人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教案配套ppt课件

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【情境探究】问题1.若a,b∈R,则代数式a2+b2与2ab的关系如何?提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以对∀a,b∈R,a2+b2≥2ab.问题2.上述结论中,“=”何时成立?提示:对于(a-b)2,当a=b时,(a-b)2=0,所以当a=b时,a2+b2=2ab,等号成立.问题3.若a>0,b>0,把a看作( )2,把b看作( )2,那么a+b与2 的关系如何?提示:a+b-2 =( )2+( )2-2 =( - )2≥0,所以a+b≥2 .
问题4.问题3的结论中,等号成立的条件是什么?提示:对于( - )2≥0,当 = ,即a=b时,等号成立,此时a+b=2 .
【知识生成】1.重要不等式当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当____时,等号成立.2.基本不等式(1)有关概念:当a,b均为正数时,把_____称为正数a,b的算术平均数,把 称为正数a,b的几何平均数.(2)基本不等式:如果a,b是正数,那么 ≤ ,当且仅当____时取“=”.(3)变形:ab≤ ,a+b≥2 (其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立).
3.最值:设x,y为正实数(1)若x+y=s(和s为定值),则当____时,积xy有最___值,且这个值为____.(2)若xy=p(积p为定值),则当____时,和x+y有最___值,且这个值为____.4.利用基本不等式求最值的基本条件:一___,二___,三_____.
探究点一　对基本不等式的理解【典例1】下列结论正确的是(　　)A.若x∈R,且x≠0,则 +x≥4B.当x>0时, ≥2C.当x≥2时,x+ 的最小值为2D.当0【解析】选B.对于选项A,当x<0时, +x≥4显然不成立;对于选项B,符合应用基本不等式的三个基本条件“一正,二定,三相等”;对于选项C,忽视了验证等号成立的条件,即x= ,则x=±1,均不满足x≥2;对于选项D,x- 在0　【类题通法】应用基本不等式时的三个关注点
【定向训练】给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使 ≥2成立的条件有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.当 均为正数时, ≥2,故只需a,b同号即可,所以①③④均可以.
探究点二　基本不等式的简单应用【典例2】(1)已知m=a+ (a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是________. (2)若0【解析】(1)因为a>2,所以a-2>0,又因为m=a+ =(a-2)+ +2,所以m≥2 +2=4,由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2-b2<4,综上可知m>n.答案:m>n
(2)因为02 ,a2+b2>2ab,所以四个数中最大的数应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).又因为0【类题通法】利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质(单调性).(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0.
【定向训练】已知a,b,c都是非负实数,试比较 与 (a+b+c)的大小.【解析】因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,所以 (a+b),同理 (b+c), (c+a),所以 [(a+b)+(b+c)+(c+a)],即 (a+b+c),当且仅当a=b=c时,等号成立.
探究点三　利用基本不等式证明不等式【典例3】已知a,b,c均为正实数.求证: 【思维导引】对不等式左边变形,使其能利用基本不等式.
【证明】因为a,b,c均为正实数,所以 ≥2(当且仅当a=2b时等号成立), ≥2(当且仅当a=3c时等号成立), ≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),将上述三式相加得 (当且仅当a=2b=3c时等号成立), 所以 ≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立),即 (当且仅当a=2b=3c时等号成立).
【类题通法】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步地逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向 “未知”.(2)注意事项:①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用.
【定向训练】已知a,b,c为正数,求证:
【证明】左边=因为a,b,c为正数,所以 ≥2(当且仅当a=b时取“=”); ≥2(当且仅当a=c时取“=”); ≥2(当且仅当b=c时取“=”).从而 (当且仅当a=b=c时取等号).
所以 即 (当且仅当a=b=c时取等号).
1.下列不等式中,正确的是(　　)A.a+ ≥8B.a2+b2≥4abC. D. 【解析】选D.若a<0,则a+ ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,若a=4,b=16,则 ,故C错;由基本不等式可知D项正确.
2.若a>0,b>0,a+2b=5,则ab的最大值为(　　)【解析】选D.a>0,b>0,a+2b=5,则ab= a·2b≤ 当且仅当a= ,b= 时取等号.
3.若a>1,则a+ 的最小值是(　　)A.2B.aC. D.3【解析】选D.因为a>1,所以a-1>0,所以a+ =a-1+ +1≥ +1=3.当且仅当a-1= 即a=2时取等号.
4.已知x,y为正实数,且x+y=4,求 的最小值.【解析】因为x,y为正实数,所以(x+y) =4+ ≥4+2 .当且仅当 即x=2( -1),y=2(3- )时取“=”.又x+y=4,所以 的最小值为1+ .
5.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证: >8.【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,得 >8.