专题03 中点弦问题（教师版）-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

这是一份人教版新课标A必修5本册综合课后作业题，共39页。

专题02 中点弦问题（设而不求与点差法）
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。

特别提醒：
若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值
【考点精选例题精析】：
例1.已知双曲线为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线于两点，且的中点，则该双曲线的方程为 .
【答案】：.
【解析】解法一：中点弦问题一般采用点差法.，设两式作差得
即
，所以双曲线方程为.
解法二：设直线，消去，可得
所以，
所以双曲线方程为
例2.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：设，都在抛物线上
，直线还经过，
所以直线方程为
例3．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设A（，），B（，），因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系，建立关于a，b，c的方程，从而求出所求；
【详解】
设A（，），B（，），又的中点为，则
又因为A、B在椭圆上
所以
两式相减，得：
∵,
∴，∴，平方可得, ∴=,，
故选A.

【点睛】
本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
例4．已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），根据点差法和中点坐标公式和斜率公式可得•，结合条件可得结果.
【详解】
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，1，
两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
∵P为线段AB的中点，
∴2xp＝x1+x2，2yp＝y1+y2，
∴•，
又kAB＝2，
∴，即，
∴
故选D
【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，点差法，直线的斜率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
例5．椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设出、两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到、两点的横纵坐标的和，则、中点坐标可求，由斜率公式列式可得的值．
【详解】
设点，，联立，得：，
①．
，
＝．
设是线段的中点，∴（）．∴直线的斜率为．
则,代入①满足△＞0（＞0，＞0）．
故选C．
【点睛】
本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了斜率公式的应用，属于中档题．
例6．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是______.
【答案】2
【分析】
由已知条件可知，AB的中点为P，所以使用点差法求得直线AB的斜率与中点的关系，利用OP的斜率为即可求得a的值．
【详解】
椭圆，所以焦点在x轴上
因为过左焦点作的直线斜率为－2， P是AB的中点，设，
将A、B坐标代入椭圆方程，可得 ，两式相减，化简得
，即
进一步化简得，代入
解得a=2
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，点差法在解决弦中点问题的应用，属于中档题．
例7．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．
【答案】
【解析】

由题意得，
又，解得．
∴椭圆的方程为．
∴椭圆右焦点的坐标为，
设线段的中点为，
由三角形重心的性质知，从而，
解得，
所以点Q的坐标为．
设，则，且，
以上两式相减得，
∴，
故直线的方程为，即．
答案：
点睛：弦中点问题的解决方法
（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点——设出弦的两端点坐标；
　②代入——代入圆锥曲线方程；
　③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；
　④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
例8．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.
【答案】
【分析】
由外接圆面积求半径，应用正弦定理求△中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长.
【详解】
由△外接圆的面积为，则其外接圆半径为.
∵△是以为底边的等腰三角形，设，则，
∴，得，
∴或.
不妨设点在轴下方，由△是以为底边的等腰三角形，知：或
又根据点差法可得，有，而此时焦点在轴上，舍去)
∵为椭圆的右焦点，
∴，故椭圆的长轴长为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用外接圆的面积求半径，由正弦定理、等腰三角形的性质求相关直线斜率，应用点差法列方程求椭圆参数a.
例9．如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当点恰好为线段的中点时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析：（Ⅰ）根据离心率为和弦长|AB|=列一个方程组，解方程组即得a,b,c的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出的表达式，再求函数的最小值即得的最小值．
详解：（Ⅰ）由题意设，即椭圆，
设
由作差得，

又∵,即，
∴AB斜率．
由．
消得，．
则．
解得，于是椭圆的方程为：．
（Ⅱ）设直线, 由消得，
．
于是．


∵
．
同理可得．
∴，
, 当时取等号．
综上，的最小值为．
点睛：本题的难点在求得之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.
例10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.
（1）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（2）若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设，代入椭圆方程相减得到答案.
（2）设直线，联立方程得到，，得到，计算得到答案.
【详解】
（1）设，则，
两式相减，可得，
即，
解得，即直线的斜率为.
（2）显然直线的斜率不为0，设直线，
联立消去整理得，
显然，故，
故的面积，
令，其中，，
当且仅当，即时等号成立，即面积的最大值为.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
例11．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.

