陕西省榆林市第一中学分校2021-2022学年九年级上学期第一次了解性测试数学【试卷+答案】

这是一份陕西省榆林市第一中学分校2021-2022学年九年级上学期第一次了解性测试数学【试卷+答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省榆林一中分校九年级第一学期第一次
了解性测试数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+2）2＝1 B．（x+2）2＝7 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝19
2．如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若OE＝3，BC＝8，则OB的长为（　　）

A．4 B．5 C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，E点是对角线BD上的一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝56°，则∠CEF的度数为（　　）

A．30° B．79° C．22° D．81°
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
5．某100元的商品连续两次降价后价格下降了36%，则平均每次降价的百分数为（　　）
A．10% B．20% C．30% D．40%
6．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，求两次摸到黄球的概率是（　　）
A． B．. C．. D．.
7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC、EF∥AB，若AD：DB＝3：5，则CF：CB等于（　　）

A．2：5 B．3：8 C．3：5 D．5：8
8．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2
9．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE+PD的最小值是（　　）

A．4 B．4.5 C．5.5 D．5
10．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（　　）

A． B．4 C．4.5 D．5
二、填空题。（每小题3分，共18分）
11．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0一个根为0，则m＝　 　．
12．设x1，x2是方程x2+2x+1＝4的两个实数根，则（x1+1）（x2+1）的值是 　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为　 　．

14．一个口袋中有若干个白球和8个黑球（除颜色外其余都相同），从口袋中随机摸出1球，记下其颜色，再把它放回，不断重复上述过程，共摸了200次，其中有57次摸到黑球，则据此估计口袋中大约有　 　个白球．
15．已知三条线段长为1，2，，请你添上一条线段使它们构成一组成比例线段，则这条线段是 　 　．（只填一个）
16．点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足 　 　条件时，四边形EFGH是正方形．

三、解答题（共72分）
17．解方程：
①2x2﹣4x﹣1＝0
②x2+x﹣1﹣0
③已知直角三角形的周长为24，斜边上的中线长为5，求这个直角三角形的面积．
18．有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x+1，x，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张、第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母．

（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；
（2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．
19．某商店如果将进价8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品的售价每涨1元，那么每天的进货量就会减少20件，要想每天获得640元的利润，则每件商品的售价定为多少元最为合适？
20．某农户建一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19米，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成；篱笆总长34米，长方形养鸡场除门外四周不留空隙．
（1）若要围成的鸡场面积为160平方米，则养鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成养鸡场的面积能否达到180平方米？请说明理由．

21．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
求证：AM⊥DF．

22．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点C恰好落在AB边上的C′处，∠EFC＝60°，若BE＝3，AE＝8，求矩形ABCD的面积是多少？

23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A的直线MN∥BC，点E为BC边上一点，过点E作DE⊥AC，交直线MN于点D，垂足为F．连接AE．
（1）求证：BE＝AD；
（2）当点E在BC的中点时，四边形AECD是什么特殊的四边形？说明理由．
（3）若点E为BC的中点，当∠B满足什么条件时，四边形AECD是正方形？说明理由．

25．在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一个动点，求PM﹣PN的最大值．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+2）2＝1 B．（x+2）2＝7 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝19
【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可．
解：x2+4x＝3，
x2+4x+4＝7，
（x+2）2＝7．
故选：B．
2．如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若OE＝3，BC＝8，则OB的长为（　　）

A．4 B．5 C． D．
【分析】由平行线分线段成比例可得CD＝6，由勾股定理可得AC＝10，由直角三角形的性质可得OB的长．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD，AD＝BC＝8，
∵OE∥AB
∴OE∥CD
∴，且AO＝AC，OE＝3
∴CD＝6，
在Rt△ADC中，AC＝＝10
∵点O是斜边AC上的中点，
∴BO＝AC＝5
故选：B．
3．如图，在正方形ABCD中，E点是对角线BD上的一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE＝56°，则∠CEF的度数为（　　）

