初中数学21.2 二次根式的乘除法综合与测试教案及反思

21.2　二次根式的乘除

1　二次根式的乘法(第1课时)

一、基本目标

1．掌握二次根式的乘法运算法则．

2．运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的乘法运算法则．

【教学难点】

运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P5～P6的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．分别计算×与，你有什么发现？

解：×＝3×5＝15

＝＝15

发现：×＝.

2．两个算术平方根的积，等于它们被开方数的__积__的算术平方根，即·＝______.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)×；　(2)×；　(3)×；

(4)×.

【互动探索】(引发学生思考)要利用二次根式的乘法运算法则进行计算，需要注意什么？

【解答】(1)×＝.

(2)×＝＝.

(3)×＝＝＝9.

(4)×＝＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．等式·＝成立的条件是(　A　)

A．x≥1 B．x≥－1

C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1

2．下列各等式成立的是(　D　)

A．4×2＝8 B．5×4＝20

C．4×3＝7 D．5×4＝20

3．计算：

(1)×；　(2)×3；　(3)2××5.

解：(1)6.　(2)3.　(3)18.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】比较大小．

(1)3与5；　(2)－4与－5.

【互动探索】转化法：根号外的因数不为1→将根号外的因数移到根号内→比较被开方数的大小．

【解答】(1)3＝×＝，5＝×＝.

因为<，所以3<5.

(2)－4＝－×＝－，－5＝－×＝－.

因为<，所以－>－，所以－4>－5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

二次根式的乘法→乘法运算法则→·＝(a>0，b≥0)

请完成本课时对应练习！

2　积的算术平方根(第2课时)

一、基本目标

1．理解并掌握二次根式积的算术平方根的性质．

2．运用二次根式积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式积的算术平方根的性质．

【教学难点】

运用二次根式积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．根据二次根式的乘法运算法则得到的等式__·＝__(a≥0，b≥0)__，逆用该法则可以得到＝__·(a≥0，b≥0)__，这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的__积__.

2．积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，如果一个二次根式的被开方数中的因数是__完全平方数__，那么可以利用积的算术平方根及__＝a(a≥0)__将这些因数开方，从而将二次根式化简．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】化简：

(1)；　(2)；　(3)；

(4)；　(5).

【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？

【解答】(1)＝×＝3×4＝12.

(2)＝×＝4×9＝36.

(3)＝×＝9×10＝90.

(4)＝×＝3xy.

(5)＝＝×＝3.

【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．若n为正整数，是整数，则n的最小值为(　B　)

A．1 B．3

C．6 D．12

2．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)＝×；

(2)×＝4××＝

4＝4＝8.

解：(1)不正确．

改正：＝＝×＝2×3＝6.

(2)不正确．

改正：×＝×＝＝＝＝4.

3．化简：

(1)；　(2)；

(3)；　(4).

解：(1)2.　(2)3.　(3)2.　(4)2ab.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知a<b，化简二次根式.

【互动探索】二次根式有意义的条件→确定字母a、b的正负→二次根式积的算术平方根的性质化简．

【解答】因为的被开方数－a3b≥0，所以ab≤0.

又因为a<b，所以a<0，b>0.

故＝＝|a|＝－a.

【互动总结】(学生总结，老师点评)运用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，一定要考虑被开方数的取值范围．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

3　二次根式的除法(第3课时)

一、基本目标

1．掌握二次根式的除法运算法则，理解商的算术平方根的性质．

2．理解最简二次根式的概念，会运用分母有理化将二次根式化简．

二、重难点目标

【教学重点】

理解最简二次根式、二次根式的除法运算法则．

【教学难点】

二次根式商的算术平方根的运用．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P7～P8的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．两个算术平方根的商，等于__它们被开方数的商的算术平方根__，即＝____.

2．商的算术平方根，等于__被除式的算术平方根除以除式的算术平方根__，即＝____.

3．化简后的二次根式被开方数中不含__分母__，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于__2__，像这样的二次根式称为__最简二次根式__.

4．二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘一个恰当的__二次根式__就可以了，通常将这种化简过程称为__分母有理化__.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

(1)；(2)÷；(3)÷；(4).

【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算，需要注意什么？

【解答】(1)＝＝＝2 .

(2)÷＝＝＝＝2.

(3)÷＝＝＝＝2.

(4)＝＝＝2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．

【例2】化简：

(1)；　(2)； (3)；　(4).

【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，结果有什么要求？

【解答】(1)＝＝.

(2)＝＝.

(3)＝＝＝.

(4)＝＝＝2＋.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．计算÷÷的结果是(　A　)

A. B．

C． D．

2．如果(y>0)是二次根式，那么化为最简二次根式是(　C　)

A.(y>0) B．(y>0)

C.(y>0) D．以上都不对

3．分母有理化：＝____；＝____；＝____.

4．化简：

(1)；　(2)；　(3)；　(4).

解：(1)4.　(2).　(3)＋1.

(4)11－2.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】已知＝，且x为偶数，求(1＋x)的值．

【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x的取值范围→化简所求式子．

【解答】由题意，得即

∴6<x≤9.

∵x为偶数，∴x＝8.

∴原式＝(1＋x)

＝(1＋x)

＝(1＋x)

＝.

∴当x＝8时，原式的值＝＝6.

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！