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初中华师大版23.3 相似三角形综合与测试教案设计
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这是一份初中华师大版23.3 相似三角形综合与测试教案设计，共19页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。
23.3 相似三角形
1 相似三角形(第1课时)
一、基本目标
1．了解相似三角形的概念；能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角．
2．会根据概念和预备定理判断两个三角形相似．
二、重难点目标
【教学重点】
1．相似三角形的定义、表示方法．
2．两个三角形相似的预备定理．
【教学难点】
根据两个三角形相似求线段长或角的度数．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P61～P63的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材P63[思考]的答案：__△AED与△ABC是相似的__.
2．对应边成__比例__，对应角__相等__的三角形是相似三角形，相似用符号“__∽__”表示，读作“相似于”，如果△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC__∽__△A′B′C′.如果记＝＝＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的__相似比__.
3．两个三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形__相似__.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，△ABC∽△AB′C′，∠A＝35°，∠B＝72°，求∠AC′B′的度数．
【互动探索】(引发学生思考)已知相似三角形及2个角，如何运用相似三角形的定义求出未知的角度？
【解答】∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝35°，∠B＝72°，∴∠C＝180°－35°－72°＝73°.∵△ABC∽△AB′C′，∴∠AC′B′＝∠C＝73°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)相似三角形的对应角相等．
【例2】如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形共有多少对？
【互动探索】(引发学生思考)利用相似三角形的预备定理解题．
【解答】∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC，∴图中相似三角形共有3对．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题一般运用“平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似”来解题．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB.
(1)求∠APB的大小；
(2)说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
解：(1)∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝60°，∴∠A＋∠APC＝60°.∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD，∴∠A＋∠B＝60°，∴∠APB＝120°. (2)∵△ACP∽△PDB，∴＝.∵△PCD是等边三角形，∴CD＝PC＝PD，∴CD2＝AC·BD.
2．如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F.过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形共有多少对？
解：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对．理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD，∠D＝∠ABC，∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA.∵GE∥BC，∴△AGE∽△ABC∽△CDA.∵GE∥BC，AD∥BC，∴GE∥AD，∴△BGE∽△BAF，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
【互动探索】分析法＋分类讨论思想：要求AP的长→分两种情况讨论→相似三角形的定义解决．
【解答】∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠A＝180°－∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°.AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8－x.若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP∶BP＝AD∶BC，即x∶(8－x)＝3∶4，解得x＝；②若△APD∽△BCP，则AP∶BC＝AD∶BP，即x∶4＝3∶(8－x)，解得x＝2或x＝6.所以AP＝ 或AP＝2或AP＝6.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决有关相似三角形的动点问题时，常需要进行分类讨论．此题中△PAD与△PBC相似，则应分AP∶BC＝AD∶BP或AP∶BP＝AD∶BC两种情况讨论．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形：
定义：对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形．
表示方法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如果△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.
判断方法(预备定理)：平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．
请完成本课时对应练习！
2 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定(一)
一、基本目标
1．了解判定定理1的推导过程．
2．掌握相似三角形的判定定理1.
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的判定定理1.
【教学难点】
相似三角形判定定理的推导过程．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P64～P67的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材P66[思考]的答案：__它们不一定相似__.
2．相似三角形的判定定理1：两角分别__相等__的两个三角形相似．
3．如图，若∠B＝∠C，则 △ABE∽ __△ACD__，理由是__有两组角对应相等的两个三角形相似__，且
△BOD∽ __△COE__，理由是__两组角对应相等的两个三角形相似__.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．
【互动探索】(引发学生思考)线段平行→得角相等→得三角形相似→相似三角形定义→线段比例式→得BC的长．
【解答】∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴＝，
∴BC＝＝＝14.
【互动总结】(学生总结，老师点评)先判定三角形相似，再运用相似三角形的定义可计算边的长．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 __∠ADE＝∠B__时，△ADE∽△ABC.其中D、E分别对应B、C.(填一个条件)．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD.求证：△ADE∽△ABD.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠ADB＝∠C＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADE，∠BDE＝∠CAD，∴∠ADE＝∠C，∴∠B＝∠ADE.∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A、B、D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO.
