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2021年江苏省常州市武进区中考数学一模试卷 解析版
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这是一份2021年江苏省常州市武进区中考数学一模试卷 解析版，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省常州市武进区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）
1．（2分）2cos45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2分）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱（单位：元）
1
2
3
4
5
人数
2
5
8
9
6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．4，3 B．4，3.5 C．3.5，3.5 D．3.5，4
3．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．2
4．（2分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD等于（ ）
A．75° B．95° C．100° D．105°
7．（2分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．4
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
③若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）已知一元二次方程x2+x+m＝0的一个根为2，则它的另一个根为 ．
10．（2分）反比例函数y＝的图象经过点（2，3）和（﹣1，m）．则m＝ ．
11．（2分）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）．
12．（2分）在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为 ．
13．（2分）二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标是 ．
14．（2分）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝ °．
15．（2分）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为 米．（≈1.73，结果精确到0.1米）
16．（2分）如图，△ABC中，点D、E分别是AC、BC中点，BD、AE交于点F，若△BEF的面积为2，则△ABC的面积为 ．
17．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM＝3，AN＝4，则tan∠CAN的值为 ．
18．（2分）如图，等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一点，且PB＝6，直线l经过点P，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点为点B'，在直线l变化的过程中，则△ACB'面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答应写出演算步骤）
19．（6分）计算：（7﹣1）0+tan30°﹣2sin60°•cos45°．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣6x+7＝0；
（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
21．（8分）某班在一次班会课上，就“遇见路人摔倒后如何处理”的主题进行讨论，并对全班50名学生的处理方式进行统计，得出相关统计表和统计图．
组别
A
B
C
D
处理方式
迅速离开
马上救助
视情况而定
只看热闹
人数
m
30
n
5
请根据表图所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的m＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校有2000名学生，请据此估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有多少人？
22．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
23．（6分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在线段BC上找一点D，使它到A、B两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．连接AD，则tan∠CDA＝ ；
（2）如图2，⊙O经过正方形网格中的格点A、B、C、D，请利用（1）得到的结论，仅用网格中的格点及无刻度的直尺分别在图2中画出一个满足下列两个条件的∠P；
①顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合；
②∠P在图2中的正弦值为．
24．（8分）如图是投影仪安装截面图，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，AD∥EF，∠ACB＝45°，求屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE（结果精确到01m），
25．（8分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
26．（10分）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连接CF交PD于M，∠C＝P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．
27．（10分）阅读理解：
如图1，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图2，⊙A的半径为1，A（0，2），分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是 ．（填序号）
①△ABM；②△AOP；③△ACQ
（2）如图3，⊙A的半径为1，A（0，2），直线y＝kx（k≠0）与⊙A“最美三角形”的面积为，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，为半径画⊙B，若直线y＝x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于，请直接写出圆心B的横坐标xB的取值范围．
28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D，交x轴于点A（1，0）、B（点A在点B右侧），交y轴于点C（0，2），点P是该抛物线对称轴上的一点．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的左侧，若△DPQ与△ABC相似，请直接写出点P的坐标．
2021年江苏省常州市武进区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）
1．（2分）2cos45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】直接把cos45°＝代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝2×＝．
故选：B．
2．（2分）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱（单位：元）
1
2
3
4
5
人数
2
5
8
9
6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．4，3 B．4，3.5 C．3.5，3.5 D．3.5，4
【分析】利用众数的定义可以确定众数在第三组，由于张华随机调查了20名同学，根据表格数据可以知道中位数是按从小到大排序，第15个与第16个数的平均数．
