人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品习题

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4.3等比数列同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知数列前项和为且 为非零常数则下列结论中正确的是

A. 数列不是等比数列
B. 时
C. 当时，
D.

2. 已知数列前项和为且 为非零常数则下列结论中正确的是

A. 数列不是等比数列
B. 时
C. 当时，
D.

3. 在各项都为正数的数列中，首项，且点在直线上，则数列的前项和等于     

A.  B.  C.  D.

4. 记为等比数列的前项和，若数列也为等比数列，则  

A.  B.  C.  D.

5. 算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有盏灯．

A.  B.  C.  D.

6. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天才到达目的地”则此人第天和第天共走的路程为 

A. 里 B. 里 C. 里 D. 里

7. 关于数列，给出下列命题：

数列满足，则数列为公比为的等比数列；

“，的等比中项为”是“”的充分不必要条件；

数列是公比为的等比数列，则其前项和；

等比数列的前项和为，则，，成等比数列．

其中，真命题的序号是     

A.  B.  C.  D.

8. 设为等比数列的前项和，若，则

A.  B.  C.  D.

9. 记为数列的前项和，且，则的值为   

A.  B.  C.  D.

10. 记为等比数列的前项和．若，，则

A.  B.  C.  D.

11. 设为等比数列，且，，现有如下四个命题：

，，成等差数列；

不是质数；

的前项和为；

数列存在相同的项．

其中所有真命题的序号是

A.  B.  C.  D.

12. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思是有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，请问第二天走了

A. 里 B. 里 C. 里 D. 里

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 设数列的前项和为，若，，，则          ；          ．
14. 记为数列的前项和，，记，则          ，          ．
15. 在等比数列中，，则          ，公比          ．
16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，则          ；数列的前项和为，则          ．
17. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，，则          ，          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 已知数列的前项和，是公差不为的等差数列，其前三项和为，且是，的等比中项．
    Ⅰ求，；
    Ⅱ令，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在数列中，，，，成等比数列，公比为，

若，求；

若，，成等差数列，公差为，设．

求证：为等差数列；

若，求数列的前项和．






 

20. 年是我国扶贫收官之年，为防止已脱贫贫困户再次返贫，某村拟加大资金投入，帮助贫困户合作社扩大牧场规模并增加牛的存栏数已知年初牧场牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛，设牧场从年起每年年初的计划存栏数依次为，，，．
    写出一个递推公式，表示与之间的关系；
    求的值精确到．
    参考数据：，，
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知数列中，，
    求的通项公式
    数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知等差数列和等比数列满足，，．

求的通项公式

求和：．






 

23. 已知数列满足，，．

证明：数列为等比数列；

求数列的前项和．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了数列的递推公式的应用，等比数列的判定，通项公式以及前项和公式的运用，属于中档题．
由数列的递推公式结合，以及等比数列定义即可确定数列为首项为，公比为的等比数列，然后结合等比数列性质判断其它选项．
【解答】
解：由，以及得．
时，，相减可得，
又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A错误
由可得时，，故B错误
由可得当时，，，所以，故C正确

，，
则，故D错误
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了数列的递推公式的应用，等比数列的判定，通项公式以及前项和公式的运用，属于中档题．
由数列的递推公式结合，以及等比数列定义即可确定数列为首项为，公比为的等比数列，然后结合等比数列性质判断其它选项．
【解答】
解：由，得．
时，，相减可得，
又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A不正确
由可得时，，故B错误
由可得等价为，可得，故C正确

，，
则，即不正确
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数列与解析几何的综合运用，属于基础题．
解题时要注意等比数列的前项和公式和通项公式的灵活运用，首先代入点，化简可得数列为首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的求和公式化简计算，即可得到所求和 

【解答】

解：在正项数列中，，且点在直线上，
可得，即为，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，
则的前项和．
故选A．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等比数列的通项公式，求和公式和等比数列的判定，属于基础题先判定时已知条件是否成立，然后在时，利用等比数列的求和公式数列的通项公式，根据通项公式得到数列成等比数列的条件，进而求得的值，然后得到所求．
【解答】
解：设等比数列的公比是．
当时，，
所以不为等比数列，舍去；
当时，，
欲符合题意，需，得，
故，
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为的等比数列，设首项为，则，解得，利用通项公式即可得出．
【解答】
解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为的等比数列，
设首项为，则，解之得，
其通项公式为，该塔中间一层应该为第层，
则该塔中间一层灯盏数有．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查数学文化与等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．

根据题意可得每天行走的里程构成等比数列，求出首项，进而可求其第四五项的和．

【解答】

解：设每天行走的里程数组成的数列为，
则数列是公比为的等比数列，

所以里，
故里，

所以里，
故选C．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查等比数列的性质判定，属于基础题．
利用等比数列的定义和公式以及性质进行分析选择即可．
【解答】
解：错，非等比数列．
正确，由“，的等比中项为”得到“”但是“”当，时，，，不能组成等比数列，所以“，的等比中项为”错误；故“，的等比中项为”是“”的充分不必要条件；正确；
错，因为；
错，因为当时，不满足．
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的相关性质，属于基础题．
根据题意设数列的公比为，由题目已知可求得，从而可得的值．

【解答】

解：设等比数列的公比为，
，，解得，
，
故选B．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了数列的递推关系，等比数列的概念，等比数列的通项公式和等比数列的求和，属于中档题．
利用数列的递推关系，得数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得，最后利用等比数列求和，计算得结论．

【解答】

解：因为，
所以当时，，解得．
当时，，
得，，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以
．
故选A．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于较易题．
根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．