【互动探索】观察图形→建立相似三角形模型→得关于AO的比例式→代入数据得出结论．
【解答】∵AB⊥AO，DB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°.又∠ACO＝∠BCD(对顶角相等)，∴△ACO∽△BCD，∴＝.∵AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，∴＝，解得AO＝100 m，即峡谷的宽AO是100 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此类问题是常见的建立相似三角形模型解决实际问题，解题的关键是利用观察法，结合已知条件得出相关等式求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
请完成本课时对应练习！
第3课时 相似三角形的判定(二)
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2．了解判定定理2的推导过程．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的判定定理2.
【教学难点】
利用相似三角形的判定定理2进行相关的证明和计算．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P67～P69的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的判定定理2：两边对应成__比例__且夹角__相等__的两个三角形相似．
2．如图，△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，证明△ADE与△ABC相似．
证明：因为＝，＝＝，所以＝，而∠A是公共角，所以△ADE∽△ACB.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知AD·AC＝AB·AE. 求证：△ADE∽△ABC.
【互动探索】(引发学生思考)已知线段乘积式→转化为线段比例式→找夹角→得相似．
【证明】∵AD·AC＝AE·AB，∴＝.在△ABC与△ADE 中，∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题的关键是将线段乘积式转化为线段比例式，再利用相似三角形的判定定理进行判断．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.CD是斜边AB上的高，若得到CD2＝BD·AD这个结论可证明 __△ADC__∽ __△CDB__.
2．如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD＝2，BD＝4，AC＝2.求证：△ACD∽△ABC.
证明：∵＝＝，＝＝.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为4，求BG的长．
【互动探索】分析法：要证△ABE∽△DEF→隐含一组角相等，找这组角的两边对应成比例→利用正方形的性质和已知线段间的关系求解．
【解答】(1)证明：∵ABCD为正方形，∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°.∵AE＝ED，∴＝.∵DF＝DC，∴＝，∴＝，∴△ABE∽△DEF. (2)∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴＝.又∵DF＝DC，正方形的边长为4，∴ED＝2，CG＝6，∴BG＝BC＋CG＝10.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题的关键是：(1)利用观察法和图形的性质找出隐含条件(对顶角、直角、公共边等)；(2)利用分析法找出边之间的比例关系．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
请完成本课时对应练习！
第4课时 相似三角形的判定(三)
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
2．了解判定定理3的推导过程．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的判定定理3以及推导过程．
【教学难点】
会用相似三角形的判定定理解决问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P69～P70的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的判定定理3：三条边成__比例__的两个三角形相似．
2．△ABC和△A′B′C′中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm，通过实际画一画，量一量判定△ABC和△A′B′C′是否相似？
解：通过画图测量可知，△ABC和△A′B′C′相似．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在边长为1的正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF.在②～⑥中，与①相似的三角形的有多少个？
【互动探索】(引发学生思考)结合已知条件要判断与①相似的三角形，只能从边入手，建立边的数量关系判断两个三角形相似．
【解答】AB＝1，AC＝，BC＝＝，CD＝1，BD＝2，DE＝2，BF＝EF＝，BE＝2，FH＝2，EK＝HG＝，FG＝＝，BG＝5，
∵＝，＝，＝，
∴△CDB与△ABC不相似；
∵＝，＝＝2，＝＝2，
∴△DEB∽△ABC；
∵＝，＝＝，＝＝，∴△FBG∽△ABC；
∵＝，＝＝，＝＝，
∴△HGF∽△ABC；
∵＝，＝＝，＝＝，
∴△EKF与△ABC不相似．
综上，与①相似的三角形的有3个．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查相似三角形的判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．
活动2 巩固练习(学生独学)
如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是( B )
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图， ＝＝ ，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
【互动探索】分析法：要证△ABD∽△BCE→有边的比例关系，需要一组夹角→已知＝＝→得△ABC∽△DBE→可得夹角∠ABD＝∠CBE.
【解答】∵＝＝，∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE.∵＝，∴＝，∴△ABD∽△CBE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题的关键是找出∠ABD＝∠CBE，再结合相似三角形的判定定理解决问题．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．
请完成本课时对应练习！
3 相似三角形的性质(第5课时)
一、基本目标
1．了解并掌握相似三角形对应高 、对应角平分线、对应中线、周长、面积的性质．
2．能利用相似三角形的性质解决实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的性质．
【教学难点】
运用相似三角形的性质解决问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P71～P72的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的性质：
相似三角形的对应角__相等__，对应边__成比例__；
相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于__相似比__；
相似三角形的周长比等于__相似比__；
相似三角形的面积比等于__相似比的平方__.
