2019-2020学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末教学质量检测数学试题 pdf版

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2019-2020学年第一学期期末教学质量监测高二数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题，每小题5分,共60分. 题号123456789101112答案CDDCB BCBADBA 部分小题解答8. 解:由，得 ，所以，即，  所以（舍去）．依题意得，即，所以．  所以．故选B．9. 解:若是等比数列，则是与的等比中项，所以原命题是真命题，从而，逆否命题是真命题；反之，若，则当时，，所以是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题．故选A．10. 解:双曲线的渐近线方程为，无妨设，因为，，所以得，所以的面积为．故选D．11. 解:设，则，所以，当且仅当，即时，取“=”号，所以当时，最小．故选B．12. 解:取中点，易证：.如上图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得.设，则 .设平面的法向量.由得，可取，所以，解得（舍去），，所以．故选A． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.     13.       14.        15.          16. 14. 解:因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数，所以座位数构成等差数列.因为，所以.15. 解法一: 如图,因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.因为，，所以.因为，所以即，所以. 解法二：如图，易得点，代入，得，解得. 16. 解析: 因为，所以，所以. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求的最大值及对应的大小．17. 解：（1）设的公差为，且．由，得，                          ……………1分 由，得，                          ……………2分于是．                                  ……………4分所以的通项公式为 ．         ……………5分（2）由（1）得                ……………6分                          ……………7分                     ……………8分因为，所以当或时,                               ……………9分有最大值为．                                  ……………10分  18. (本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点，抛物线的焦点为，准线为．（1）求抛物线的方程；（2）过且斜率为的直线与抛物线相交于两点、，过、分别作准线的垂线，垂足分别为、，求四边形的面积． 18. 解：（1）根据题意，设抛物线为，           ……………1分因为点在抛物线上，所以，即．       ……………2分所以抛物线C的方程为．                             ……………3分（2）由（1）可得焦点，准线为．             ……………4分不妨设，过且斜率为的直线的方程为．            ……………5分由   得，                    ……………6分所以，．代入，得，．所以， …………………………………………………7分． ……………………………………………………8分(注：A、B两点，算对一个得1分)所以，  …………………………………………9分， ………………………………………………10分． …………………………………………11分(注：上面三条线段，算对一个得1分)因为四边形是直角梯形，所以四边形的面积为．……………………………………12分19. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面是菱形，．（1）证明：平面平面；（2）若，，，求二面角的余弦值．    19. 解：（1）证明：记，连接．因为底面是菱形，所以，是的中点．   ……………………………………1分因为，所以．     …………………………………………2分因为，所以平面．    ………………………………………………………3分因为，所以平面平面．    ……………………4分（2）因为底面是菱形，，，所以是等边三角形，即．因为，所以．     ……………………………………5分又，，所以，即．       ………………………………………………………………6分方法一：因为是的中点，所以，因为，所以，所以和都是等腰三角形．    ………………………………………7分取中点，连接，则，且，所以是二面角的平面角．  ……………………………………8分因为，且，所以．…………………………………………………………9分因为，     ，    ……………………………………………………………10分所以．  …………………………………11分所以二面角的余弦值为．     ……………………………………12分方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，………………………………………………………7分则，，，，……………………7分所以，，．……………………8分设平面的法向量为由，得，令，得．                       ……………9分同理，可求平面的法向量．         ……………10分所以  …………11分．                 ………………………………12分所以，二面角的余弦值为．   ………………………………12分20.（本小题满分12分）数列的前项和为，且()，数列满足，．（1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列；（3）设数列满足，其前项和为，证明：．20. 解：（1）当时，．         ………………………………………1分当时，=． …………………………2分检验，当时符合．            …………………………3分所以．            ………………………………………4分（2）当时，，    ……………5分而，所以数列是等比数列，且首项为，公比为．………6分（3）由（1）（2）得 = ，，              …………………………7分所以             ①   ②由①②得，…………8分      ………………………………9分 ，                     ………………………………10分所以．                  ………………………………11分因为，所以 ．         ………………………………12分 21.（本小题满分12分）如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设过点的直线与曲线相交于，两点（点在，两点之间）．是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由． 21. 解：（1）因为圆的方程为，所以，半径．                    ………………………………1分因为是线段的垂直平分线，所以．所以．     ………………………………2分因为，所以点Q的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆．………3分因为，， ………………………………………………4分所以曲线的方程为．    ……………………………………………5分（2）存在直线使得．   ……………………………………………6分方法一：因为点在曲线外，直线与曲线相交，所以直线的斜率存在，设直线的方程为．  ……………………7分设，由 得．  …………………8分则，                    ① ，                    ②            ……………………9分由题意知，解得．因为，所以，即．  ③             ……………………10分把③代入①得 ，        ④把④代入②得，得，满足． …………………11分    所以直线的方程为：或． …………………12分方法二：因为当直线的斜率为0时，，此时．                      ……………………………………7分因此设直线的方程为：． 设，由  得 ． ……………………………8分由题意知，解得或 ，则，            ①   ，              ②                   …………………9分因为，所以． ③                   …………………10分把③代入①得，        ④把④代入②得， ，满足或．  …………………11分所以直线的方程为或．   …………………12分  22. (本小题满分12分)已知函数．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）设，若不等式对都成立，求实数的取值范围；（3）若且时，求函数的零点．22. 解：（1）因为不等式的解集为，所以为方程的两个根，由根与系数的关系得 ，即，．………………………………………2分    （2）当时，，因为不等式对都成立，所以不等式对任意实数都成立．令，所以．                             …………………………3分当时，，                        …………………………4分所以，即，得或，所以实数的取值范围为．          …………………………5分（3）当时，，函数的图像是开口向上且对称轴为的抛物线，．①当，即时，恒成立，函数无零点． …………6分②当，即或时，（i）当时，，此时函数无零点． ……………7分（ii）当时，，此时函数有零点． ……………8分③当，即或时，令，得，．                           ………………………………………9分（i）当时，得，此时，所以当时，函数无零点．    ………………………………………10分（ii）当时，得 ，此时，所以当时，函数有两个零点：． ……………………………11分综上所述：当，时，函数无零点；当，时，函数有一个零点为；当，时，函数有两个零点：．             ……………………………12分