2022届江苏省泰州中学高三上学期期初检测数学试题含解析

2021-2022学年度江苏省泰州中学第一学期期初检测

高三数学 

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集为R,集合,,则(　　)

A.                       B.

C.             D.

【答案】C

【解答】解：∵≤1＝，    ∴x≥0，    ∴A＝{x|x≥0}；

又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，     ∴2≤x≤4．

∴B＝{x|2≤x≤4}，

∴∁RB＝{x|x＜2或x＞4}，

∴A∩∁RB＝{x|0≤x＜2或x＞4}，

故选：C．

2.下列关于的关系中为函数的是（   ）

A.   B.    

C.       D.

【答案】D

【解析】对于A，定义域需满足即，不能满足函数的定义，故B不是函数；对于C，不能满足函数的定义，故C不是函数；对于D，满足构成函数的要素，故D是函数，故选D.

3. “”是“对任意的正数，”的(　　)

A．充分不必要条件              B．必要不充分条件

C．充要条件            D．既不充分也不必要条件

【答案】A

解：当“a＝”时，由基本不等式可得：

“对任意的正数x，2x+”一定成立，

即“a＝”⇒“对任意的正数x，2x+”为真命题；

而“对任意的正数x，2x+的”时，可得“a≥”

即“对任意的正数x，2x+”⇒“a＝”为假命题；

故“a＝”是“对任意的正数x，2x+的”充分不必要条件

故选：A．

4.《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（    ）

A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布

【答案】D

解：设该女子第天织尺布，前天工织布尺， 

则数列为等差数列，设其公差为，

由题意可得，解得.

故选：D.

5．设，则的大小关系是(　　)

A.                       B.     

C.                       D.

【答案】A

解：a＝＝＜1，

b＝＞1，

c＝＝＜1；

且0＜＜＜1，函数y＝在（0，+∞）上是单调增函数，

所以＜，

所以c＜a；

综上知，c＜a＜b．

故选：A．

6.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)     B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)

C．(－2，4)                 D．(－4，2)

【答案】D

解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y＝(x＋2y)＝＋＋4≥2＋4＝4＋4＝8，当且仅当x＝4，y＝2时，等号成立．∵x＋2y＞m2＋2m恒成立，∴m2＋2m＜8，解得－4＜m＜2，故选D.

7.已知函数若关于的方程，无实根，则实数的取值范围为(　　)

A.          B.(－1，0)

C.            D．(0，1)

【答案】B

解：因为函数f（x）＝，

关于x的方程f（x）＝x+a无实根等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+a无交点，

设直线y＝x+a与f（x）＝（x＞0）切与点P（x0，y0），

由f′（x）＝，

由已知有：，解得x0＝1，则P（1，0），

则切线方程为：y＝x﹣1，

由图知：函数y＝f（x）的图象与直线y＝x+a无交点时实数a的取值范围为实数a的取值范围为﹣1＜a＜0，

故选：B．

8.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足

，若,则的值为（      ）

A.           B.        C.      D.

【答案】C

解：如图所示，建立直角坐标系．

AC＝3，AB＝4

∵∠CAB＝，∴|OA|＝，|OC|＝，

∴A（﹣，0），C（0，），B（，0）．

∵，∴＝＝（，0），

∴＝+（，0）＝（，0）， ∴＝（，﹣）．

设＝λ+（1﹣λ）＝λ+（1﹣λ）×，

与＝m+比较，可得：m＝λ，＝，  解得m＝．

∴＝+＝（，）+（4，0）＝（，），

∴＝×﹣×＝．

故选：C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．若复数满足，则（   ）

A.          B.是纯虚数

C.复数在复平面内对应的点在第三象限  

D.若复数在复平面内对应的点在角的终边上，

【答案】AB

【解析】由题意，复数满足，所以故选项A正确；是纯虚数，故选项B正确；复数在复平面内对应点的坐标为（2，4）位于第一象限，故选项C错误；因为在复平面内对应的（2，4）在角的终边上，所以故选项D错误，故选AB.

10．已知集合，，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则                   B．若，则

C．若，则或           D．若时，则或

【答案】ABC

解析：，若，则，且，故A正确，

时．故D不正确．

若，则且，

解得，故B正确，

当时，，解得或，故C正确．

11.已知是等差数列的前项和，，设，则数列的前项和为，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．时，取得最大值

【答案】ABC

【详解】设等差数列的公差为，

因为，

可得，，，

即，，即，

所以，且，

即数列递减，且，，…，，，

又由，可得，

当时，可得，

当时，可得，

当时，可得，

当时，可得，

又由，

因为，且，

所以，

所以当时，取得最小值.综上可得，D不正确.