A．30° B．79° C．22° D．81°
【分析】利用正方形的性质证明△ADE≌△CDE，得到∠DAE＝∠DCE，根据三角形外角定理即可解答．
解：∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故选：C．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．
解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，
解得：c＝4．
故选：A．
5．某100元的商品连续两次降价后价格下降了36%，则平均每次降价的百分数为（　　）
A．10% B．20% C．30% D．40%
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：100（1﹣x）2＝100×（1﹣36%），
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
故选：B．
6．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，求两次摸到黄球的概率是（　　）
A． B．. C．. D．.
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸到黄球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，两次摸到黄球的结果有4种，
∴两次摸到黄球的概率为，
故选：A．
7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC、EF∥AB，若AD：DB＝3：5，则CF：CB等于（　　）

A．2：5 B．3：8 C．3：5 D．5：8
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到＝＝，利用比例的性质得＝，再根据平行线平线段成比例定理，由EF∥AB即可得到＝＝．
解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴＝＝．
故选：D．
8．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2
【分析】讨论：当a+b+c＝0，即a+b＝﹣c，利用分式的性质和得到k＝﹣1；当a+b+c≠0时，利用等比性质得到k＝，然后约分得到k的值．
解：当a+b+c＝0，即a+b＝﹣c，
所以k＝＝＝﹣1；
当a+b+c≠0时，
所以k＝＝＝2，
综上所述，k的值为﹣1或2．
故选：D．
9．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE+PD的最小值是（　　）

A．4 B．4.5 C．5.5 D．5
【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．
解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，
则BE的长即为DP+PE的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CE＝CD﹣DE＝4﹣1＝3，
在Rt△BCE中，
BE2＝CE2+BC2＝25，
∵BE＞0，
∴BE＝5，
即DP+PE的最小值为5，
故选：D．
10．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（　　）

A． B．4 C．4.5 D．5
【分析】设FC′＝x，则FD＝9﹣x，根据矩形的性质结合BC＝6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，
∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，
∴AD＝BC＝6，C′D＝3．
在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，
∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，
解得：x＝5．
故选：D．
二、填空题。（每小题3分，共18分）
11．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0一个根为0，则m＝　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x＝0代入一元二次方程即可得．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0一个根为0，
∴m﹣1≠0，且m2﹣1＝0，
解之得，m＝﹣1，
故答案为﹣1．
12．设x1，x2是方程x2+2x+1＝4的两个实数根，则（x1+1）（x2+1）的值是 　﹣5　．
【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出x1+x2＝4，x1•x2＝﹣6，将其代入（x1+1）（x2+1）＝（x1+x2）+x1•x2中，即可求出结论．
解：∵x1，x2是方程x2+2x+1＝4的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，
∴（x1+1）（x2+1）＝（x1+x2）+x1•x2＝﹣2﹣3＝﹣5．
故答案为：﹣5．
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为　　．

【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE＝AC•BD可得答案．
解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴B0＝＝4，
∴DB＝8，
∴菱形ABCD的面积是×AC•DB＝×6×8＝24，
∴BC•AE＝24，
AE＝，
故答案为：
14．一个口袋中有若干个白球和8个黑球（除颜色外其余都相同），从口袋中随机摸出1球，记下其颜色，再把它放回，不断重复上述过程，共摸了200次，其中有57次摸到黑球，则据此估计口袋中大约有　20　个白球．
【分析】设口袋中白球有x个，摸到黑球的频率为建立关于x的方程，解之可得答案．
解：设口袋中白球有x个，
根据题意，得：＝，
解得x≈20，
经检验x＝20是分式方程的解，
所以口袋中白球大约有20个，
故答案为：20．
15．已知三条线段长为1，2，，请你添上一条线段使它们构成一组成比例线段，则这条线段是 　2（答案不唯一）　．（只填一个）
【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
解：根据比例线段的概念：要求第四个数，只需让其中的任何两个数相乘，再除以第三个数，即可求得第四个数．
即是1×2÷＝，或1×÷2＝，或2×÷1＝2．
所以所求的线段的长度为：或或2．
故答案为：2（答案不唯一）．
16．点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足 　对角线垂直且相等　条件时，四边形EFGH是正方形．