【解答】解：∵4出现了9次，它的次数最多，
∴众数为4．
∵张华随机调查了30名同学，
∴根据表格数据可以知道中位数＝（3+4）÷2＝3.5，即中位数为3.5．
故选：B．
3．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，由勾股定理，得
AB＝＝．
由锐角的余弦，得cosB＝＝＝，
故选：B．
4．（2分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，
则恰好选中甲、乙两位选手的概率是＝；
故选：C．
5．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据，求得，由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到，根据相似三角形的性质得到结论．
【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴，△ADE∽△ABC，
∴，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
已有的条件不能说明＝，故A错误．
故选：C．
6．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD等于（ ）
A．75° B．95° C．100° D．105°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠OAD＝180°，即可求出答案．
【解答】解：∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠DOA＝30°，
∴∠OAD＝×（180°﹣∠DOA）＝75°，
∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠BCD+∠OAD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣75°＝105°，
故选：D．
7．（2分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．4
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．
【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
③若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的根；
②根据抛物线的对称轴可以得出函数在x＝﹣1时取得最大值；
③根据抛物线的对称性和增减性，可得离对称轴越远函数值越大；
④先求出y大于零时，x的范围，从而确定整数解的个数，进而确定p的取值个数．
【解答】解：∵A，B为抛物线上的对称点，
∴对称轴为直线，
∵a＜0，
∴当x＝﹣1时，ymax＝a﹣b+c，
∴对于任意实数t，有at2+bt+c≤a﹣b+c，
∴at2+bt⩽a﹣b，
故②正确，
∵|﹣5﹣（﹣1）|≤|π﹣（﹣1）|，
∴y2＜y1，
故③错误；
∵当ax2+bx+c＞0时，有﹣4＜x＜2，
∴若ax2+bx+c＝p（p＞0）的根为整数，
则它的根为﹣3，1或﹣2，0，或﹣1，﹣1，
∴满足条件的p的值有3个，故④错误；
∴正确的是①②，有两个，
故选：B．
二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）已知一元二次方程x2+x+m＝0的一个根为2，则它的另一个根为 ﹣3 ．
【分析】设方程的另一个根为n，根据根与系数的关系可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为n，
根据题意得：n+2＝﹣1，
解得：n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
10．（2分）反比例函数y＝的图象经过点（2，3）和（﹣1，m）．则m＝ ﹣6 ．
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣1×m＝2×3，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，3）和（﹣1，m），
∴﹣1×m＝2×3，
∴m＝﹣6．
故答案为﹣6．
11．（2分）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 3π （结果保留π）．
【分析】根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：扇形的面积＝＝3π．
故答案是：3π．
12．（2分）在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为 4 ．
【分析】根据概率公式得到＝，然后利用比例性质求出n即可．
【解答】解：根据题意得＝，
解得n＝4，
经检验：n＝4是分式方程的解，
故答案为：4．
13．（2分）二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标是 （0，﹣3） ．
【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣3的图象的顶点坐标为（0，﹣3）．
故答案为（0，﹣3）．
14．（2分）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝ 48 °．
【分析】设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，则∠B4B3D＝72°，由平行线的性质得出∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，再由四边形内角和即可得出答案．
【解答】解：设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：
∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B2B3B4＝＝108°，
∴∠B4B3D＝180°﹣108°＝72°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，
∴α＝∠A2ED＝360°﹣∠A1A2A3﹣∠A2A3A4﹣∠EDA3＝360°﹣120°﹣120°﹣72°＝48°，
故答案为：48．
15．（2分）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为 54.6 米．（≈1.73，结果精确到0.1米）
【分析】过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，然后锐角三角函数的定义分别求出AD、PD后即可求出两岸之间的距离．
【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，
∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°，
∴∠DPB＝45°，
∵AB＝80，
∴BD＝40，AD＝40，
∴PD＝DB＝40，
∴AP＝AD+PD＝40+40，
∵a∥b，
∴∠EPA＝∠PAB＝30°，
∴AE＝AP＝20+20≈54.6，
故答案为：54.6
16．（2分）如图，△ABC中，点D、E分别是AC、BC中点，BD、AE交于点F，若△BEF的面积为2，则△ABC的面积为 12 ．
【分析】利用重心的性质得到AE＝3EF，根据三角形面积公式得到S△ABE＝3S△BEF＝6，然后利用E点为BC的中点得到S△ABC＝2S△ABE．
【解答】解：∵点F为中线AE、BD的交点，
∴AF＝2EF，
∴AE＝3EF，
∴S△ABE＝3S△BEF＝3×2＝6，
∵E点为BC的中点，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．
故答案为12．
17．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM＝3，AN＝4，则tan∠CAN的值为 ．