（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点、，利用点差法可得出，再利用可求得的值；
（3）设点，根据直线和的倾斜角互补和面积公式计算出点的坐标，进而可求得椭圆的方程.
【详解】
（1）由已知条件得，解得，因此，椭圆的方程为；
（2）设点、，则线段的中点坐标为，
，.
由题意可得，，，
由于点、都在椭圆上，则，
两式作差得，（定值）；
（3）设点，则、，，
直线与直线的倾斜角互补，，
又，且，则，解得.
的面积为且，解得，，即点.
，解得，因此，椭圆的标准方程为.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，考查了点差法的应用，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于难题.
例12．已知直线：与椭圆：交于，两点.
（1）若直线过椭圆的左焦点，求；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据椭圆的方程，求得左焦点，得到直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，以及直线与圆锥曲线的弦长公式，即可求解；
（2）设，，得到线段的垂直平分线方程为，将点 代入椭圆的方程，两式相减整理得，再由，两两方程组，求得中点坐标，即可求解.
【详解】
（1）由题意，椭圆，可得，
则，左焦点，
则直线的方程为，设，，
联立方程，整理得，
所以，且，，
所以.
（2）设，，的中点，
由题知线段的垂直平分线方程为，直线不平行于轴，即，
由，两式相减整理得 ①，
因为是的中点，所以，，
因为，所以，
所以①变形为，解得，所以，
代入直线，可得，解得.
【点睛】
直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
【达标检测】：
A组 基础巩固
1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】:由结论可得：，得，，选D。
2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于
两点,且的中点为,则的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】:由结论可得：，得，，选B。
3．已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A．－ B． C．－2 D．2
【答案】A
【分析】
由于是弦的中点，根据点差法求出弦所在直线的斜率.
【详解】
设以为中点的弦的两个端点分别为，
所以由中点坐标公式可得，
把两点坐标代入椭圆方程得
两式相减可得
所以，即所求的直线的斜率为.
故选A项.
【点睛】
本题考查通过点差法求弦中点所在直线的斜率，属于中档题.
4．已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由点差法化简可得，再由椭圆离心率公式即可得解.
【详解】
设，
则，两式作差得，
又，线段的中点为，
所以，
所以即，
所以该椭圆的离心率为.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是掌握点差法的适用条件及应用.
5．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设椭圆方程为
联立方程：，整理得：,
设，，则，即，化简得：，
又，易得：，
∴此椭圆的方程是
故选C
点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
6．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设这条弦的两端点,则：,用点差法得到：，代入中点坐标，即得解斜率k.
【详解】
设这条弦的两端点，斜率为，
则：
两式相减得：
变形得：，又弦中点为：，故
故这条弦所在得直线方程为：，即
故选：D
【点睛】
本题考查了点差法在弦中点问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
7．已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
由椭圆的离心率可得的关系，得到椭圆方程为，设出的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l的斜率．
【详解】
解：由，得，
∴，则椭圆方程为，
设，
则，
把A，B的坐标代入椭圆方程得：，
①-②得：，
∴．
∴直线l的斜率为．
故选C．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，是中档题．
8．椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设过A点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据A为弦EF的中点，由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和，表示出直线EF方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可．
【详解】
设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），
则有①，②，
①﹣②式可得：
又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，
∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0
即得kEF=
∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．
故选D．
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的掌握．解决直线与椭圆的位置关系,常见方法有：涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
9．过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，可得右焦点的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，求出的中点的坐标，由直线的斜率可得，的关系，再由椭圆中，，的关系求出，的值，进而可得椭圆的方程．
【详解】
解：直线中，令，可得，所以右焦点，，
设，，，，则，的中点，
联立，整理得，
所以，，
所以，
所以，又，，
所以，，
所以椭圆的方程为，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是联立直线和椭圆的方程，然后利用韦达定理求出，，进而根据由两点间的斜率公式得，的关系.
10．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】
设点、，由中点坐标公式可得，所以，
因为，两式作差得，即，
即，所以，，
因此，直线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
11．已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设直线与椭圆交于两点，代入椭圆的方程，结合“平方差”法，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】