2．如果两个相似三角形的相似比是1∶4，那么它们的对应中线之比是( B )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知△ABC∽△DEF，＝，则下列等式一定成立的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【互动探索】(引发学生思考)由△ABC∽△DEF可以知道什么？由＝可以推出什么？
【分析】∵△ABC∽△DEF，＝，∴＝.
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了相似三角形的性质，正确把握(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；(2)相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；(3)相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题关键．
【例2】如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB.
(1)求∠APB的大小；
(2)说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
【互动探索】(引发学生思考)(1)要求∠APB的大小，先根据等边三角形的性质得到∠PCD＝60°，根据相似三角形的性质得到∠APC＝∠PBD，根据三角形内角和定理计算；(2)要说明线段AC、CD、BD之间的数量关系，根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．
【解答】(1)∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
∴∠A＋∠APC＝60°.
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠PBD，
∴∠A＋∠B＝60°，
∴∠APB＝120°.
(2)∵△ACP∽△PDB，
∴＝，
∴PC·PD＝AC·BD，
即CD2＝AC·BD.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在求三角形的角度和线段的计算时，常利用相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是( C )
A. m B． m
C. m D． m
2．若△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高，AD∶A′D′＝3∶4，△A′B′C′的一条中线B′E′＝16 cm，则△ABC的中线BE＝__12__cm.
3．如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△FGA与△BGC的面积之比是__1∶4__.
4．已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积．
解：(1)∵＝，∴△DEF的周长＝12×＝8(cm)．
(2)∵＝，∴△DEF的面积＝30×2＝13(cm2)．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于多少？(结果保留根号)
【互动探索】先根据AB＝2AD，△ABC∽△ADE，△ABC是面积为 求出△ADE的面积，再判断出△ADE的形状，根据等边三角形的面积求出AE的长，作FG⊥AE于G，由等边三角形及直角三角形的性质判断出△AFG是等腰直角三角形，设AG＝FG＝h，在直角三角形FGE中利用勾股定理即可求出h的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】∵AB＝2AD，∴＝2.
又∵△ABC∽△ADE，△ABC的面积为，
∴＝4，∴S△ADE＝.
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE也是等边三角形，其面积为AE·AE·＝，
即AE2＝，∴AE＝1.
作FG⊥AE于G.
∵∠BAD＝45°，∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠EAF＝45°，
∴△AFG是等腰直角三角形．
设AG＝FG＝h，在Rt△FGE中，∵∠E＝60°，EG＝1－h，FG＝h，
∴∠EFG＝30°，∴EF＝2EG＝2(1－h)．
∵EG2＋GF2＝EF2，即(1－h)2＋h2＝4(1－h)2，解得h＝，∴S△AEF＝×1×＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题要求△AEF的面积，先根据题意求出△ADE的面积并判断出△ADE的形状，求出AE的长，再作辅助线FG⊥AE于G，判断出△AFG是等腰直角三角形，求出FG的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
相似三角形的对应边上的高的比、对应角的平分线之比、对应边上的中线之比都等于相似比．
相似三角形的周长之比等于相似比．
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
请完成本课时对应练习！
4 相似三角形的应用(第6课时)
一、基本目标
1．了解相似三角形在测量实际物体的高度和宽度中的运用．
2．掌握运用相似三角形解决实际问题的方法．
【教学重点】
运用相似三角形解决实际问题的方法步骤．
【教学难点】
综合运用相似三角形的判定、性质解决求实际物体的高度和宽度的问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的判定：
两角分别__相等__的两个三角形相似；
两边对应__成比例__且夹角相等的两个三角形相似；
三条边__成比例__的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质：
相似三角形的对应角__相等__，对应边__成比例__；
相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于__相似比__；
相似三角形的周长比等于__相似比__；
相似三角形的面积比等于__相似比的平方__.
3．测量不可到达的两地之间的距离或物体的高度、长度等问题，主要是构造相似三角形，利用相似三角形的__性质__求出对应的边或角度．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E.如图所示，若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于( )
A．120 m B．67.5 m
C．40 m D．30 m
【互动探索】(引发学生思考)由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.