【分析】根据直角三角形的性质得到AB＝2CM＝6，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠MCB，根据余角的性质得到∠MCB＝∠CAN，推出△CAN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，
∴AB＝2CM＝6，
∴∠B＝∠MCB，
∵AN⊥CM，
∴∠MCB＝∠CAN，
∴∠B＝∠CAN，
∴△CAN∽△CBA，
∴＝＝，
∴tan∠CAN＝＝．
故答案为：．
18．（2分）如图，等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一点，且PB＝6，直线l经过点P，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点为点B'，在直线l变化的过程中，则△ACB'面积的最大值为 24+4 ．
【分析】由已知确定B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH⊥AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△AB'C的面积最大，再求面积即可．
【解答】解：由对称性可知，PB＝PB'，
∴B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，
过点P作PH⊥AC交于H，
当B'、P、H三点共线时，S△ACB'的面积最大，
∵∠BAC＝60°，PB＝6，AB＝8，
∴AP＝2，
在Rt△APH中，PH＝AP•sin60°＝2×＝，
∴B'H＝6+，
∴S△AB'C＝×8×（6+）＝24+4，
故答案为：24+4．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答应写出演算步骤）
19．（6分）计算：（7﹣1）0+tan30°﹣2sin60°•cos45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝1+×﹣2××
＝1+1﹣
＝2﹣．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣6x+7＝0；
（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）这里a＝1，b＝﹣6，c＝7，
∵△＝b2﹣4ac＝36﹣28＝8＞0，
∴x＝＝＝3±，
解得：x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）方程整理得：x（x﹣2）＝3（x﹣2），
移项得：x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣2）＝0，
可得x﹣3＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝3，x2＝2．
21．（8分）某班在一次班会课上，就“遇见路人摔倒后如何处理”的主题进行讨论，并对全班50名学生的处理方式进行统计，得出相关统计表和统计图．
组别
A
B
C
D
处理方式
迅速离开
马上救助
视情况而定
只看热闹
人数
m
30
n
5
请根据表图所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的m＝ 5 ，n＝ 10 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校有2000名学生，请据此估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有多少人？
【分析】（1）根据条形统计图可以求得m的值，然后利用50减去其它各组的人数即可求得n的值；
（2）根据（1）的结果即可作出统计图；
（3）利用总人数2000乘以所占的比例即可求解．
【解答】解：（1）根据条形图可以得到：m＝5，n＝50﹣5﹣30﹣5＝10（人）
故答案是：5，10；
（2）
；
（3）2000×＝1200（人）．
22．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．
23．（6分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在线段BC上找一点D，使它到A、B两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．连接AD，则tan∠CDA＝ ；
（2）如图2，⊙O经过正方形网格中的格点A、B、C、D，请利用（1）得到的结论，仅用网格中的格点及无刻度的直尺分别在图2中画出一个满足下列两个条件的∠P；
①顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合；
②∠P在图2中的正弦值为．
【分析】（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，点D即为所求
（2）如图2中，连接DE，BF交于点J．BE交⊙O于点T，连接BT，可知sin∠BJT＝，连接DM交⊙O于点Q，则∠MDT＝∠BJT，在弧CD上任意取一点P，连接PT，PQ，∠TPQ即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求．设AD＝DB＝x，
在Rt△ACD中，则有x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴AD＝BD＝5，CD＝CB﹣BD＝3，
∴tan∠CDA＝＝．
故答案为：．
（2）如图2中，∠QPT即为所求．
24．（8分）如图是投影仪安装截面图，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，AD∥EF，∠ACB＝45°，求屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE（结果精确到01m），
【分析】过点A作AP⊥EF，垂足为P，想办法求出PC的长即可解决问题．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，过A作AP⊥EF于P，
∴PE＝AD＝0.5，
在Rt△BCH中，BC＝，∠ACB＝45°，
∴BH＝HC＝1，
在Rt△ABH中，∠BAH＝30°，
∴AH＝，
∴AC＝+1，
∴PC＝（+1），
∴CE＝（+1）+0.5≈2.4m．
答：屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE为2.4m．
25．（8分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得
解得
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000
化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100
∵x≤50×（1+90%）＝95
∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得
w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000
＝﹣2（x﹣90）2+3200
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x＝90时，w最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
26．（10分）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连接CF交PD于M，∠C＝P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．
【分析】（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH＝∠PMH，∠C＝∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；
（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；
（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，＝．
②当△CDH∽△MFB时，＝，分别构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．