【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BD，EF＝BD，EGH∥BD，GH＝BD，EH＝AC，进而证明四边形EFGH为平行四边形，再根据正方形的判定定理解答即可．
解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，EGH∥BD，GH＝BD，EH＝AC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC＝BD时，EF＝EH，
∴平行四边形EFGH为菱形，
当AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴菱形EFGH为正方形，
∴当四边形ABCD的对角线垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，
故答案为：对角线垂直且相等．
三、解答题（共72分）
17．解方程：
①2x2﹣4x﹣1＝0
②x2+x﹣1﹣0
③已知直角三角形的周长为24，斜边上的中线长为5，求这个直角三角形的面积．
【分析】①利用配方法求解即可；
②利用配方法求解即可；
③根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长度，然后设一直角边为x，再表示出另一直角边，利用勾股定理列式求出x，再根据直角三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：①2x2﹣4x﹣1＝0，
2x2﹣4x＝1，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
②x2+x﹣1＝0，
x2+x＝1，
x2+x+＝1+，即（x+）2＝，
∴x+＝±，
∴x1＝，x2＝；
③∵直角三角形的斜边上的中线长为5，
∴斜边＝2×5＝10．
设一直角边为x，则另一直角边为24﹣10﹣x＝14﹣x，
根据勾股定理得，x2+（14﹣x）2＝102，
整理得，x2﹣14x+48＝0，
解得x1＝6，x2＝8，
∵14﹣6＝8，14﹣8＝6，
∴两直角边分别为6、8，
则该三角形的面积＝×6×8＝24．
18．有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x+1，x，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张、第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母．

（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；
（2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．
【分析】（1）列举出不放回的2次实验的所有情况即可；
（2）看抽取的两张卡片结果能组成分式的情况占总情况的多少即可．
解：
（1）树状图：

列表法：

（2）共有6种情况，能组成的分式的有，，，4种情况，所以P分式＝．
19．某商店如果将进价8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品的售价每涨1元，那么每天的进货量就会减少20件，要想每天获得640元的利润，则每件商品的售价定为多少元最为合适？
【分析】设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣8）元，每天的进货量为200﹣20（x﹣10）＝（400﹣20x）件，利用每天销售这种商品的利润＝每件的销售利润×日销售量（日进货量），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润”，即可得出每件商品的售价定为16元最为合适．
解：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣8）元，每天的进货量为200﹣20（x﹣10）＝（400﹣20x）件，
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
又∵现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，
∴x＝16．
答：每件商品的售价定为16元最为合适．
20．某农户建一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19米，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成；篱笆总长34米，长方形养鸡场除门外四周不留空隙．
（1）若要围成的鸡场面积为160平方米，则养鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成养鸡场的面积能否达到180平方米？请说明理由．

【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米，根据养鸡场的面积为160平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合墙长19米，即可确定养鸡场的长和宽；
（2）不能，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2y）米，根据养鸡场的面积为180平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣36＜0，即可得出该方程无实数根，即围成养鸡场的面积不能达到180平方米．
解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米，
依题意得：x（34+2﹣2x）＝160，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝8，x2＝10．
当x＝8时，34+2﹣2x＝34+2﹣2×8＝20＞19，不合题意，舍去；
当x＝10时，34+2﹣2x＝34+2﹣2×10＝16＜19，符合题意．
答：养鸡场的长为16米，宽为10米．
（2）不能，理由如下：
设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2y）米，
依题意得：y（34+2﹣2y）＝180，
整理得：y2﹣18y+90＝0．
∵△＝（﹣18）2﹣4×1×90＝﹣36＜0，
∴该方程无实数根，
即围成养鸡场的面积不能达到180平方米．
21．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
求证：AM⊥DF．

