2021年广西南宁市西乡塘区中考数学一模试卷 解析版

这是一份2021年广西南宁市西乡塘区中考数学一模试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如果盈利3元记作+3元，那么亏损5元记作（ ）
A．﹣5元B．+5元C．2元D．﹣2元
2．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．了解全国各地学生带手机进课堂的情况
B．了解全班学生某个周末的睡眠时间
C．了解广西各中小学校垃圾分类情况
D．调查邕江的水质情况
3．（3分）下列医疗图标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）据国务院联防联控机制发布会通报，截止2021年3月14日，我国累计接种新冠疫苗达到64980000人次，数据64980000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.6498×108B．6.498×108C．6.498×107D．64.98×106
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12B．a3•a4＝a12C．a2+a2＝a4D．（ab）2＝ab2
6．（3分）一个不透明的袋子里装有红，白，蓝三种颜色的球分别有1个，2个，3个它们除颜色外其余都相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cmB．10cmC．16cmD．20cm
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（ ）
A．8°B．10°C．15°D．20°
10．（3分）在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，则m的值不可能是（ ）
A．﹣2B．﹣C．0D．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝16，∠ABC＝60°，D为弧AC的中点，M是弦AC上任意一点（不与端点A、C重合），连接DM，则CM+DM的最小值是（ ）
A．B．C．D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
13．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是 ．
14．（3分）因式分解：3x2﹣12＝ ．
15．（3分）圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，那么它的侧面积是 （结果保留π）．
16．（3分）某公司欲招聘一名部门经理，需要对应聘者进行专业知识、语言能力和综合素质三项测试，并按照3：5：2的比例确定应聘者的平均成绩，已知应聘者甲的三项测试成绩分别为80分、96分、70分，则应聘者甲的平均成绩为 分．
17．（3分）如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°．则塔高BC为 m．
18．（3分）如图，已知点B、D在反比例函数y＝（a＞0）的图象上，点A、C在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的同侧，AB＝4，CD＝3，AB与CD间的距离为，则a﹣b的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．
21．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（直接写出结果）
22．（8分）某校为了解学生的体质健康状况，从七年级和八年级中各随机抽取10名学生进行了体质健康测试，测试成绩如下：
七年级：70，81，75，91，69，86，75，81，75，80
八年级：56，78，80，94，78，90，81，78，81，80
整理数据：
分析数据：
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，m，n的值；
（2）比较这两组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个年级学生的体质健康状况比较好？请说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康测试成绩在80分以上（含80分）的学生人数．
23．（8分）如图，▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．
（1）求证：△AOB≌△EOC；
（2）当∠D＝50°，∠AOC＝100°时，请判断四边形ABEC的形状，并说明理由．
24．（10分）某自助设备有限公司研发并生产A型和B型两种智能垃圾分类箱，每月固定生产这两种智能垃圾箱共2000套，且所有产品当月全部售出．已知这两种智能垃圾箱的成本、销售单价如下表：
（1）该公司四月份的销售收入为420万元，则该公司四月份销售A型、B型智能垃圾箱各多少套？
（2）如果公司五月份进行促销活动，A型智能垃圾箱每套降价a（0≤a≤700）元，B型智能垃圾箱每套打八折销售，公司投入生产的总成本不超过336万元，且A型智能垃圾箱的销量不低于500套，请问公司应怎样安排生产，可使该月公司所获利润最大？（利润＝销售收入﹣成本）
25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若＝，求的值．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）B为第一象限抛物线上一点，若点B关于直线AC的对称点B'在y轴上，求点B的坐标，以及点B到直线AC的距离；
（3）在（2）的条件下，P为抛物线上一动点，当tan∠PAB＝tan∠ACB时，请直接写出直线AP的解析式．
2021年广西南宁市西乡塘区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（3分）如果盈利3元记作+3元，那么亏损5元记作（ ）
A．﹣5元B．+5元C．2元D．﹣2元
【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量，即可得出答案．
【解答】解：∵盈利和亏损具有相反意义，
∴亏损用负数表示，
∴亏损5元记作﹣5元，
故选：A．
2．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．了解全国各地学生带手机进课堂的情况
B．了解全班学生某个周末的睡眠时间
C．了解广西各中小学校垃圾分类情况
D．调查邕江的水质情况
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．