∵PD⊥AC，
∴∠PHM＝∠CDM＝90°，
∵∠PMH＝∠DMC，
∴∠C＝∠MPH，
∵∠C＝∠FPM，
∴∠HPF＝∠HPM，
∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，
∴∠PFH＝∠PMH，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∵∠C+∠CDM＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，
∴∠OFC+∠PFC＝90°，
∴∠OFP＝90°，
∴直线PA是⊙O的切线．
（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，
∴∠AOF＝60°，
∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，
∴∠C＝30°，
∵⊙O的半径为4，DM＝1，
∴OA＝2OF＝8，CD＝DM＝，
∴OD＝OC﹣CD＝4﹣，
∴AD＝OA+OD＝8+4﹣＝12﹣，
在Rt△ADP中，
DP＝AD•tan30°＝（12﹣）×＝4﹣1，
∴PM＝PD﹣DM＝4﹣2．
（3）如图2中，
由（2）可知：BF＝BC＝4，FC＝BF＝4，CM＝2DM＝2，CD＝，
∴FM＝FC﹣CM＝4﹣2，
①当△CDH∽△BFM时，＝，
∴＝，
∴DH＝
②当△CDH∽△MFB时，＝，
∴＝，
∴DH＝，
∵DN＝＝，
∴DH＜DN，符合题意，
综上所述，满足条件的DH的值为或．
27．（10分）阅读理解：
如图1，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图2，⊙A的半径为1，A（0，2），分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是 ② ．（填序号）
①△ABM；②△AOP；③△ACQ
（2）如图3，⊙A的半径为1，A（0，2），直线y＝kx（k≠0）与⊙A“最美三角形”的面积为，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，为半径画⊙B，若直线y＝x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于，请直接写出圆心B的横坐标xB的取值范围．
【分析】（1）先判断出OP⊥l时，△PMO面积最小，即可得出结论；
（2）①当k＜0时，先求出EF＝1，进而求出AF，再求出OF，判断出AF＝OF，进而求出点F的坐标，即可得出结论；
②当k＞0时，同①的方法即可得出结论；
（3）先求出∠ODC＝60°，①当⊙B在直线CD右侧时，判断出BD＝BN，根据直线CD与⊙B相离，判断出BN＞，即OB＝BD﹣OD＞2﹣，再根据S△BMN＜，判断出MN＜1，进而得出BD＜，即可得出结论；
②当⊙B在直线CD左侧时，同①的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∵PM是⊙O的切线，
∴∠PMO＝90°，
当⊙O的半径OM是定值时，PM＝，
∵S△PMO＝PM•OM，
要△PMO的面积最小，则PM最小，此时，OP最小，即OP⊥l，
在图2中，∵AO⊥x轴，
∴△AOP是x轴与⊙A的“最美三角形”，
故答案为：②；
（2）①当k＜0时，如图3，
作出如图3所示：△AEF是直线y＝kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”，
∴△AEF是直角三角形，
∵直线y＝kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为，
∴S△AEF＝AE•EF＝×1×EF＝，
∴EF＝1，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF＝AE＝，
∴点A（0，2），
∴OA＝2，
在Rt△AFO中，根据勾股定理得出，OF＝＝＝AF，
∴∠AOF＝45°，
过点F作FM⊥x轴于M，
∴∠FOM＝45°＝∠OFM，
∴FM＝OM＝OF＝1，
∴F点的坐标为（﹣1，1），
∵点F在直线y＝kx上，
∴k＝﹣1，
②当k＞0时，同①的方法得，k＝1，即k的值为1或﹣1；
（3）记直线y＝x+3与x、y轴的交点为D，C，则D（﹣，0），C（0，3），
在Rt△COD中，tan∠ODC＝＝，
∴∠ODC＝60°，
①当⊙B在直线CD右侧时，如图4，
∵△BMN是直线y＝x+3与⊙B的“最美三角形”，
∴BN⊥CD，
∴∠BND＝90°，
在Rt△BDN中，sin∠BDN＝，
∴BD＝＝＝BN，
∵⊙B的半径为，
∴BM＝，
当直线CD与⊙B相切时，BN＝BM＝，
∵直线CD与⊙B相离，
∴BN＞，
此时，BD＞2，
∴OB＝BD﹣OD＞2﹣，
∵△BMN是直线y＝x+3与⊙B的“最美三角形”，∴
MN⊥BM，
∴S△BMN＝MN•BM＝×MN＝MN，
∵S△BMN＜，
∴MN＜，
∴MN＜1，
在Rt△BMN中，BN＝＝＜＜2，
∴BD＜，
∴OB＝BD﹣OD＜﹣＝，
∴2﹣＜xB＜，
②当⊙B在直线CD左侧时，同①的方法得，﹣＜xB＜﹣2﹣，
即圆心B的横坐标xB的取值范围为2﹣＜xB＜或﹣＜xB＜﹣2﹣．
28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D，交x轴于点A（1，0）、B（点A在点B右侧），交y轴于点C（0，2），点P是该抛物线对称轴上的一点．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的左侧，若△DPQ与△ABC相似，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）将A（1，0）、C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）求直线AC的解析式为y＝﹣2x+2，连接AC交直线x＝﹣于点P，当P、A、C三点共线时，BP﹣PA的值最大，则P（﹣，5）；
（3）先求B（﹣4，0），然后分别求出AB＝5，AC＝，BC＝2，可以判断△BCA是直角三角形，tan∠ABC＝，设P（﹣，t），Q（m，﹣m2﹣m+2），分两种情况讨论：当∠DPQ＝90°时，t＝﹣m2﹣m+2，QP＝﹣﹣m，PD＝﹣t，①当∠QDP＝∠ABC时，＝，求得P（﹣，﹣）；②当∠DQP＝∠ABC时，＝，求得P（﹣，）；当∠DQP＝90°时，①当∠QDP＝∠ABC时，过点Q作QM垂直直线x＝﹣交于点M，此时M（﹣，﹣），Q（﹣，﹣），求得P（﹣，﹣）；②当∠QPD＝∠ABC时，过点Q作QM垂直直线x＝﹣交于点M，此时M（﹣，），Q（﹣，），求得P（﹣，）．
【解答】解：（1）将A（1，0）、C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
∴，
∴y＝﹣x2﹣x+2，
∴顶点为D（﹣，）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣2x+2，
连接AC交直线x＝﹣于点P，
∵点B与点A关于直线x＝﹣对称
∴PB＝PA，
∴BP﹣CP＝PA﹣PC≤AC，
当P、A、C三点共线时，BP﹣PA的值最大，
∴P（﹣，5）；
（3）令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴B（﹣4，0），
∵A（1，0）、C（0，2），
∴AB＝5，AC＝，BC＝2，
∴△BCA是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝＝，
设P（﹣，t），Q（m，﹣m2﹣m+2），
当∠DPQ＝90°时，t＝﹣m2﹣m+2，
∴QP＝﹣﹣m，PD＝﹣t，
①当∠QDP＝∠ABC时，＝，
∴＝，
∴m＝﹣或m＝﹣（舍），
∴t＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②当∠DQP＝∠ABC时，＝，
∴＝2，
∴m＝﹣（舍）或m＝﹣，
∴t＝，
∴P（﹣，）；
当∠DQP＝90°时，
①如图1，当∠QDP＝∠ABC时，过点Q作QM垂直直线x＝﹣交于点M，
此时M（﹣，﹣），Q（﹣，﹣）
∴QM＝4，
∵∠MQP＝∠QDM，
∴MP＝2，
∴P（﹣，﹣）；
②如图2，当∠QPD＝∠ABC时，过点Q作QM垂直直线x＝﹣交于点M，
此时M（﹣，），Q（﹣，），
∴MQ＝1，
∵∠QPM＝∠DQM，
∴PM＝2，
∴P（﹣，）；