【解答】

解：设等比数列的公比为，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的综合，考查抽象概括能力与推理论证能力，属于中档题．
根据等比数列的有关性质逐一推理判断可得．
【解答】
解：设等比数列的公比为，
则，
所以，
从而的前项和为，
因为，
所以，
则，，成等差数列，
又，而为质数，
所以是质数，
因为，
所以数列存在相同的项．
故所有真命题的序号是．
故选D．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列的相关知识，能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键属于基础题．
根据题意，此人每天走的路程构成了公比的等比数列，再根据求和公式列式求解即可．

【解答】

解：由题意可知，此人每天走的路程构成公比的等比数列，

设该数列为，其前项和为

则有，
解得，

故．

故选A．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推公式及求和，属于中档题．
先根据条件求出，，再根据得出数列是等比数列，最后根据求．

【解答】

解：，，．
由，
得
，
又，
所以，
可知数列是以的等比数列，
则，
又
．
故答案为：   ； ．

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查数列的递推公式、等比数列的通项公式、性质与求和公式，属于中档题．
由题意得，当时，有，结合，则得，数列是等比数列，可得数列的通项公式，由等比数列的性质、求和公式，可得．
【解答】
解：由题意有，，得，
当时，有，
结合，，
则得，，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，可得数列的通项公式．
所以
．
故答案为  ．  

15.【答案】

或

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质和等比数列的求和，属于中档题．
利用等比数列的性质得，再利用根与系数关系得、是方程的解，从而得或，再分情况讨论，当时，利用等比数列求和得，再利用等比数列的通项公式得，当时，同理可得，，从而得结论．

【解答】

解：在等比数列中，
因为，，
所以、是方程的解，
因此或．
又因为，所以，
因此当时，，解得．
又因为，所以．
当时，，解得．
又因为，所以．
综上可知，，或．
故答案为；或．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查导数与数列的综合、等比数列的定义及基本量的计算，属于中档题．
先由题设得到：，结合对数运算，有，即可说明数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式和前项和公式求得结果．
【解答】
解：，
，
又，
，则

数列是首项为，公比为的等比数列，
，
，
故空答案是，空答案是．  

17.【答案】   
 

【解析】

【分析】 本题考查等比数列前项和公式的应用．【关键点拨】利用等比数列的前项和公式求和，要先判断公比是否为．
【解答】解：由题知数列为等比数列，公比且，
由，得
解得
故，．  

18.【答案】解：Ⅰ因为，
所以当时，，即，
当时，，，
得：，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
由数列的前三项和为，得，
所以，
设数列的公差为，则，，，
又因为，
所以，
解得或舍去，
所以；
Ⅱ由Ⅰ得，，从而，
令，
即，
得，
得，
所以，
故不等式可化为，
当时，不等式可化为，解得，
当时，不等式可化为，此时，
当时，不等式可化为，
因为数列是递增数列，所以．
综上：的取值范围是．
 

【解析】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，错相相减法的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质，等差数列的通项公式，错相相减法的计算．
Ⅰ根据已知及等差数列的性质，等差数列的通项公式的计算，求出，；
Ⅱ，利用错位相减法计算，求出实数的取值范围．
 

19.【答案】解：由已知，，
所以数列的奇数项组成等比数列，首项为，公比为，
所以，
所以
证明：对任意的，，，成等差数列，
所以，即，即，
所以，即，
所以成等差数列，其公差为．
解：若，则，，
所以，又，所以，
从而，即，
所以，
可得当时，，
又也符合，
所以，，
则，，
即数列为等差数列，首项为，公差为，
所以．
 

【解析】本题考查等差数列和等比数列的综合运用及数列通项公式的求解．
由等比数列的定义及已知得，从而得数列的奇数项组成等比数列，然后由等比数列的求和公式求解即可
由已知得，从而得，然后结合等差数列的定义求解即可
由已知得，利用累乘法求出，从而得，然后利用等差数列的求和公式求解即可．
 

20.【答案】解：因为每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛，
所以；

由得， 

又，
，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
， 
，

 ．

【解析】本题考查数列的应用，考查数列递推关系，等比数列判断与通项公式，求和公式，属于中档题．
依题意，即为与之间的递推关系；
由得，得，数列是以为首项，为公比的等比数列，求得，根据求和公式得．
 

21.【答案】解：由，得，
．
数列是以为公比，以为首项的等比数列，
从而．
， ．
，
，
两式相减得，
．．
若为偶数，则，
，．
若为奇数，则，，
 ，即，．
 

【解析】本题考查等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的判定与错位相减法求和以及等比数列与不等式综合的恒成立问题，属于较难题．
解题关键是将变形为，构造等比数列即可求的通项公式；
解题关键是解题关键是应用错位相减法求出数列的前项和为， 为奇数时有对一切恒成立， 为偶数时有对一切恒成立，再根据函数的单调性求出最值即可，考查学生的分析求解能力以及分类讨论的思想．
 

22.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，，
可得：，
解得，
所以的通项公式．
设等比数列的公比为，则奇数项构成公比为的等比数列，
由Ⅰ可得，等比数列满足，．
由于，可得舍去，等比数列奇数项符号相同，
所以，
则是公比为，首项为的等比数列， 
．
 

【解析】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．

利用已知条件求出等差数列的公差，然后求的通项公式；

利用已知条件求出，然后求得，进而求得数列的和即可．

23.【答案】解：证明：已知数列满足，，．
则，
则数列为等比数列，公比为，首项．
，
又，则数列的前项和为：


．
 

【解析】本题考查了等比数列的判断与证明，分组求和法，考查等比数列求和公式与等差数列求和公式，属于中档题．
，从而可证数列为等比数列；
由得，结合，利用分组求和法可得结果．