【分析】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴＝.∵BE＝90 m，CE＝45 m，CD＝60 m，∴＝，解得AB＝120.即这条河的宽AB为120 m.
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
【例2】如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．
【互动探索】(引发学生思考)观察法：要求建筑物的高AB→构建相似三角形模型→得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH→得出结论．
【解答】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴＝，＝.
∵CD＝DG＝EF＝2米，DF＝52米，FH＝4米，
∴＝，＝，
∴＝，
解得BD＝52米，
∴＝，
解得AB＝54米．
即建筑物的高为54米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．在测量时要注意以下几点：(1)可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高；(2)观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如左图，甲组测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm；如右图，乙组测得学校旗杆的影长为900 cm，则旗杆的长为( D )
A．900 cm B．1000 cm
C．1100 cm D．1200 cm
2．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为( C )
A．40 m B．60 m
C．120 m D．180 m
3．如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3 m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D，与旗杆顶端B重合，量得CE＝3 m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m；丙在C1处也直立3 m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6 m到E1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，测得C1E1＝4 m．求旗杆AB的高．
解：设BO＝x m，GO＝y m．∵GD∥OB，∴△DGF∽△BOF，∴1.5∶x＝3∶(3＋y)．同理1.5∶x＝4∶(y＋6＋3)，解得经检验x＝9，y＝15均是原方程的解，∴旗杆AB的高为9＋1.5＝10.5(m)．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8 m；然后雯雯向前移动1.5 m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7 m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6 m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB.
【互动探索】观察法：已知线段长度→得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH→得到＝，＝→得＝→BD＝2.1 m，＝→得出结论．
【解答】由题意知，CD＝EF＝1.6 m，DG＝2.8 m，DF＝1.5 m，GH＝1.7 m，
∴FH＝2.8－1.5＋1.7＝3(m)．
∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴＝，＝，
∴＝，即＝，
解得BD＝2.1 m，
∴＝，
解得AB＝13.6 m.
即该校旗杆的高度AB为13.6 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了相似三角形的应用．在用相似比解决问题时，若所列的比例式中含两个未知数，要考虑再找一组相似三角形，并列出比例式，联立两个比例式求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
23.3 相似三角形
1 相似三角形(第1课时)
一、基本目标
1．了解相似三角形的概念；能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角．
2．会根据概念和预备定理判断两个三角形相似．
二、重难点目标
【教学重点】
1．相似三角形的定义、表示方法．
2．两个三角形相似的预备定理．
【教学难点】
根据两个三角形相似求线段长或角的度数．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P61～P63的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材P63[思考]的答案：__△AED与△ABC是相似的__.
2．对应边成__比例__，对应角__相等__的三角形是相似三角形，相似用符号“__∽__”表示，读作“相似于”，如果△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC__∽__△A′B′C′.如果记＝＝＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的__相似比__.
3．两个三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形__相似__.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，△ABC∽△AB′C′，∠A＝35°，∠B＝72°，求∠AC′B′的度数．
【互动探索】(引发学生思考)已知相似三角形及2个角，如何运用相似三角形的定义求出未知的角度？
【解答】∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝35°，∠B＝72°，∴∠C＝180°－35°－72°＝73°.∵△ABC∽△AB′C′，∴∠AC′B′＝∠C＝73°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)相似三角形的对应角相等．
【例2】如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形共有多少对？
【互动探索】(引发学生思考)利用相似三角形的预备定理解题．
【解答】∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC，∴图中相似三角形共有3对．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题一般运用“平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似”来解题．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB.
(1)求∠APB的大小；
(2)说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
解：(1)∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝60°，∴∠A＋∠APC＝60°.∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD，∴∠A＋∠B＝60°，∴∠APB＝120°. (2)∵△ACP∽△PDB，∴＝.∵△PCD是等边三角形，∴CD＝PC＝PD，∴CD2＝AC·BD.