综上所述：若△DPQ与△ABC相似，P点坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，）．
2021年江苏省常州市武进区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）
1．（2分）2cos45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2分）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱（单位：元）
1
2
3
4
5
人数
2
5
8
9
6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．4，3 B．4，3.5 C．3.5，3.5 D．3.5，4
3．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．2
4．（2分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD等于（ ）
A．75° B．95° C．100° D．105°
7．（2分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．4
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
③若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）已知一元二次方程x2+x+m＝0的一个根为2，则它的另一个根为 ．
10．（2分）反比例函数y＝的图象经过点（2，3）和（﹣1，m）．则m＝ ．
11．（2分）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）．
12．（2分）在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为 ．
13．（2分）二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标是 ．
14．（2分）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝ °．
15．（2分）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为 米．（≈1.73，结果精确到0.1米）
16．（2分）如图，△ABC中，点D、E分别是AC、BC中点，BD、AE交于点F，若△BEF的面积为2，则△ABC的面积为 ．
17．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM＝3，AN＝4，则tan∠CAN的值为 ．
18．（2分）如图，等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一点，且PB＝6，直线l经过点P，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点为点B'，在直线l变化的过程中，则△ACB'面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答应写出演算步骤）
19．（6分）计算：（7﹣1）0+tan30°﹣2sin60°•cos45°．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣6x+7＝0；
（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
21．（8分）某班在一次班会课上，就“遇见路人摔倒后如何处理”的主题进行讨论，并对全班50名学生的处理方式进行统计，得出相关统计表和统计图．
组别
A
B
C
D
处理方式
迅速离开
马上救助
视情况而定
只看热闹
人数
m
30
n
5
请根据表图所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的m＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校有2000名学生，请据此估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有多少人？
22．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
23．（6分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在线段BC上找一点D，使它到A、B两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．连接AD，则tan∠CDA＝ ；
（2）如图2，⊙O经过正方形网格中的格点A、B、C、D，请利用（1）得到的结论，仅用网格中的格点及无刻度的直尺分别在图2中画出一个满足下列两个条件的∠P；
①顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合；
②∠P在图2中的正弦值为．
24．（8分）如图是投影仪安装截面图，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，AD∥EF，∠ACB＝45°，求屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE（结果精确到01m），
25．（8分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
26．（10分）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连接CF交PD于M，∠C＝P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．
27．（10分）阅读理解：
如图1，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图2，⊙A的半径为1，A（0，2），分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是 ．（填序号）
①△ABM；②△AOP；③△ACQ
（2）如图3，⊙A的半径为1，A（0，2），直线y＝kx（k≠0）与⊙A“最美三角形”的面积为，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，为半径画⊙B，若直线y＝x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于，请直接写出圆心B的横坐标xB的取值范围．
28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D，交x轴于点A（1，0）、B（点A在点B右侧），交y轴于点C（0，2），点P是该抛物线对称轴上的一点．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的左侧，若△DPQ与△ABC相似，请直接写出点P的坐标．
2021年江苏省常州市武进区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）
1．（2分）2cos45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】直接把cos45°＝代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝2×＝．
故选：B．
2．（2分）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱（单位：元）
1
2
3
4
5
人数
2
5
8
9
6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．4，3 B．4，3.5 C．3.5，3.5 D．3.5，4
【分析】利用众数的定义可以确定众数在第三组，由于张华随机调查了20名同学，根据表格数据可以知道中位数是按从小到大排序，第15个与第16个数的平均数．
【解答】解：∵4出现了9次，它的次数最多，
∴众数为4．
∵张华随机调查了30名同学，
∴根据表格数据可以知道中位数＝（3+4）÷2＝3.5，即中位数为3.5．
故选：B．
