高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义精品同步练习题

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5.1.2导数的概念及其几何意义同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为

A.  B.  C.  D.

2. 设函数在处存在导数，则   

A.  B.  C.  D.

3. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．

A.
B.
C.
D.

4. 设为可导函数，且满足，则过曲线上点处的切线斜率为

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是

A.
B.
C.
D.
 

6. 已知函数和在区间上的图象如图所示，那么下列说法正确的是

A. 在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B. 在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
 

7. 如果说某物体作直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为

A.  B.  C.  D.

8. 下列结论中正确的个数有
   导数定义中，等式中的恒为正数；
   函数在处的导数是在处的瞬时变化率；
   函数在处的导数是过点且与函数图象相切的直线的斜率；            
   直线是函数图象的一条切线．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是

A.
B. B.
C. C.
D. D.
 

10. 已知函数，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是   

A.  B.  C.  D.

12. 有一机器人的运动方程为是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知，则图象在处的切线方程为          ；若不等式有解，则整数的最小值为          ．
14. 函数的图像在点处的切线的斜率是          ，切线的方程为          ．
15. 已知函数令当时，有，则          ；若函数恰好有个零点，则实数的值为          ．
16. 已知函数 在点处的切线与曲线相切，且该切线经过点，则          ，          
17. 若函数与函数存在经过点的公切线，则实数的值为          ，公切线恒在函数图象的上方，则整数的最大值是          ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

18. 已知函数．

求曲线在点处的切线方程；

求证：．






 

19. 已知点为函数图像上的一点，为坐标原点，点为曲线段上一动点，求的面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知曲线在点处的切线的斜率为，求点的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数求函数的平均变化率并利用平均变化率求的导数；

若在点处的切线过点，求的值．






 

22. 已知抛物线，求：

抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为？

抛物线上哪一点处的切线平行于直线？

抛物线上哪一点处的切线垂直于直线？






 

23. 某一运动物体，在单位：时离出发点的距离单位：是．

求在第内的平均速度

经过多少时间该物体的运动速度达到






 

24. 求下列直线的方程：
    曲线在处的切线；
    曲线过点的切线．
    
    
    
    
    
    
     
25. 求函数在区间内的平均变化率；

求函数在处的切线方程．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义，同时考查直线的斜率和倾斜角的关系，属于基础题．
由导数的概念，可得，即有曲线在处的切线斜率为，再由斜率公式，可得倾斜角．
【解答】
解：由，
可得，
则曲线在处的切线斜率为，
由为倾斜角，
因为，
可得，
故选B．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查极限及其导数的概念、几何意义，解题的关键是熟练掌握导数的定义及极限的运算性质，先运用性质变形再由导数的定义得出结果，将极限的运算性质变形得，再由导数的几何意义得正确答案．
【解答】
解：．
故选C．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的定义、几何意义和运算，属基础题，难度不大．
【解答】
解：由导数的定义知，
由图像知，
故选D．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
由导数的几何意义，求出在曲线上点处的导数，即求得在此点处切线的斜率．
本题考查导数的概念和导数的几何意义，属于基础题。，求解问题的关键，是对所给的极限极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求出曲线上点处的切线率．
【解答】
解：，即，
在点处的切线斜率为，
故选B．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义，函数的单调性，属于基础题．
，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，可得结果．
【解答】 
解：由函数的图像可知：当时，单调递增，
 ，，，
而，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，
从而有．
即．
故选A．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了导数的概念及其应用问题，解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意义，判定每一个选项是否正确，是基础题．
由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项A、B错误；
由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项C错误，D正确．
【解答】
解：对于、，在到之间的平均变化率是，
在到之间的平均变化率是，
，即二者相等；
选项A、B错误；
对于、，函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，
即函数在该点处的切线的斜率，
同理函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，
即函数在处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查导数的概念和导数的物理意义，属简单题．
方法一：利用导数的定义和瞬时速度的定义求极限得解；
方法二：求出函数的导数，代值计算可得结果．

【解答】

解：方法一：
根据导数的定义可得，在时的瞬时速度为

，
故选．
方法二：，
，
，
故选．

8.【答案】
 

【解析】略
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义，函数的单调性，属于基础题．
，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，可得结果．
【解答】 
解：由函数的图像可知：当时，单调递增，
 ，，，
而，分别代表在，处的切线的斜率，可以看成割线的斜率，
由图可知．
即．
故选A．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查导数的定义及其应用，是基础题．
根据导数的定义，计算函数在处的导数即可．

【解答】

解：函数，所以；

所以

．

故选：．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查导数几何意义，属于基础题．
由已知及导数的定义得，然后由导数的几何意义即可求解．
【解答】

解：，
，
，
，即曲线在点处的切线的斜率是．
故选A．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的变化率，涉及函数导数的定义，属于基础题．
根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义分析可得答案．
【解答】
解：由题意知，机器人的速度方程为，
故当时，机器人的瞬时速度为．
故选D．  

13.【答案】，

【解析】

【分析】

本题考查了导数的几何意义，考查了导数与函数单调性、极值与最值的综合应用，零点存在定理的应用，由不等式有解求参数的值，属于中档题．
先求导，由导数的几何意义可得图象在处的切线方程；由函数的解析式及不等式，分离参数并构造函数，经过两次求导，可判断的单调性，结合零点存在定理可知存在使得，再求出的范围，进而由不等式有解，即可求得整数的最小值．

【解答】

解：因为，
故可得图象在处的切线斜率为，且切线过，
故可得图象在处的切线方程为，
函数，，

且不等式有解，

所以，即有解，

只需，
令，，
则，设，
则，
即在内单调递增，
而，，
所以存在使得，
而当时，单调递减，当时，单调递增，
所以在处取得极小值，即为最小值．
此时，
，
设，
则恒成立，
单调递增，
，即，
又因为，即，
而，所以整数的最小值为．
故答案为 ．