设直线与椭圆交于两点，
由，可得．
又，所以，解得．
因此直线的方程为，即。
故选：A．
本题主要考查了直线与椭圆的位置的应用，以及中点弦问题的求解，其中解答中熟记中点弦的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，所以基础题.
12．已知点P(1，2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_____.
【答案】
【分析】
设出直线与椭圆的交点，采用点差法进行分析，由此可求得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程则直线的方程可求.
【详解】
设直线与椭圆交于两点，，
所以，所以，
所以，且，
所以，所以即，
故答案为：.
13．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【详解】
分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明．
（2）先求出点P的坐标，解出m，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
详解：（1）设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设得，故．
（2）由题意得F（1，0）．设，则
．
由（1）及题设得，．
又点P在C上，所以，从而，．
于是．
同理．
所以．
故．
点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m，得到,再有两点间距离公式表示出，考查了学生的计算能力，难度较大．
14．已知椭圆的右焦点为，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上的两动点，M为线段AB的中点，直线AB，OM（O为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k1，k2，试问k1k2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）为定值，此定值为
【分析】
（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）利用点差法求得为定值.
【详解】
由题意得，解得.
所以椭圆的方程为：
设的坐标分别为，点的坐标为，
即
由已知，
所以，
即
则，于是.
所以为定值，此定值为
【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用点差法求解有关中点弦的问题，属于中档题.
15．设椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆的离心率为，的周长为16．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦的中点分别为.证明：三点共线.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为，的周长为16，解得a，b的值，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设，，．利用点差法，可得，，由此可得O，M，N三点共线．
【详解】
（Ⅰ）解：由题意知，，．又，
，，
椭圆E的方程为；
（Ⅱ）证明：当直线AB、CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，
中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；
当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，
且设，，．
则，，相减得，
，即，即，
；
同理可得，
，
所以O，M，N三点共线．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．
16．已知椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点作直线，交椭圆于、两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意求出、，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，由点为线段的中点，可得出，然后利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式方程可得出直线的方程.
【详解】
（1）根据题意，椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．
即，则，，则，因此，椭圆的方程为；
（2）由（1）得椭圆的方程为，设点、，
由于点为线段的中点，则，得.
由于点、在椭圆上，则，两个等式相减得，
即，即，
所以，直线的斜率为.
因此，直线的方程为，即.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用点差法处理中点弦问题，在涉及中点弦的问题时，也可以利用韦达定理来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
17．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，直线和椭圆交于，两点，当直线过椭圆的焦点，且与轴垂直时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在与轴不垂直的直线，使弦的垂直平分线过椭圆的右焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在.
【分析】
（1）列a,b,c的方程组即可求解；（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，由点差法得，得推出矛盾即可
【详解】
（1）由题意:点（c,）在椭圆上，故，∴，，∴椭圆的标准方程为：；
（2）（点差法）：设，，的中点为，椭圆的右焦点为，直线的斜率为，直线的斜率为，则：，∴，∴，，∴，即：，故不存在.
【点睛】
本题考查椭圆方程，点差法应用，遇到“弦中点”问题，注意点差法的应用，是中档题
18．已知椭圆：过点，离心率是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为.求直线与坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
1）运用椭圆的离心率公式和点满足方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）设，，代入椭圆方程，由点差法和中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到中点弦方程，分别求得与x，y轴的交点，可得三角形的面积．
【详解】
（1）由已知，得，，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）设，代入椭圆方程得，两式相减得，
中点坐标公式得，
∴直线方程为
令，，令，
.
【点睛】
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式的运用，考查中点弦方程的求法，注意运用点差法的运用，考查运算能力，属于中档题．