3．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，由勾股定理，得
AB＝＝．
由锐角的余弦，得cosB＝＝＝，
故选：B．
4．（2分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，
则恰好选中甲、乙两位选手的概率是＝；
故选：C．
5．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据，求得，由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到，根据相似三角形的性质得到结论．
【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴，△ADE∽△ABC，
∴，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
已有的条件不能说明＝，故A错误．
故选：C．
6．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD等于（ ）
A．75° B．95° C．100° D．105°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠OAD＝180°，即可求出答案．
【解答】解：∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠DOA＝30°，
∴∠OAD＝×（180°﹣∠DOA）＝75°，
∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠BCD+∠OAD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣75°＝105°，
故选：D．
7．（2分）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．4
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．
【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
③若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的根；
②根据抛物线的对称轴可以得出函数在x＝﹣1时取得最大值；
③根据抛物线的对称性和增减性，可得离对称轴越远函数值越大；
④先求出y大于零时，x的范围，从而确定整数解的个数，进而确定p的取值个数．
【解答】解：∵A，B为抛物线上的对称点，
∴对称轴为直线，
∵a＜0，
∴当x＝﹣1时，ymax＝a﹣b+c，
∴对于任意实数t，有at2+bt+c≤a﹣b+c，
∴at2+bt⩽a﹣b，
故②正确，
∵|﹣5﹣（﹣1）|≤|π﹣（﹣1）|，
∴y2＜y1，
故③错误；
∵当ax2+bx+c＞0时，有﹣4＜x＜2，
∴若ax2+bx+c＝p（p＞0）的根为整数，
则它的根为﹣3，1或﹣2，0，或﹣1，﹣1，
∴满足条件的p的值有3个，故④错误；
∴正确的是①②，有两个，
故选：B．
二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）已知一元二次方程x2+x+m＝0的一个根为2，则它的另一个根为 ﹣3 ．
【分析】设方程的另一个根为n，根据根与系数的关系可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为n，
根据题意得：n+2＝﹣1，
解得：n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
10．（2分）反比例函数y＝的图象经过点（2，3）和（﹣1，m）．则m＝ ﹣6 ．
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣1×m＝2×3，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，3）和（﹣1，m），
∴﹣1×m＝2×3，
∴m＝﹣6．
故答案为﹣6．
11．（2分）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 3π （结果保留π）．
【分析】根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：扇形的面积＝＝3π．
故答案是：3π．
12．（2分）在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为 4 ．
【分析】根据概率公式得到＝，然后利用比例性质求出n即可．
【解答】解：根据题意得＝，
解得n＝4，
经检验：n＝4是分式方程的解，
故答案为：4．
13．（2分）二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标是 （0，﹣3） ．
【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣3的图象的顶点坐标为（0，﹣3）．
故答案为（0，﹣3）．
14．（2分）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝ 48 °．
【分析】设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108°，则∠B4B3D＝72°，由平行线的性质得出∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，再由四边形内角和即可得出答案．
【解答】解：设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：
∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，
∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B2B3B4＝＝108°，
∴∠B4B3D＝180°﹣108°＝72°，
∵A3A4∥B3B4，
∴∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，
∴α＝∠A2ED＝360°﹣∠A1A2A3﹣∠A2A3A4﹣∠EDA3＝360°﹣120°﹣120°﹣72°＝48°，
故答案为：48．
15．（2分）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为 54.6 米．（≈1.73，结果精确到0.1米）
【分析】过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，然后锐角三角函数的定义分别求出AD、PD后即可求出两岸之间的距离．
【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，
∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°，
∴∠DPB＝45°，
∵AB＝80，
∴BD＝40，AD＝40，
∴PD＝DB＝40，
∴AP＝AD+PD＝40+40，
∵a∥b，
∴∠EPA＝∠PAB＝30°，
∴AE＝AP＝20+20≈54.6，
故答案为：54.6
16．（2分）如图，△ABC中，点D、E分别是AC、BC中点，BD、AE交于点F，若△BEF的面积为2，则△ABC的面积为 12 ．
【分析】利用重心的性质得到AE＝3EF，根据三角形面积公式得到S△ABE＝3S△BEF＝6，然后利用E点为BC的中点得到S△ABC＝2S△ABE．
【解答】解：∵点F为中线AE、BD的交点，
∴AF＝2EF，
∴AE＝3EF，
∴S△ABE＝3S△BEF＝3×2＝6，
∵E点为BC的中点，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．
故答案为12．
17．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM＝3，AN＝4，则tan∠CAN的值为 ．
【分析】根据直角三角形的性质得到AB＝2CM＝6，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠MCB，根据余角的性质得到∠MCB＝∠CAN，推出△CAN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，