2．如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F.过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形共有多少对？
解：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对．理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD，∠D＝∠ABC，∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA.∵GE∥BC，∴△AGE∽△ABC∽△CDA.∵GE∥BC，AD∥BC，∴GE∥AD，∴△BGE∽△BAF，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
【互动探索】分析法＋分类讨论思想：要求AP的长→分两种情况讨论→相似三角形的定义解决．
【解答】∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠A＝180°－∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°.AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8－x.若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP∶BP＝AD∶BC，即x∶(8－x)＝3∶4，解得x＝；②若△APD∽△BCP，则AP∶BC＝AD∶BP，即x∶4＝3∶(8－x)，解得x＝2或x＝6.所以AP＝ 或AP＝2或AP＝6.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决有关相似三角形的动点问题时，常需要进行分类讨论．此题中△PAD与△PBC相似，则应分AP∶BC＝AD∶BP或AP∶BP＝AD∶BC两种情况讨论．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形：
定义：对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形．
表示方法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如果△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.
判断方法(预备定理)：平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．
请完成本课时对应练习！
2 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定(一)
一、基本目标
1．了解判定定理1的推导过程．
2．掌握相似三角形的判定定理1.
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的判定定理1.
【教学难点】
相似三角形判定定理的推导过程．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P64～P67的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材P66[思考]的答案：__它们不一定相似__.
2．相似三角形的判定定理1：两角分别__相等__的两个三角形相似．
3．如图，若∠B＝∠C，则 △ABE∽ __△ACD__，理由是__有两组角对应相等的两个三角形相似__，且
△BOD∽ __△COE__，理由是__两组角对应相等的两个三角形相似__.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．
【互动探索】(引发学生思考)线段平行→得角相等→得三角形相似→相似三角形定义→线段比例式→得BC的长．
【解答】∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴＝，
∴BC＝＝＝14.
【互动总结】(学生总结，老师点评)先判定三角形相似，再运用相似三角形的定义可计算边的长．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 __∠ADE＝∠B__时，△ADE∽△ABC.其中D、E分别对应B、C.(填一个条件)．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD.求证：△ADE∽△ABD.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠ADB＝∠C＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADE，∠BDE＝∠CAD，∴∠ADE＝∠C，∴∠B＝∠ADE.∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A、B、D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO.
【互动探索】观察图形→建立相似三角形模型→得关于AO的比例式→代入数据得出结论．
【解答】∵AB⊥AO，DB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°.又∠ACO＝∠BCD(对顶角相等)，∴△ACO∽△BCD，∴＝.∵AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，∴＝，解得AO＝100 m，即峡谷的宽AO是100 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此类问题是常见的建立相似三角形模型解决实际问题，解题的关键是利用观察法，结合已知条件得出相关等式求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
请完成本课时对应练习！
第3课时 相似三角形的判定(二)
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2．了解判定定理2的推导过程．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的判定定理2.
【教学难点】
利用相似三角形的判定定理2进行相关的证明和计算．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P67～P69的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的判定定理2：两边对应成__比例__且夹角__相等__的两个三角形相似．
2．如图，△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，证明△ADE与△ABC相似．
证明：因为＝，＝＝，所以＝，而∠A是公共角，所以△ADE∽△ACB.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知AD·AC＝AB·AE. 求证：△ADE∽△ABC.
【互动探索】(引发学生思考)已知线段乘积式→转化为线段比例式→找夹角→得相似．
【证明】∵AD·AC＝AE·AB，∴＝.在△ABC与△ADE 中，∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类题的关键是将线段乘积式转化为线段比例式，再利用相似三角形的判定定理进行判断．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.CD是斜边AB上的高，若得到CD2＝BD·AD这个结论可证明 __△ADC__∽ __△CDB__.
2．如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD＝2，BD＝4，AC＝2.求证：△ACD∽△ABC.