B组 能力提升
19．已知椭圆：的右焦点为，且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边､､的中点分别为､､，且三条边所在直线的斜率分别为､､，且､､均不为0.为坐标原点，若直线､､的斜率之和为1.则（ ）
A． B．-3 C． D．
【答案】A
【分析】
根据椭圆的右焦点为，且离心率为，求出椭圆方程，由三角形的三个顶点都在椭圆上，利用点差法求解.
【详解】
因为椭圆的右焦点为，且离心率为，
所以，解得 ，
所以椭圆方程为：，
设 ，
则，
两式相减得：，
即，
同理，
又直线､､的斜率之和为1，
所以，
故选：A
【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.
【详解】
由题设，则线段的中点为，
由三角形重心的性质知，即，解得：
即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
21．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知得直线恒过定点且为圆的圆心，由可得圆的圆心为、两点中点，设而不求，用点差法计算结果
【详解】
直线：，即
直线恒过定点
直线过圆的圆心
，
的圆心为、两点中点
设，

上下相减可得：
化简可得



故选
【点睛】
本题较为综合，考查了直线与圆锥曲线的交点问题，覆盖的知识点较多：直线恒过定点，向量的几何意义，设而不求，点差法计算，椭圆离心率的求解，有一定难度，需要理解题意，灵活运用解题方法
22．已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值MN为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用点差法可求得坐标，从而得到直线方程；将方程与椭圆联立求得两点坐标，根据两点连线斜率公式求得，由互为相反数知斜率不存在，由此得到点坐标；利用两点间距离公式求得，进而得到结果.
【详解】

设，，，其中
，两式作差整理可得：
解得：
设直线方程为，即
代入椭圆方程整理得：，解得：，
，
， 直线斜率不存在，方程为
，
故选：
【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到点差法的应用、直线与椭圆交点坐标的求解、直线斜率的求解等知识；关键是能够明确当与弦中点有关的问题时，常用点差法来得到中点坐标与斜率之间的关系.
23．已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足，的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是___________.
【答案】或.
【分析】
先利用点差法可求出直线AB的斜率为，即可得出直线方程，代入椭圆方程可求出A，B坐标，设出点P，则可表示出PA，PB中点坐标，代入椭圆方程即可求出点P坐标.
【详解】
设， A，B是椭圆C上两点，
则，两式相减得，
是AB中点，则，即，
故直线AB斜率为，则直线AB方程为，即，
将直线方程代入椭圆得，解得，
则可得，
设，则PA中点为，PB中点为，
，的中点均在椭圆C上，
则，解得或，
的坐标为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查中点弦问题，解题的关键是先利用点差法求出直线斜率，进而求出A,B坐标，再结合题意求解.
24．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【分析】
先求出直线的斜率为，设，，再利用点差法求出直线的斜率为，利用斜率相等可得之间的关系，结合
即可求离心率.
【详解】
由题意知，，
所以直线的斜率为，
设，，则①，②，
①-②得：，
即，
因为是的中点，所以，，
所以，所以，
因为，所以，即，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用点差法设设，，则，，两式相减得，是的中点，所以
，，可得，再计算，
利用结合即可求离心率.
25．设椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题目条件可以求出，的值，然后写出椭圆的方程，联立直线方程与椭圆方程，使求解；
（2）采用点差法求解出斜率，然后写出直线的方程.
【详解】
解：（1）因为离心率，所以，
又因为椭圆的短半轴长，
所以，即椭圆方程为，
联立得，
因为直线与椭圆有公共点，
所以，
即，解得．
（2）设，由在椭圆内，
过点的直线与椭圆有两个交点,
再由椭圆的对称性可确定直线的斜率一定存在.
则，
整理得：
所以斜率，所以直线的方程为．
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系及中点弦问题，难度一般.解答直线与椭圆的位置关系一般需要联立直线方程与曲线方程，根据判断，中点弦问题可以采用点差法求解.
26．椭圆，右焦点为，是斜率为的弦，的中点为，的垂直平分线交椭圆于，两点，的中点为.当时，直线的斜率为（为坐标原点）.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设原点到直线的距离为，求的取值范围；
（3）若直线，直线的斜率满足，判断并证明是否为定值.
【答案】（1）；（2）；（3）是定值，证明过程见解析.
【分析】
（1）先设，，根据题意，得到，两式作差，根据弦中点的坐标，由题意，求出，再根据焦点坐标，得到，两式联立，即可求出结果；
（2）先设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，，
根据韦达定理，求出，得到的方程为：，与椭圆方程联立，设，，
求出，表示出，根据点到直线距离公式，表示出，进而可根据换元法求取值范围；
（3）根据（2）的结果，由，求出，再由弦长公式，分别求出与，进而可得出结果.
【详解】
（1）设，，
由题意，，两式作差，得，
整理得：，
又是斜率为的弦，的中点为，当时，直线的斜率为，
所以，即，即①，
又椭圆右焦点为，所以②，
由①②解得：，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为：，
由消去得，，
设，，
则，所以，
故，
因为是的垂直平分线，所以的方程为：，
即，
由消去得，，
设，，
则，
所以，
即的中点的坐标为，
因此
，
又原点到直线的距离，
所以，
令，则；
（3）由（2）可得：，
所以，
因为直线，直线的斜率满足，
所以，整理得：，所以，
所以，
，
因此.
即取定值.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的方程，椭圆中的范围，以及定值问题，熟记椭圆的标准方程的求法，中点弦问题，椭圆的性质，根据韦达定理，弦长公式等即可求解，难度较大.