【解答】解：A．了解全国各地学生带手机进课堂的情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
B．了解全班学生某个周末的睡眠时间，适合全面调查，故选项符合题意；
C．了解广西各中小学校垃圾分类情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
D．调查邕江的水质情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列医疗图标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
4．（3分）据国务院联防联控机制发布会通报，截止2021年3月14日，我国累计接种新冠疫苗达到64980000人次，数据64980000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.6498×108B．6.498×108C．6.498×107D．64.98×106
【分析】将一个数表示成a×10n，1≤a＜10，n是正整数的形式，叫做科学记数法，根据此定义即可得出答案．
【解答】解：根据科学记数法的定义，64980000＝6.498×107，
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12B．a3•a4＝a12C．a2+a2＝a4D．（ab）2＝ab2
【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即可．
【解答】解：A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；
B、a3•a4＝a7，故原题计算错误；
C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；
D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
6．（3分）一个不透明的袋子里装有红，白，蓝三种颜色的球分别有1个，2个，3个它们除颜色外其余都相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用白色球的个数除以球的总个数即可得摸到白球的概率．
【解答】解：∵袋子里装有红、白、蓝三种颜色的球分别有1个、2个、3个，共6个球，
∴从中随机的摸出一个，摸到白球的概率是＝，
故选：C．
7．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cmB．10cmC．16cmD．20cm
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为1＜x≤2，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（ ）
A．8°B．10°C．15°D．20°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到∠BDE＝90°，AD＝BD，根据三角形的内角和定理得到∠DEB＝50°，根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AB，求得∠DCE＝∠B＝40°，于是得到∠CDE＝∠DEB﹣∠DCE＝10°．
【解答】解：由题意可知：MN为AB的垂直平分线，
∴∠BDE＝90°，AD＝BD，
∵∠B＝40°，
∴∠DEB＝50°，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD＝AB，
∴∠DCE＝∠B＝40°，
∴∠CDE＝∠DEB﹣∠DCE＝10°，
故选：B．
10．（3分）在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设甲队每小时检测x人，根据题意得，
，
故选：A．
11．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，则m的值不可能是（ ）
A．﹣2B．﹣C．0D．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3﹣m或m≤﹣1，解得即可．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0），
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1
解得m＜1，
故选：D．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝16，∠ABC＝60°，D为弧AC的中点，M是弦AC上任意一点（不与端点A、C重合），连接DM，则CM+DM的最小值是（ ）
A．B．C．D．4
【分析】过点M作ME⊥OC于E，过点D作DF⊥OC于F，连接OD，根据圆周角定理可证∠ACO＝∠CAO＝30°，则ME＝MC，故CM+DM＝ME+DM，从而ME+DM的最小值为DF的长，再利用三角函数计算即可．
【解答】解：过点M作ME⊥OC于E，过点D作DF⊥OC于F，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝30°，
∴ME＝MC，
∴CM+DM＝ME+DM，
∴ME+DM的最小值为DF的长，
∵D为弧AC的中点，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
在Rt△ODF中，sin∠DOF＝sin60°＝，
∴DF＝＝4，
∴CM+DM的最小值为：4，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
13．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣5≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
14．（3分）因式分解：3x2﹣12＝ 3（x+2）（x﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
15．（3分）圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，那么它的侧面积是 12π （结果保留π）．
【分析】利用圆锥的侧面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×4＝12π，
故答案为：12π．
16．（3分）某公司欲招聘一名部门经理，需要对应聘者进行专业知识、语言能力和综合素质三项测试，并按照3：5：2的比例确定应聘者的平均成绩，已知应聘者甲的三项测试成绩分别为80分、96分、70分，则应聘者甲的平均成绩为 86 分．