证明：∵＝＝，＝＝.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为4，求BG的长．
【互动探索】分析法：要证△ABE∽△DEF→隐含一组角相等，找这组角的两边对应成比例→利用正方形的性质和已知线段间的关系求解．
【解答】(1)证明：∵ABCD为正方形，∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°.∵AE＝ED，∴＝.∵DF＝DC，∴＝，∴＝，∴△ABE∽△DEF. (2)∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴＝.又∵DF＝DC，正方形的边长为4，∴ED＝2，CG＝6，∴BG＝BC＋CG＝10.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题的关键是：(1)利用观察法和图形的性质找出隐含条件(对顶角、直角、公共边等)；(2)利用分析法找出边之间的比例关系．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
请完成本课时对应练习！
第4课时 相似三角形的判定(三)
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
2．了解判定定理3的推导过程．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的判定定理3以及推导过程．
【教学难点】
会用相似三角形的判定定理解决问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P69～P70的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的判定定理3：三条边成__比例__的两个三角形相似．
2．△ABC和△A′B′C′中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm，通过实际画一画，量一量判定△ABC和△A′B′C′是否相似？
解：通过画图测量可知，△ABC和△A′B′C′相似．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在边长为1的正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF.在②～⑥中，与①相似的三角形的有多少个？
【互动探索】(引发学生思考)结合已知条件要判断与①相似的三角形，只能从边入手，建立边的数量关系判断两个三角形相似．
【解答】AB＝1，AC＝，BC＝＝，CD＝1，BD＝2，DE＝2，BF＝EF＝，BE＝2，FH＝2，EK＝HG＝，FG＝＝，BG＝5，
∵＝，＝，＝，
∴△CDB与△ABC不相似；
∵＝，＝＝2，＝＝2，
∴△DEB∽△ABC；
∵＝，＝＝，＝＝，∴△FBG∽△ABC；
∵＝，＝＝，＝＝，
∴△HGF∽△ABC；
∵＝，＝＝，＝＝，
∴△EKF与△ABC不相似．
综上，与①相似的三角形的有3个．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查相似三角形的判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．
活动2 巩固练习(学生独学)
如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是( B )
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图， ＝＝ ，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
【互动探索】分析法：要证△ABD∽△BCE→有边的比例关系，需要一组夹角→已知＝＝→得△ABC∽△DBE→可得夹角∠ABD＝∠CBE.
【解答】∵＝＝，∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE.∵＝，∴＝，∴△ABD∽△CBE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题的关键是找出∠ABD＝∠CBE，再结合相似三角形的判定定理解决问题．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．
请完成本课时对应练习！
3 相似三角形的性质(第5课时)
一、基本目标
1．了解并掌握相似三角形对应高 、对应角平分线、对应中线、周长、面积的性质．
2．能利用相似三角形的性质解决实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
相似三角形的性质．
【教学难点】
运用相似三角形的性质解决问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P71～P72的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的性质：
相似三角形的对应角__相等__，对应边__成比例__；
相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于__相似比__；
相似三角形的周长比等于__相似比__；
相似三角形的面积比等于__相似比的平方__.
2．如果两个相似三角形的相似比是1∶4，那么它们的对应中线之比是( B )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知△ABC∽△DEF，＝，则下列等式一定成立的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【互动探索】(引发学生思考)由△ABC∽△DEF可以知道什么？由＝可以推出什么？
【分析】∵△ABC∽△DEF，＝，∴＝.
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了相似三角形的性质，正确把握(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；(2)相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；(3)相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题关键．
【例2】如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB.
(1)求∠APB的大小；
(2)说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
【互动探索】(引发学生思考)(1)要求∠APB的大小，先根据等边三角形的性质得到∠PCD＝60°，根据相似三角形的性质得到∠APC＝∠PBD，根据三角形内角和定理计算；(2)要说明线段AC、CD、BD之间的数量关系，根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．
【解答】(1)∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
∴∠A＋∠APC＝60°.
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠PBD，
∴∠A＋∠B＝60°，
∴∠APB＝120°.
(2)∵△ACP∽△PDB，
∴＝，
∴PC·PD＝AC·BD，
即CD2＝AC·BD.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在求三角形的角度和线段的计算时，常利用相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是( C )
A. m B． m
C. m D． m
2．若△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′的高，AD∶A′D′＝3∶4，△A′B′C′的一条中线B′E′＝16 cm，则△ABC的中线BE＝__12__cm.
3．如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△FGA与△BGC的面积之比是__1∶4__.
4．已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积．
解：(1)∵＝，∴△DEF的周长＝12×＝8(cm)．
(2)∵＝，∴△DEF的面积＝30×2＝13(cm2)．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于多少？(结果保留根号)
【互动探索】先根据AB＝2AD，△ABC∽△ADE，△ABC是面积为 求出△ADE的面积，再判断出△ADE的形状，根据等边三角形的面积求出AE的长，作FG⊥AE于G，由等边三角形及直角三角形的性质判断出△AFG是等腰直角三角形，设AG＝FG＝h，在直角三角形FGE中利用勾股定理即可求出h的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】∵AB＝2AD，∴＝2.
