2021年上海市杨浦高三一模数学试卷及答案

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     杨浦区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研               数学学科试卷评分标准             一、    填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1． ；       2． ；        3．  ；          4.  ；  5.  6；         6.    ；     7.    ；    8. ；9.  ；        10. ；         11. 18；            12.  3 二、    选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分） B；        14. C；          15. A；           16. A 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：(1)证明: 点分别是棱的中点,   （2分）             （4分）四点共面.       （6分）(2)解:  作, 垂足为F    （8分） 平面, 平面, 直线直线直线且与相交于直线平面   （10分）即为直线与平面所成的角.（12分）在直角中, , ,直线与平面所成的角为.   （14分） 18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）(1)    解: 由题意      （2分）检验：     对任意都有   （5分）是奇函数 .    （6分）(2)解: , 整理得,（8分）A是三角形的内角      （10分）由余弦定理, 即整理得,  解得或      （12分）,或.     （14分） 19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）时设：   代入得    （2分）           （3分）时            （5分）        （6分）（2）如图，设仰角为，俯角为      仰角最小为     （8分）        （10分）        （12分）俯角最小为   （13分）  最小为         （14分） 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）(1)解: ,            （1分）, , , 解得  （3分）即椭圆的方程为.          （4分）(2)解: 椭圆的方程为, 由题意    （6分）设, 由线段的中点在y轴上,   代入椭圆方程得, 即     （8分）.   （10分）(3)证明: 由题意, 设点P的坐标为,直线：, 与椭圆方程联立 消去得：           （12分）由韦达定理得      即;    同理 ;                               （14分）当, 即   即  时, 直线的方程为;               （15分）当时, 直线：   化简得, 恒过点;            （16分）综上所述, 直线恒过点.        （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）(1)    解: , , 公比为    （2分）由解得, 数列的通项公式为.                （4分）(2)    证明: 反证法，设存在 则, 此时 公比   （6分）, 考虑不等式   （8分）当时, 即时,有(其中表示不超过x的最大整数),这与的值域为矛盾       （10分） 假设不成立 ，得证(3)解: ,                          由等差数列性质  （11分）即,特别地, , （12分）现考虑的最大值为使取最大值, 应有,否则在中将替换为, 且, 将得到一个更大的       （14分）由可知, 特别地, ;于是    （16分）解得, 所以的最大值为8.       （18分）