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高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式图文课件ppt
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这是一份高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式图文课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识点拨，答案D，答案-7等内容，欢迎下载使用。
1.了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象)2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.(逻辑推理、数学运算)3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(直观想象、逻辑推理、数学运算)
[激趣诱思]城市人口的急剧增加和人们生活水平的不断提高使车辆日益增多,很多城市需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局,以提高车速和通过能力.城市环线和
高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全,交通部门规定,在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长的积,且车距不得小于半个车身长,假定车身长均为l m,当车速为60 km/h时,车距为1.44个车身长,那么在交通繁忙时,应规定车速为多少,才使此处的车流量最大?
知识点一:一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
名师点析 1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+ <0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念.(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形.
微思考从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?提示 它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.微练习已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④ >0.其中是一元二次不等式的个数为( )A.1 B.2 C.3D.4答案 A解析 ①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.
知识点二:一元二次不等式的解法
名师点析 分式不等式的解法(1)分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.各种分式不等式经过同解变形,都可化为标准形式 <0(≤0)(其中f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0).(2)分式不等式的解法解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解.化分式不等式为标准型的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式.将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表:
微思考(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?提示 把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是什么,系数a,b,c之间有什么关系?提示 一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0.(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?提示 ①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.
例1解下列不等式.(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.分析先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
变式训练1解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
解 (1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|30,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0.因为方程3x2-4x+1=0的两
反思感悟 1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x10时,其解集是{x|xx2},当a<0时,其解集是{x|x10的解集.解 ∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两根.
例3(2020江西南昌高一月考)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0,即(ax-2)(x+1)≥0,①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
反思感悟 解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论.(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
变式训练3若m∈R,解关于x的不等式(x+m)[x-(3m+1)]>0.
例4行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系: (n为常数,且n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,其中
(1)求n的值;(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少?分析(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.
反思感悟 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.(3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
延伸探究 本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65 m,试问该车是否超速行驶?
求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设y=ax2+bx+c(a≠0),则
2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.典例 若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
【规范答题】解 当m2-2m-3=0时,m=3或m=-1.若m=3,不等式化为-1<0,显然对于x∈R恒成立,满足题意;若m=-1,不等式化为4x-1<0,显然不满足对于x∈R恒成立.
方法点睛 不等式在某范围内恒成立问题
变式训练已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为{x|x<-2,或x>0}.(1)求函数的解析式;(2)若对于任意的-2≤x≤2,y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.解 (1)易知-2和0是y=0的两个根,∴y=3x2+6x.(2)y+m≤3即m≤-3x2-6x+3,而当-2≤x≤2时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21,∴m≤-21,实数m的最大值为-21.
1.(2020山东滕州一中高一月考)不等式-x2+3x-2>0的解集是( )A.{x|x<1}B.{x|x>2}C.{x|12}答案 C解析 原不等式可化为x2-3x+2<0,即(x-1)(x-2)<0,解得1
3.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是( )A.{a|-160的解集为R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8
6.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以当a<-1时,原不等式的解集为{x|a-1时,原不等式的解集为{x|-1
1.了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象)2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.(逻辑推理、数学运算)3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(直观想象、逻辑推理、数学运算)
[激趣诱思]城市人口的急剧增加和人们生活水平的不断提高使车辆日益增多,很多城市需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局,以提高车速和通过能力.城市环线和
高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全,交通部门规定,在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长的积,且车距不得小于半个车身长,假定车身长均为l m,当车速为60 km/h时,车距为1.44个车身长,那么在交通繁忙时,应规定车速为多少,才使此处的车流量最大?
知识点一:一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
名师点析 1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+ <0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念.(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形.
微思考从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?提示 它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.微练习已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④ >0.其中是一元二次不等式的个数为( )A.1 B.2 C.3D.4答案 A解析 ①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.
知识点二:一元二次不等式的解法
名师点析 分式不等式的解法(1)分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.各种分式不等式经过同解变形,都可化为标准形式 <0(≤0)(其中f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0).(2)分式不等式的解法解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解.化分式不等式为标准型的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式.将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表:
微思考(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?提示 把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是什么,系数a,b,c之间有什么关系?提示 一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0.(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?提示 ①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.
例1解下列不等式.(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.分析先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
变式训练1解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
解 (1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3
反思感悟 1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1
例3(2020江西南昌高一月考)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0,即(ax-2)(x+1)≥0,①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
反思感悟 解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论.(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
变式训练3若m∈R,解关于x的不等式(x+m)[x-(3m+1)]>0.
例4行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系: (n为常数,且n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,其中
(1)求n的值;(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少?分析(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.
反思感悟 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.(3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
延伸探究 本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65 m,试问该车是否超速行驶?
求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设y=ax2+bx+c(a≠0),则
2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.典例 若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
【规范答题】解 当m2-2m-3=0时,m=3或m=-1.若m=3,不等式化为-1<0,显然对于x∈R恒成立,满足题意;若m=-1,不等式化为4x-1<0,显然不满足对于x∈R恒成立.
方法点睛 不等式在某范围内恒成立问题
变式训练已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为{x|x<-2,或x>0}.(1)求函数的解析式;(2)若对于任意的-2≤x≤2,y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.解 (1)易知-2和0是y=0的两个根,∴y=3x2+6x.(2)y+m≤3即m≤-3x2-6x+3,而当-2≤x≤2时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21,∴m≤-21,实数m的最大值为-21.
1.(2020山东滕州一中高一月考)不等式-x2+3x-2>0的解集是( )A.{x|x<1}B.{x|x>2}C.{x|1
3.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是( )A.{a|-16
6.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以当a<-1时,原不等式的解集为{x|a
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