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义，属基础题．
根据题意先求出函数的导数，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，利用直线的点斜式方程可求出切线方程．
【解答】
解：由可得，
所以，
所以函数的图像在点处的切线的斜率是，
在点处的切线方程为：
，
即．
故答案为．  

15.【答案】或

【解析】

【分析】
本题考查了分段函数，函数的零点与方程根的关系，导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，对数函数及其性质，直线的点斜式方程和数形结合思想，属于较难题．
利用分段函数的函数值计算得或，再利用函数的零点与方程根的关系把问题转化为函数的图象与直线恰好有个交点，令，利用导数研究函数的极值和对数函数的图象得函数的图象，作出直线与函数的图象，设直线与函数的图象相切于点，利用导数的几何意义和直线的点斜式方程得切线方程为，再利用数形结合得结论．
【解答】
解：因为函数
所以当时，，
因此当时，由得，显然无解；
当时，由得，
即，
解得或．
又因为函数恰好有个零点，
所以函数的图象与直线恰好有个交点．
令，则，
因此由得，
由得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，极小值为，
当时，函数取得极大值，极大值为．
作直线与函数的图象如下：

设直线与函数的图象相切于点．
因为函数的图象在点处的切线方程为，
所以当这条切线过点时，则，解得，
因此切线方程为，即此时直线方程为．
又因为当时，，
而，即，
所以由图象可得，当时，函数的图象与直线恰好有个交点，
即函数恰好有个零点．
故答案为或；．  

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了导数的几何意义，考查了公切线的处理方法，属于中档题．
先由切线经过两点求出切线方程，再求出，再设切点可求出．
【解答】
解：由题可知切线经过、，
所以切线方程为：，
因为，
所以，所以．
设的切点为，
因为，，
所以，，
解方程得，
故答案为．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义及不等式恒成立求参数的取值范围，属于较难题．
根据导数的几何意义得出实数的值，由恒在函数图象上方，得恒成立．分离参数，利用导数求最值即可．
【解答】
解：设与切线的切点为，，

则函数在处的切线的方程为，即．

直线经过点，

令，则，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

又，，故切线的方程为．

由得，，，解得．

恒在函数图象上方，，
即恒成立．

令，
则，

当时，；

当时，，当时，，

故在为减函数，在为增函数，在为减函数，

而当时，，又，，

故满足条件的整数的最大值为．

故答案为：，．

18.【答案】解：依题意，，

故有，

故所求切线方程为，即．

由得整理得，

化简得，

令，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，即恒成立，

所以恒成立．

【解析】本题考查导数的切线方程以及不等式证明，属于中档题．

对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程

由化简得，由导数可知存在极小值点，即最小值，即可证明原不等式．

19.【答案】解：由，得，

，

直线的斜率为．

如图，将直线平移至直线，使得直线与的图像相切于点，此时的面积最大．

设，则直线的斜率为．

又，

，解得，故，即．

点到直线的距离，

，

的面积的最大值为．

【解析】本题主要考查导数的基本概念，导数的几何意义，属于中档题．
根据题意，求出直线的斜率，将直线平移至直线，使得直线与的图像相切于点，可知此时的面积最大，据此求解即可．
 

20.【答案】解：设点坐标为，
则．
当无限趋近于时，无限趋近于，
因此，即，
所以．
即点坐标为．
 

【解析】本题考查导数的概念和几何意义，属基础题．
根据导数的概念，利用极限方法求得点处的导数，根据导数的几何意义，求得的横坐标，进而得解．
 

21.【答案】解：因为

所以，

所以；     

 由知在点处的切线斜率，

又，

所以．

【解析】此题考查利用导数的概念求导函数，及利用导数研究函数的切线方程属于基础题．

利用导数的概念得，；

由导数得切线的斜率，由两点求切线的斜率，列方程，得出的值．

22.【答案】解：设切点的坐标为，则

．

．

当无限趋近于时，无限趋近于．

即．

抛物线的切线的倾斜角为，

切线的斜率为，

即，得，该点为．

抛物线的切线平行于直线，

切线的斜率为，

即，得，该点为．

抛物线的切线与直线垂直，

切线的斜率为，

即，得，该点为．

【解析】本题考查导数的基本定义和直线平行和垂直时斜率之间的关系．
设切点的坐标为，
根据定义求出函数的导数，根据，可得结果；
由直线平行的关系可得，可得结果；
由两直线垂直的关系可得，可得结果．
 

23.【答案】解：物体在第内的平均变化率即平均速度为．

当时，．
令，
解得或舍去，
即经过，该物体的运动速度达到．

【解析】本题考查平均变化率在物理中的应用，属于基础题．
根据导数求出质点在第内的路程，从而求出质点在第内的平均速度即可；
令，求出的值即可．
 

24.【答案】解：的导数为，
可得在处的切线斜率为，
即有切线的方程为，
即为；
解：曲线的导数为，
设切点为，可得切线的斜率为，
切线的方程为，
代入，可得，
解得或，
可得切线的方程为或．
 

【解析】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意区分在某点处和过某点的切线，考查运算能力，属于基础题．

求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
求出函数的导数，设出切点，可得切线的斜率和方程，代入点，可得的值，进而得到切线的方程．

25.【答案】解：函数在区间内的平均变化率：
因为，
则，
故，
又，
切线方程为，
即．
 

【解析】本题考查平均变化率的概念，导数的计算和几何意义，属于基础题．
由平均变化率定义求出即可；
利用导数的几何意义即可求解．