又∵△ABC∽△ADE，△ABC的面积为，
∴＝4，∴S△ADE＝.
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE也是等边三角形，其面积为AE·AE·＝，
即AE2＝，∴AE＝1.
作FG⊥AE于G.
∵∠BAD＝45°，∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠EAF＝45°，
∴△AFG是等腰直角三角形．
设AG＝FG＝h，在Rt△FGE中，∵∠E＝60°，EG＝1－h，FG＝h，
∴∠EFG＝30°，∴EF＝2EG＝2(1－h)．
∵EG2＋GF2＝EF2，即(1－h)2＋h2＝4(1－h)2，解得h＝，∴S△AEF＝×1×＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题要求△AEF的面积，先根据题意求出△ADE的面积并判断出△ADE的形状，求出AE的长，再作辅助线FG⊥AE于G，判断出△AFG是等腰直角三角形，求出FG的值，根据三角形的面积公式即可得出结论．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
相似三角形的对应边上的高的比、对应角的平分线之比、对应边上的中线之比都等于相似比．
相似三角形的周长之比等于相似比．
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
请完成本课时对应练习！
4 相似三角形的应用(第6课时)
一、基本目标
1．了解相似三角形在测量实际物体的高度和宽度中的运用．
2．掌握运用相似三角形解决实际问题的方法．
【教学重点】
运用相似三角形解决实际问题的方法步骤．
【教学难点】
综合运用相似三角形的判定、性质解决求实际物体的高度和宽度的问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．相似三角形的判定：
两角分别__相等__的两个三角形相似；
两边对应__成比例__且夹角相等的两个三角形相似；
三条边__成比例__的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质：
相似三角形的对应角__相等__，对应边__成比例__；
相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于__相似比__；
相似三角形的周长比等于__相似比__；
相似三角形的面积比等于__相似比的平方__.
3．测量不可到达的两地之间的距离或物体的高度、长度等问题，主要是构造相似三角形，利用相似三角形的__性质__求出对应的边或角度．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E.如图所示，若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于( )
A．120 m B．67.5 m
C．40 m D．30 m
【互动探索】(引发学生思考)由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.
【分析】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴＝.∵BE＝90 m，CE＝45 m，CD＝60 m，∴＝，解得AB＝120.即这条河的宽AB为120 m.
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
【例2】如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．
【互动探索】(引发学生思考)观察法：要求建筑物的高AB→构建相似三角形模型→得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH→得出结论．
【解答】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴＝，＝.
∵CD＝DG＝EF＝2米，DF＝52米，FH＝4米，
∴＝，＝，
∴＝，
解得BD＝52米，
∴＝，
解得AB＝54米．
即建筑物的高为54米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．在测量时要注意以下几点：(1)可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高；(2)观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如左图，甲组测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm；如右图，乙组测得学校旗杆的影长为900 cm，则旗杆的长为( D )
A．900 cm B．1000 cm
C．1100 cm D．1200 cm
2．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为( C )
A．40 m B．60 m
C．120 m D．180 m
3．如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3 m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D，与旗杆顶端B重合，量得CE＝3 m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m；丙在C1处也直立3 m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6 m到E1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，测得C1E1＝4 m．求旗杆AB的高．
解：设BO＝x m，GO＝y m．∵GD∥OB，∴△DGF∽△BOF，∴1.5∶x＝3∶(3＋y)．同理1.5∶x＝4∶(y＋6＋3)，解得经检验x＝9，y＝15均是原方程的解，∴旗杆AB的高为9＋1.5＝10.5(m)．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8 m；然后雯雯向前移动1.5 m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7 m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6 m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB.
【互动探索】观察法：已知线段长度→得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH→得到＝，＝→得＝→BD＝2.1 m，＝→得出结论．
【解答】由题意知，CD＝EF＝1.6 m，DG＝2.8 m，DF＝1.5 m，GH＝1.7 m，
∴FH＝2.8－1.5＋1.7＝3(m)．
∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴＝，＝，
∴＝，即＝，
解得BD＝2.1 m，
∴＝，
解得AB＝13.6 m.
即该校旗杆的高度AB为13.6 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了相似三角形的应用．在用相似比解决问题时，若所列的比例式中含两个未知数，要考虑再找一组相似三角形，并列出比例式，联立两个比例式求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
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