初中数学人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积教案

课 题

   圆锥的侧面积

课型

新授

周次

序号

60

教学

目标

 (一)教学知识点

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

(二)能力训练要求

1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．

2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．

教学

重点

  1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．

2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．

教学

难点

 经历探索圆锥侧面积计算公式．

教学资源准备

教

学

流

程

教

学

流

程

   Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？

[主]见过，如漏斗、蒙古包．

[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．

[生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．

[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．

Ⅲ．新课讲解

一、探索圆锥的侧面展开图的形状

[师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状．

[生]圆锥的侧面展开图是扇形．

[师]能说说理由吗？

[生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是扇形．

[师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？

[生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型．

[师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？

[生]是扇形．

[师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象．

二、探索圆锥的侧面积公式

[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．

圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全＝πr2＋πrl．

三、利用圆锥的侧面积公式进行计算．

某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2

分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．

解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝

l＝≈22.03cm，

S圆锥侧＝πrl≈×58×22.03＝638.87cm2．

638.87×20＝12777.4cm2．

所以，至少需要12777.4cm2的纸．

分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S侧＝πR2或S侧＝πrl可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆，在Rt△ABC中，由OC、AB＝BC、AC可求出r，问题就解决了．

解：在Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，

∴BC＝12cm．

∵OC·AB＝BC·AC，

∴r＝OC＝．

∴S表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)

＝π cm2．

Ⅲ．课堂练习

随堂练习

Ⅳ．课时小结

本节课学习了如下内容：

探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．

Ⅴ．课后作业

习题3．

札记

板书

设计

教学

反思

课 题

     回顾与思考

课型

新授

周次

序号

61

教学

目标

   (一)教学知识点

1．探索圆及其相关结论．

2．掌握并理解垂径定理．

3．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．

(二)能力训练要求

1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．

2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系.

教学

重点

  掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．

教学

难点

  上面这些内容的推导及应用．

教学资源准备

教

学

流

程

教

学

流

程

  Ⅰ．回顾本章内容

[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？

[生]学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积．

[师]本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆引出了圆的概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性方面又学习了垂径定理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，其中包括切线的性质与判定，切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系．这三部分构成了全章内容，结构如下：(投影片A)

Ⅱ．具体内容巩固

[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾．

一、圆的有关概念及性质

[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．

[师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？

[生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径．把车厢装在过轮子中心的车轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳．如果车轮不是圆形，坐在车上的人会觉得非常颠．

二、垂径定理及其逆定理

[生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

[师]这两个定理大家一定要弄清楚、每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧(有两对弧相等)．在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦(不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧(也有两对弧相等)．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理．下面我们就用一些具体例子来区别它们．

[师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？

[生]在第1题中，OD、OE都是过圆心的，又OD⊥AB、OE⊥AC，所以已知条件是直径垂直于弦，应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦(不是直径)的直径，应用逆定理．

[师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？

[生]1．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，

∴四边形ADOE是矩形．

∵AC＝AB，∴AE＝AD．

∴四边形ADOE是正方形．

2．解：∵C为AB的中点，

∴OC⊥AB，

在Rt△OAC中，AC＝AB＝25mm，OA＝50mm．

∴由勾股定理得OC＝(mm)．

三、圆心角、弧、弦之间关系定理

[师]大家先回忆一下本部分内容．

[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

[师]出示练习题

1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长

四、圆心角与圆周角的关系

[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积

[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用．

[生]弧长公式l＝，π是圆心角，R为半径．

扇形面积公式S＝或S＝lR．n为圆心角，R为扇形的半径，l为扇形弧长．

圆锥的侧面积S侧＝πrl，其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径．

S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2．

Ⅲ．课时小结

本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．

Ⅳ．课后作业

札记

板书

设计

教学

反思