方法．
当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为，求出；当顶点在点时，点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：，令，求出值，即可求解．
【解答】
解：当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为，
则此时抛物线的表达式为：，
把点的坐标代入得：，
解得：，
当顶点在点时，点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点的横坐标的最小值为，
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】解：、，，令得，，即图象与轴一个交点横坐标应等于，故A不符合题意；
B、令得，，若，则，可得，同理若，则可得，即抛物线与轴两个交点横坐标都在到之间，故B不符合题意；
C、抛物线顶点为，而，顶点在轴上方，故C不符合题意；
D、图象可能为，故D符合题意．
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系判断．
本题考查二次函数的图象，关键是根据图象顶点、对称轴、与轴轴交点等方面判断．
 

13.【答案】
 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接利用配方法表示出顶点式即可．
此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．
 

14.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质及二次函数的三种形式，掌握二次函数的性质是解题关键．
根据二次函数的性质得到二次函数与轴的交点坐标，及与轴的交点坐标，对称轴，进而得到的取值范围．
【解答】
解：由二次函数，
知抛物线开口向下，对称轴为，与轴的交点坐标为，，
当时，，
解得，，，
当时，，与轴的交点坐标为，
所以当，则自变量的取值范围是：或，
故答案为或．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．
根据二次函数的顶点为，故可设函数的顶点式为，于是问题转化为求的值结合图象与轴两交点间的距离为，可得抛物线与轴的一个交点坐标为，将其代入解析式求出的值即可确定二次函数的表达式．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
设所求表达式为．
图象与轴两交点的距离为，对称轴为；
抛物线必过点，
，解得，
这条抛物线的表达式为．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质．该题的突破点是根据“抛物线的形状与的形状相同”以及函数的最值情况，确定的值．
根据两抛物线的形状相同且有最大值，可以得到，再根据顶点坐标，即可求出该抛物线解析式
【解答】
解：抛物线的形状与相同且有最大值，
．
当时，有最大值，
顶点坐标为，
抛物线解析式为：
故答案为：．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的相关知识，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质等，关键是连接，根据正方形的对角线平分一组对角可得，过点作轴于，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点的坐标，再把点的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【解答】
解：如图，连接，

四边形是边长为的正方形，
，，
过点作轴于，
与轴正半轴的夹角为，
，
，

，

点的坐标为，

点在抛物线的图象上，

，

解得．

故答案为：．

18.【答案】解：如图，连接，，过点作于．

设的半径为．
与轴相切于点，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
的标准方程为．
结论：是的切线．
理由：连接，．
，
，
，
设抛物线的解析式为，
把代入，可得，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点，
，，，
，
，
，
是的切线．
 

【解析】如图，连接，，过点作于设的半径为在中，利用勾股定理求出半径以及点的坐标即可解决问题．
结论：是的切线．连接，求出抛物线的解析式，推出点的坐标，求出，，，利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，切线的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：由图象可知：二次函数的图象与轴的交点坐标为，，
设二次函数的表达式为，
将代入得，解得，
则二次函数的表达式为；

 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数解析式求法，二次函数的性质有关知识．
设顶点式，然后把代入得求出即可；
先将抛物线的解析式配方可得最小值，再计算自变量为对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围．
【解答】
解：见答案；
，
的最小值是，
当时，，
当时，则函数值的取值范围为；
故答案为；  

20.【答案】解：，
顶点坐标为；
顶点坐标为，当时， ，
 当时，随着的增大而增大，当时，，
 当时，随着的增大而减小，当时，，
 当时，函数的最大值为，最小值为．
当时，对进行分类讨论，
当时，即，随着的增大而增大，
当时，，
当时，，
，
，解得不合题意，舍去，
当时，顶点的横坐标在取值范围内，
，
当时，在时，，
，
，解得，不合题意，舍去；
当时，在时，，
，
，解得，不合题意，舍去，
当时，随着的增大而减小，
当时，，
当时，，
，
，解得不合题意，舍去，
综上所述，或．
 

【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
解析式化成顶点式即可求得；
根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；
分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，进而根据得到关于的方程，解方程即可．
 

21.【答案】解：抛物线与抛物线关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即，
因此所求抛物线的解析式是．
 

【解析】利用关于轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
利用轴对称变换的特点可以解答．
 

22.【答案】 解：抛物线的顶点为，

设抛物线的解析式，
把点代入得，，
解得，
抛物线的解析式为；
点关于轴的对称点的坐标为，
由轴对称确定最短路线问题，连接与轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
则，
解得
直线的解析式为，
令，则，
解得，
所以，当的值最小时的点的坐标为．

【解析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用顶点式解析式求解更简便，熟练掌握点的确定方法是解题的关键．
设抛物线顶点式解析式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解；
先求出点关于轴的对称点的坐标，连接与轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出与轴的交点即可．
 

23.【答案】解：设，，
则，
把，；，代入得：，
解得：，，
则；
点在此函数图象上，理由为：
把代入得：，
则在此函数图象上．
 

【解析】此题考查了正比例函数的概念，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
根据题意设出关系式，利用待定系数法求出即可；
把的坐标代入检验即可．
 

24.【答案】直线
 

【解析】解：抛物线．
对称轴为直线，
故答案为：直线；
抛物线的顶点在轴上，
顶点坐标为，
解得或，
抛物线的解析式为：或；
对称轴为直线，
点关于直线的对称点为，
当时，若，则或；
当时，若，则．
根据题意可得抛物线的对称轴；
抛物线的顶点在轴上，可得顶点坐标为，进而可得的值；
根据点关于直线的对称点为，进而可得的取值范围．
本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等．
 

25.【答案】解：设抛物线的解析式为，
将代入上式得，
解得，
抛物线的解析式为，
动点不在抛物线上，理由如下：
抛物线的最大值为，
动点不在抛物线上；
抛物线的函数关系式为：，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
点，都在抛物线上，且，
．
 

【解析】设抛物线顶点式，然后将代入解析式求解．
根据抛物线线解析式求出函数最大值判断．
由抛物线开口方向及对称轴判断，的大小．
本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与不等式的关系．