【分析】根据DE＝CF，可得出OE＝OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝DO，
又∵DE＝CF，
∴OD﹣DE＝OC﹣CF，即OF＝OE，
在△AOE和△DOF中，，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴∠OAE＝∠ODF，
∵∠OAE+∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM＝90°，
即可得AM⊥DF．

22．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点C恰好落在AB边上的C′处，∠EFC＝60°，若BE＝3，AE＝8，求矩形ABCD的面积是多少？

【分析】由矩形的性质得∴∠B＝90°，AB∥CD，则∠C'EF＝∠EFC＝60°，再由翻折的性质得∠EFC'＝∠EFC＝60°，B'C'＝BC，∠B'＝∠B＝90°，B'E＝BE＝3，然后由含30°角的直角三角形的性质得C'E＝2B'E＝6，则BC＝B'C'＝3，最后求出AB的长，即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB∥CD，
∴∠C'EF＝∠EFC＝60°，
由翻折的性质得：∠EFC'＝∠EFC＝60°，B'C'＝BC，∠B'＝∠B＝90°，B'E＝BE＝3，
∵B'E∥C'F，
∴∠B'EF+∠EFC＝180°，
∴∠B'EF＝120°，
∴∠B'EC'＝60°，
∴∠B'C'E＝30°，
∴C'E＝2B'E＝6，
∴B'C'＝＝＝3，
∴BC＝3，
∵BE＝3，AE＝8，
∴AB＝BE+AE＝11，
∴S矩形ABCD＝AB×BC＝11×3＝33．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22＝6x1x2求解即可．
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2＝2，x1•x2＝m﹣1，x12+x22＝6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝6x1•x2，
即4＝8（m﹣1），
解得：m＝．
∵m＝＜2，
∴符合条件的m的值为．
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A的直线MN∥BC，点E为BC边上一点，过点E作DE⊥AC，交直线MN于点D，垂足为F．连接AE．
（1）求证：BE＝AD；
（2）当点E在BC的中点时，四边形AECD是什么特殊的四边形？说明理由．
（3）若点E为BC的中点，当∠B满足什么条件时，四边形AECD是正方形？说明理由．

【分析】（1）证出MN∥BC，得出四边形ADEB是平行四边形，即可得出结论；
（2）先证明AECD是平行四边形，由斜边中线得到AE＝EC，可证明AECD是菱形；
（3）当△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出AE⊥BC，即可得出四边形AECD是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，
∴∠EFC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠EFC，
∴AB∥DE，
∵MN∥BC，
∴BE∥AD，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∴BE＝AD；
（2）结论：四边形AECD是菱形．
理由：当点E在BC的中点时，
∴CD＝DB＝AD＝CE，
又∵CE∥DB，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵CD＝DB，
∴四边形AECD是菱形．
（3）解：当∠B＝45°时，四边形AECD是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECD是正方形；
故答案为：45°．

25．在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一个动点，求PM﹣PN的最大值．

【分析】作N点关于BD的对称点N'，连接MN'交BD于点P，过点M作MG⊥AC交于点G，当M、N、P三点共线时，MP﹣NP的值最大，求出MN'即为所求．
解：作N点关于BD的对称点N'，连接MN'交BD于点P，过点M作MG⊥AC交于点G，
∵NP＝N'P，
∴MP﹣NP＝MP﹣N'P≤MN'，
当M、N、P三点共线时，MP﹣NP的值最大，
∵BC＝8，BM＝6，
∴CM＝2，AC＝8，
∵N是AO的中点，
∴AN＝2，
∴CN'＝2，
在Rt△MCG中，∠GCM＝45°，
∴CG＝MG＝，
∴N'G＝，
在Rt△MN'G中，MN'＝2，
∴MP﹣NP的值最大为2．