【分析】根据加权平均数的定义计算即可得出答案．
【解答】解：＝86（分），
故答案为：86．
17．（3分）如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°．则塔高BC为 45 m．
【分析】用AC表示出BE，BC长，根据BC﹣BE＝30得方程求AC，进而求得BC长．
【解答】解：根据题意得：BC＝＝AC，
∵BE＝DEtan30°＝ACtan30°＝AC．
∴大楼高AD＝BC﹣BE＝（﹣）AC＝30．
解得：AC＝15．
∴BC＝AC＝45．
18．（3分）如图，已知点B、D在反比例函数y＝（a＞0）的图象上，点A、C在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的同侧，AB＝4，CD＝3，AB与CD间的距离为，则a﹣b的值是 6 ．
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义，得出a﹣b＝4•OE，a﹣b＝3•OF，再根据OF﹣OE＝，即可求出a﹣b的值．
【解答】解：如图，由题意知：
OE•BE＝a①，OE•AE＝﹣b②，
①+②，得OE•BE+OE•AE＝a﹣b，
即a﹣b＝4•OE，
同理，可得a﹣b＝3•OF，
∴4OE＝3OF，
∴OE：OF＝3：4，
又∵OF﹣OE＝，
∴OE＝，OF＝2，
∴a﹣b＝6．
故答案是：6．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣10+3
＝﹣2．
20．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝1时，原式＝＝2．
21．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（直接写出结果）
【分析】（1）根据平移的性质即可画出△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）结合（1）（2）即可判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）以O，A1，B为顶点的三角形的形状：等腰直角三角形．
22．（8分）某校为了解学生的体质健康状况，从七年级和八年级中各随机抽取10名学生进行了体质健康测试，测试成绩如下：
七年级：70，81，75，91，69，86，75，81，75，80
八年级：56，78，80，94，78，90，81，78，81，80
整理数据：
分析数据：
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，m，n的值；
（2）比较这两组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个年级学生的体质健康状况比较好？请说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康测试成绩在80分以上（含80分）的学生人数．
【分析】（1）根据频数统计的方法，可得出a、b的值，根据中位数、众数的意义可得出m、n的值；
（2）比较平均数、中位数、众数的大小得出结论即可；
（3）求出七年级学生体质成绩在80分以上（含80分）的学生所占的百分比，即可估计总体七年级体质成绩在80分以上（含80分）的学生所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解：（1）根据频数之和为样本容量可得，
a＝10﹣5﹣1＝4，b＝10﹣1﹣3﹣4＝2，
七年级10名学生成绩出现次数最多的是75分，共出现3次，因此众数是75分，即n＝75，
八年级10名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是80分，因此中位数是80分，即m＝80，
答：a＝4，b＝2，m＝80，n＝75；
（2）八年级学生体质较好，理由为：八年级学生体质成绩的平均分79.6分高于七年级学生的平均分78.3分，八年级学生体质成绩的中位数80分高于七年级学生的中位数77.5分；
（3）300×＝150（人），
答：七年级300名学生中体质健康测试成绩在80分以上（含80分）的学生人数约为150人．
23．（8分）如图，▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．
（1）求证：△AOB≌△EOC；
（2）当∠D＝50°，∠AOC＝100°时，请判断四边形ABEC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，可得∠BAO＝∠CEO，∠ABO＝∠ECO，由“AAS”可证△ABO≌△ECO，可得AO＝EO，即可证四边形ABEC是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质和三角形外角性质可证AO＝BO，可得AE＝BC，即可得四边形ABEC是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠CEO，∠ABO＝∠ECO，
∵点O是边BC的中点，
在△ABO与△ECO中，
，
∴△ABO≌△ECO（AAS），
∴AO＝EO，且BO＝CO，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）四边形ABEC是矩形，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝50°，
∵∠AOC＝∠ABC+∠BAO＝100°，
∴∠ABC＝∠BAO＝50°，
∴AO＝BO，
∴AE＝BC，
∴▱ABEC是矩形．
24．（10分）某自助设备有限公司研发并生产A型和B型两种智能垃圾分类箱，每月固定生产这两种智能垃圾箱共2000套，且所有产品当月全部售出．已知这两种智能垃圾箱的成本、销售单价如下表：
（1）该公司四月份的销售收入为420万元，则该公司四月份销售A型、B型智能垃圾箱各多少套？
（2）如果公司五月份进行促销活动，A型智能垃圾箱每套降价a（0≤a≤700）元，B型智能垃圾箱每套打八折销售，公司投入生产的总成本不超过336万元，且A型智能垃圾箱的销量不低于500套，请问公司应怎样安排生产，可使该月公司所获利润最大？（利润＝销售收入﹣成本）
【分析】（1）设该公司四月份销售A型智能垃圾箱x套，则销售B型智能垃圾箱（2000﹣x）套，利用销售总价＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出该公司四月份销售A型智能垃圾箱的数量，再将其代入（2000﹣x）中可求出该公司四月份销售B型智能垃圾箱的数量；