∴AB＝2CM＝6，
∴∠B＝∠MCB，
∵AN⊥CM，
∴∠MCB＝∠CAN，
∴∠B＝∠CAN，
∴△CAN∽△CBA，
∴＝＝，
∴tan∠CAN＝＝．
故答案为：．
18．（2分）如图，等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一点，且PB＝6，直线l经过点P，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点为点B'，在直线l变化的过程中，则△ACB'面积的最大值为 24+4 ．
【分析】由已知确定B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH⊥AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△AB'C的面积最大，再求面积即可．
【解答】解：由对称性可知，PB＝PB'，
∴B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，
过点P作PH⊥AC交于H，
当B'、P、H三点共线时，S△ACB'的面积最大，
∵∠BAC＝60°，PB＝6，AB＝8，
∴AP＝2，
在Rt△APH中，PH＝AP•sin60°＝2×＝，
∴B'H＝6+，
∴S△AB'C＝×8×（6+）＝24+4，
故答案为：24+4．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答应写出演算步骤）
19．（6分）计算：（7﹣1）0+tan30°﹣2sin60°•cos45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝1+×﹣2××
＝1+1﹣
＝2﹣．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣6x+7＝0；
（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）这里a＝1，b＝﹣6，c＝7，
∵△＝b2﹣4ac＝36﹣28＝8＞0，
∴x＝＝＝3±，
解得：x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）方程整理得：x（x﹣2）＝3（x﹣2），
移项得：x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣2）＝0，
可得x﹣3＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝3，x2＝2．
21．（8分）某班在一次班会课上，就“遇见路人摔倒后如何处理”的主题进行讨论，并对全班50名学生的处理方式进行统计，得出相关统计表和统计图．
组别
A
B
C
D
处理方式
迅速离开
马上救助
视情况而定
只看热闹
人数
m
30
n
5
请根据表图所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的m＝ 5 ，n＝ 10 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校有2000名学生，请据此估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有多少人？
【分析】（1）根据条形统计图可以求得m的值，然后利用50减去其它各组的人数即可求得n的值；
（2）根据（1）的结果即可作出统计图；
（3）利用总人数2000乘以所占的比例即可求解．
【解答】解：（1）根据条形图可以得到：m＝5，n＝50﹣5﹣30﹣5＝10（人）
故答案是：5，10；
（2）
；
（3）2000×＝1200（人）．
22．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．
23．（6分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在线段BC上找一点D，使它到A、B两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．连接AD，则tan∠CDA＝ ；
（2）如图2，⊙O经过正方形网格中的格点A、B、C、D，请利用（1）得到的结论，仅用网格中的格点及无刻度的直尺分别在图2中画出一个满足下列两个条件的∠P；
①顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合；
②∠P在图2中的正弦值为．
【分析】（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，点D即为所求
（2）如图2中，连接DE，BF交于点J．BE交⊙O于点T，连接BT，可知sin∠BJT＝，连接DM交⊙O于点Q，则∠MDT＝∠BJT，在弧CD上任意取一点P，连接PT，PQ，∠TPQ即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求．设AD＝DB＝x，
在Rt△ACD中，则有x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴AD＝BD＝5，CD＝CB﹣BD＝3，
∴tan∠CDA＝＝．
故答案为：．
（2）如图2中，∠QPT即为所求．
24．（8分）如图是投影仪安装截面图，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，AD∥EF，∠ACB＝45°，求屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE（结果精确到01m），
【分析】过点A作AP⊥EF，垂足为P，想办法求出PC的长即可解决问题．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，过A作AP⊥EF于P，
∴PE＝AD＝0.5，
在Rt△BCH中，BC＝，∠ACB＝45°，
∴BH＝HC＝1，
在Rt△ABH中，∠BAH＝30°，
∴AH＝，
∴AC＝+1，
∴PC＝（+1），
∴CE＝（+1）+0.5≈2.4m．
答：屏幕下边沿C离教室顶部的距离CE为2.4m．
25．（8分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得
解得
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000
化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100
∵x≤50×（1+90%）＝95
∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得
w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000
＝﹣2（x﹣90）2+3200
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x＝90时，w最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
26．（10分）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连接CF交PD于M，∠C＝P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．
【分析】（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH＝∠PMH，∠C＝∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；
（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；
（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，＝．
②当△CDH∽△MFB时，＝，分别构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．
∵PD⊥AC，
∴∠PHM＝∠CDM＝90°，
∵∠PMH＝∠DMC，
∴∠C＝∠MPH，
∵∠C＝∠FPM，
∴∠HPF＝∠HPM，
∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，