12.设函数，其中表示中的最小者.下列说法正确的有 

A.函数为偶函数

B.当时,有

C.当时,

D.当时,

【答案】ABC

解：在同一直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|，y＝x2，y＝|x+2|的图象如右图所示，

由图象可知：f（x）＝，

显然有f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数；故A正确；

又当x≥1时，f（x）＝|x﹣2|，f（x﹣2）的图象可看作f（x）的图象右移2个单位得到，显然x≥1时，f（x）的图象在f（x﹣2）图象之上，

∴当x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x），故B正确；

又由图象可知：若x∈R时，f（x）≥0，可令t＝f（x），

由y＝f（t）和y＝t（t≥0）的图象可知：当t≥0时，y＝t在曲线y＝f（t）的上方，∴当t≥0时，有t≥f（t），

即有f（f（x））≤f（x）成立，故C正确；

若x∈[﹣4，4]，f（﹣4）＝2，f（﹣4）﹣2＝0，显然f（﹣4）＞|f（﹣4）﹣2|，故D不正确，

故选：ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知平面向量，，且，则实数的值为_________.

【答案】 

14.若数列的通项公式是，则等于        .

【答案】30 

【详解】

由题意，数列的通项公式是，

则，

所以．

15.若函数__________.   

【答案】2

解：当x＞0时，由f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），可得f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），

两式相加得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），则f（x+3）＝﹣f（x），

∴当x＞0时，f（x+6）＝﹣f（x+3）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），

即x＞0时，f（x）是周期为6的周期函数，

又f（x）＝，

∴f（2021）＝f（5）＝﹣f（2）＝f（﹣1）=2，

故答案为：2

16．在数列中，，，则______，对所有恒成立，则的取值范围是______.

【答案】    .   

【详解】

解：由于，

所以当时，有，

两式相减可得，即当时，，当时，求得，即也符合该递推关系，所以.

由于，令，

由于，当时，，当单调递增，当单调递减，所以，故数列最大项为，

即.

故答案为：；.

四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的值．

【详解】（1）设等差数列的公差为．

由已知得，解得．

所以．

（2）由（Ⅰ）可得．

所以

．

18．（12分）已知数列的前n项和，满足

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

解：（1）3Sn＝1+2an，①，

当n＝1时，3S1＝1+2a1，解得a1＝1，

当n≥1时，3Sn+1＝1+2an+1，②，

由②﹣①可得3an+1＝2an+1﹣2an，

即an+1＝﹣2an，   ∴＝﹣2，

∴数列{an}是以1为首项，以﹣2为公比的等比数列，

∴an＝（﹣2）n﹣1，

（2）（2n﹣1）an＝（2n﹣1）（﹣2）n﹣1，

则Tn＝1×（﹣2）0+3×（﹣2）1+5×（﹣2）2+…+（2n﹣1）（﹣2）n﹣1，

∴﹣2Tn＝1×（﹣2）1+3×（﹣2）2+5×（﹣2）3+…+（2n﹣1）（﹣2）n，

两式相减，可得

3Tn＝1+2×（﹣2）1+2×（﹣2）2+2×（﹣2）3+…+2×（﹣2）n﹣1﹣（2n﹣1）（﹣2）n，

＝1+2×﹣（2n﹣1）（﹣2）n，

＝1﹣﹣×（﹣2）n﹣（2n﹣1）（﹣2）n＝﹣﹣（2n﹣）×（﹣2）n，

∴Tn＝﹣﹣．

19.（12分）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

【解析】（1）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（2）设，则.

当时，，

所以在区间上单调递减.

所以对任意有，即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.

20．（12分） 已知数列满足:，，N*且≥.

（1）求证: 数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，求数列的前项和.

（1）证明：

又

∴数列是以首项为，公差为的等差数列

（2）由（1）得，

（3）解：

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）当a＝1时，f（x）＝2ex﹣x﹣2，f′（x）＝2ex﹣1，f′（1）＝2e﹣1，

即曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率k＝2e﹣1，又f（1）＝2e﹣3，

故所求的切线方程是y＝（2e﹣1）x﹣2．

（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立⇔[f（x）]min≥0．

易知f′（x）＝2ex﹣a．

①若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增；

又f（0）＝0，∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意．

②若 a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝ln．

则当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

∴x＝时，函数f（x）取得最小值．

当，即0＜a≤2时，当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）＝0，符合题意．

当，即a＞2时，当时，f（x）单调递增，f（x）＜f（0）＝0，不符合题意．

综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．

22．（12分）已知函数

（1）求函数的最大值；

（2）令，若既有极大值，又有极小值，求实数

的范围；

（3）求证：当时，.

（1）解：（1）函数y＝f（x）定义域为x∈（﹣1，+∞），f′（x）＝﹣，

∴x∈（﹣1，+∞）当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上为增函数；在区间（0，+∞）为减函数，

所以f（x）max＝f（0）＝1；

（2）解：g（x）＝1+ln（x+1）﹣（a﹣2）x+x2，

g′（x）＝﹣（a﹣2）+2x＝，

g（x）既有极大值，又有极小值，

等价于方程2x2+（4﹣a）x+3﹣a＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，

即：，解得：a＞2，

所以所求实数a的取值范围是：（2，+∞）；

（3）证明：由（1）知当x＞0时，f（x）＜f（0）＝1，

∴ln（1+x）＜x，∴ln（1+）＜，

∴ln（1+1）＜1，ln（1+）＜，ln（1+）＜，…，ln（1+）＜，

∴ln（1+1）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）

＜1+++…+

＜1+++…+

＝1+2（﹣+﹣+…+﹣）

＝1+2﹣2＝2﹣1＜2．