（2）设该公司五月份应安排生产A型智能垃圾箱m套，则生产B型智能垃圾箱（2000﹣m）套，根据“公司投入生产的总成本不超过336万元，且A型智能垃圾箱的销量不低于500套”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设该公司五月份获得利润w元，利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该公司四月份销售A型智能垃圾箱x套，则销售B型智能垃圾箱（2000﹣x）套，
依题意得：3500x+1500（2000﹣x）＝4200000，
解得：x＝600，
∴2000﹣x＝2000﹣600＝1400．
答：该公司四月份销售A型智能垃圾箱600套，B型智能垃圾箱1400套．
（2）设该公司五月份应安排生产A型智能垃圾箱m套，则生产B型智能垃圾箱（2000﹣m）套，
依题意得：，
解得：500≤m≤800．
设该公司五月份获得利润w元，则w＝（3500﹣a﹣2700）m+（1500×0.8﹣1000）（2000﹣m）＝（600﹣a）m+400000．
当600﹣a＜0，即600＜a≤700时，w随m的增大而减小，
∴当m＝500时，w取得最大值，此时2000﹣m＝2000﹣500＝1500；
当600﹣a＝0，即a＝600时，w＝400000，
∴当500≤m≤800且m为整数时，w为定值；
当600﹣a＞0，即0≤a＜600时，w随m的增大而增大，
∴当m＝800时，w取得最大值，此时2000﹣m＝2000﹣800＝1200．
答：当0≤a＜600时，安排生产A型智能垃圾箱800套，B型智能垃圾箱1200套，可使该月公司所获利润最大；当a＝600时，安排生产A型智能垃圾箱不低于500套且不超过800套，该月公司所获利润为定值；当600＜a≤700时，安排生产A型智能垃圾箱500套，B型智能垃圾箱1500套，可使该月公司所获利润最大．
25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若＝，求的值．
【分析】（1）由切线的性质可得∠ADB+∠ABD＝90°，由圆周角定理可得∠AEC+∠BEC＝90°，可证∠BEC＝∠ADB＝∠DBE，可得CE＝CB；
（2）连接OC，由垂径定理可得OC⊥BE，由圆周角定理可得AE⊥BE，可得AE∥CO，由平行线的性质和等腰三角形的性质，可得∠BAE＝∠AOC＝2∠ABC；
（3）通过证明△ABE∽△OCF，可得AE＝2OF，BE＝2CF，设⊙O的半径为r，OF＝x，则AE＝2x，由面积关系可得，可求x＝，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AD是⊙O的切线，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ADB+∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC+∠BEC＝90°，
∵∠AEC＝∠ABD，∠ADB＝∠DBE，
∴∠BEC＝∠ADB＝∠DBE，
∴CE＝CB；
（2）连接OC，
∵BC＝CE，
∴＝，
∴OC⊥BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BE，
∴OC∥AE，
∴∠EAB＝∠AOC，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠AOC＝∠ABC+∠OCB，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∴∠BAE＝2∠ABC；
（3）∵AE∥OC，
∴∠BAE＝∠COF，
∵CF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠CFO＝90°，
∴△ABE∽△OCF，
∴，
∴AE＝2OF，BE＝2CF，
设⊙O的半径为r，OF＝x，则AE＝2x，
∵＝，
∴＝，
∴，
∴x＝，
∴BF＝r+x＝r，AF＝AB﹣BF＝2r﹣＝r，
∴＝
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）B为第一象限抛物线上一点，若点B关于直线AC的对称点B'在y轴上，求点B的坐标，以及点B到直线AC的距离；
（3）在（2）的条件下，P为抛物线上一动点，当tan∠PAB＝tan∠ACB时，请直接写出直线AP的解析式．
【分析】（1）求出A、C点坐标，再将点A（0，3），C（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解析式；
（2）先求出∠OAC＝45°，再由对称性可知AB⊥y轴，即可求B点坐标，再由等腰直角三角形的性质，可求点B到直线AC的距离为；
（3）设P（t，﹣t2+2t+3），先求出tan∠ACB＝＝，过P点作PQ⊥AB交于直线AB于点Q，然后分两种情况讨论：①当P点在AB上方时，＝＝，求出P（，）；②当P点在AB下方时，＝＝，求出P（，）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴A（0，3），
令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0），
将点A（0，3），C（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝45°，
∵点B关于直线AC的对称点B'在y轴上，
∴∠OAC＝∠BAC＝45°，
∴AB⊥y轴，
∴B（2，3），
∴AB＝2，
∵BB'⊥AC，
∴AM＝BM＝，
∴点B到直线AC的距离为；
（3）设P（t，﹣t2+2t+3），
∵AC＝3，AM＝，
∴CM＝2，
∴tan∠ACB＝＝，
∵tan∠PAB＝tan∠ACB，
∴tan∠PAB＝，
过P点作PQ⊥AB交于直线AB于点Q，
①当P点在AB上方时，＝＝，
解得t＝0（舍）或t＝，
∴P（，）；
②当P点在AB下方时，＝＝，
解得t＝0（舍）或t＝，
∴P（，）；
综上所述，P点坐标为（，）或（，）．
年级
x＜60
60≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
0
5
a
1
八年级
1
3
4
b
年级
平均数
中位数
众数
七年级
78.3
77.5
n
八年级
79.6
m
78
A型（元/套）
B型（元/套）
成本
2700
1000
销售单价
3500
1500
年级
x＜60
60≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
0
5
a
1
八年级
1
3
4
b
年级
平均数
中位数
众数
七年级
78.3
77.5
n
八年级
79.6
m
78
A型（元/套）
B型（元/套）
成本
2700
1000
销售单价
3500
1500