∴∠PFH＝∠PMH，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∵∠C+∠CDM＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，
∴∠OFC+∠PFC＝90°，
∴∠OFP＝90°，
∴直线PA是⊙O的切线．
（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，
∴∠AOF＝60°，
∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，
∴∠C＝30°，
∵⊙O的半径为4，DM＝1，
∴OA＝2OF＝8，CD＝DM＝，
∴OD＝OC﹣CD＝4﹣，
∴AD＝OA+OD＝8+4﹣＝12﹣，
在Rt△ADP中，
DP＝AD•tan30°＝（12﹣）×＝4﹣1，
∴PM＝PD﹣DM＝4﹣2．
（3）如图2中，
由（2）可知：BF＝BC＝4，FC＝BF＝4，CM＝2DM＝2，CD＝，
∴FM＝FC﹣CM＝4﹣2，
①当△CDH∽△BFM时，＝，
∴＝，
∴DH＝
②当△CDH∽△MFB时，＝，
∴＝，
∴DH＝，
∵DN＝＝，
∴DH＜DN，符合题意，
综上所述，满足条件的DH的值为或．
27．（10分）阅读理解：
如图1，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图2，⊙A的半径为1，A（0，2），分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是 ② ．（填序号）
①△ABM；②△AOP；③△ACQ
（2）如图3，⊙A的半径为1，A（0，2），直线y＝kx（k≠0）与⊙A“最美三角形”的面积为，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，为半径画⊙B，若直线y＝x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于，请直接写出圆心B的横坐标xB的取值范围．
【分析】（1）先判断出OP⊥l时，△PMO面积最小，即可得出结论；
（2）①当k＜0时，先求出EF＝1，进而求出AF，再求出OF，判断出AF＝OF，进而求出点F的坐标，即可得出结论；
②当k＞0时，同①的方法即可得出结论；
（3）先求出∠ODC＝60°，①当⊙B在直线CD右侧时，判断出BD＝BN，根据直线CD与⊙B相离，判断出BN＞，即OB＝BD﹣OD＞2﹣，再根据S△BMN＜，判断出MN＜1，进而得出BD＜，即可得出结论；
②当⊙B在直线CD左侧时，同①的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∵PM是⊙O的切线，
∴∠PMO＝90°，
当⊙O的半径OM是定值时，PM＝，
∵S△PMO＝PM•OM，
要△PMO的面积最小，则PM最小，此时，OP最小，即OP⊥l，
在图2中，∵AO⊥x轴，
∴△AOP是x轴与⊙A的“最美三角形”，
故答案为：②；
（2）①当k＜0时，如图3，
作出如图3所示：△AEF是直线y＝kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”，
∴△AEF是直角三角形，
∵直线y＝kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为，
∴S△AEF＝AE•EF＝×1×EF＝，
∴EF＝1，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF＝AE＝，
∴点A（0，2），
∴OA＝2，
在Rt△AFO中，根据勾股定理得出，OF＝＝＝AF，
∴∠AOF＝45°，
过点F作FM⊥x轴于M，
∴∠FOM＝45°＝∠OFM，
∴FM＝OM＝OF＝1，
∴F点的坐标为（﹣1，1），
∵点F在直线y＝kx上，
∴k＝﹣1，
②当k＞0时，同①的方法得，k＝1，即k的值为1或﹣1；
（3）记直线y＝x+3与x、y轴的交点为D，C，则D（﹣，0），C（0，3），
在Rt△COD中，tan∠ODC＝＝，
∴∠ODC＝60°，
①当⊙B在直线CD右侧时，如图4，
∵△BMN是直线y＝x+3与⊙B的“最美三角形”，
∴BN⊥CD，
∴∠BND＝90°，
在Rt△BDN中，sin∠BDN＝，
∴BD＝＝＝BN，
∵⊙B的半径为，
∴BM＝，
当直线CD与⊙B相切时，BN＝BM＝，
∵直线CD与⊙B相离，
∴BN＞，
此时，BD＞2，
∴OB＝BD﹣OD＞2﹣，
∵△BMN是直线y＝x+3与⊙B的“最美三角形”，∴
MN⊥BM，
∴S△BMN＝MN•BM＝×MN＝MN，
∵S△BMN＜，
∴MN＜，
∴MN＜1，
在Rt△BMN中，BN＝＝＜＜2，
∴BD＜，
∴OB＝BD﹣OD＜﹣＝，
∴2﹣＜xB＜，
②当⊙B在直线CD左侧时，同①的方法得，﹣＜xB＜﹣2﹣，
即圆心B的横坐标xB的取值范围为2﹣＜xB＜或﹣＜xB＜﹣2﹣．
28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D，交x轴于点A（1，0）、B（点A在点B右侧），交y轴于点C（0，2），点P是该抛物线对称轴上的一点．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的左侧，若△DPQ与△ABC相似，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）将A（1，0）、C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）求直线AC的解析式为y＝﹣2x+2，连接AC交直线x＝﹣于点P，当P、A、C三点共线时，BP﹣PA的值最大，则P（﹣，5）；
（3）先求B（﹣4，0），然后分别求出AB＝5，AC＝，BC＝2，可以判断△BCA是直角三角形，tan∠ABC＝，设P（﹣，t），Q（m，﹣m2﹣m+2），分两种情况讨论：当∠DPQ＝90°时，t＝﹣m2﹣m+2，QP＝﹣﹣m，PD＝﹣t，①当∠QDP＝∠ABC时，＝，求得P（﹣，﹣）；②当∠DQP＝∠ABC时，＝，求得P（﹣，）；当∠DQP＝90°时，①当∠QDP＝∠ABC时，过点Q作QM垂直直线x＝﹣交于点M，此时M（﹣，﹣），Q（﹣，﹣），求得P（﹣，﹣）；②当∠QPD＝∠ABC时，过点Q作QM垂直直线x＝﹣交于点M，此时M（﹣，），Q（﹣，），求得P（﹣，）．
【解答】解：（1）将A（1，0）、C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
∴，
∴y＝﹣x2﹣x+2，
∴顶点为D（﹣，）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣2x+2，
连接AC交直线x＝﹣于点P，
∵点B与点A关于直线x＝﹣对称
∴PB＝PA，
∴BP﹣CP＝PA﹣PC≤AC，
当P、A、C三点共线时，BP﹣PA的值最大，
∴P（﹣，5）；
（3）令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴B（﹣4，0），
∵A（1，0）、C（0，2），
∴AB＝5，AC＝，BC＝2，
∴△BCA是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝＝，
设P（﹣，t），Q（m，﹣m2﹣m+2），
当∠DPQ＝90°时，t＝﹣m2﹣m+2，
∴QP＝﹣﹣m，PD＝﹣t，
①当∠QDP＝∠ABC时，＝，
∴＝，
∴m＝﹣或m＝﹣（舍），
∴t＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②当∠DQP＝∠ABC时，＝，
∴＝2，
∴m＝﹣（舍）或m＝﹣，
∴t＝，
∴P（﹣，）；
当∠DQP＝90°时，
①如图1，当∠QDP＝∠ABC时，过点Q作QM垂直直线x＝﹣交于点M，
此时M（﹣，﹣），Q（﹣，﹣）
∴QM＝4，
∵∠MQP＝∠QDM，
∴MP＝2，
∴P（﹣，﹣）；
②如图2，当∠QPD＝∠ABC时，过点Q作QM垂直直线x＝﹣交于点M，
此时M（﹣，），Q（﹣，），
∴MQ＝1，
∵∠QPM＝∠DQM，
∴PM＝2，
∴P（﹣，）；
综上所述：若△DPQ与△ABC相似，P点坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，）．
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