江苏省徐州市铜山区中国矿大附中2020-2021学年九年级（上）月考数学【试卷+答案】（10月份）

这是一份江苏省徐州市铜山区中国矿大附中2020-2021学年九年级（上）月考数学【试卷+答案】（10月份），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省徐州市铜山区中国矿大附中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
3．方程2x2+x﹣4＝0的解的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
4．已知⊙O的半径为10，直线l上有一点P满足PO＝10，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
5．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（　　）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
6．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　　）

A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
8．如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b＝0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．③④⑤
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
9．方程x2﹣3x＝0的根为　 　．
10．设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
11．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为　 　cm．
12．已知2y2+y﹣2的值是3，则4y2+2y+1＝　 　．
13．已知一个圆锥的底面半径为8cm，母线长为25cm，这个圆锥的侧面积为　 　cm2．
14．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为　 　．
15．已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，这个三角形的周长为　 　．
16．某药品原价每盒25元，经过两次连续降价后，售价每盒16元．则该药品平均每次降价的百分数是　 　．
17．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC＝　 　度．

18．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共76分）
19．解下列方程
（1）x2﹣3x＝1
（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）
20．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k＝0的一个根是﹣2，求k的值与方程的另一个根．
21．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若CH＝1，AB＝10，求CD的长．

22．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若圆心O到弦DB的距离为1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

23．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为　 　；
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；
（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．

24．如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP＝　 　cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP＝　 　cm时，四边形AOBP是正方形．

25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利50元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1600元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
26．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【分析】一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
（4）二次项系数不为0．
解：
A、3（x+1）2＝2（x+1）化简得3x2+4x+1＝0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a＝0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：A．
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
解：方程移项得：x2﹣2x＝5，
配方得：x2﹣2x+1＝6，
即（x﹣1）2＝6．
故选：B．
3．方程2x2+x﹣4＝0的解的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
【分析】根据根的判别式的值与零的大小关系即可判断．
解：依题意，得
Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×2×（﹣4）＝33＞0，
所以方程有两不相等的实数根．
故选：A．
4．已知⊙O的半径为10，直线l上有一点P满足PO＝10，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d＝r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．
解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝10＝r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜10＝r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选：D．
5．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（　　）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
【分析】根据P点坐标和勾股定理可计算出OP的长，然后判断出OP与⊙P的半径的大小关系，即可得出结论．
解：∵圆心P的坐标为（5，12 ），
∴OP＝＝13，
∵⊙P的半径为13，
∴OP＝r，
∴原点O在⊙P上．
故选：B．
6．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　　）

A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．
故选：A．

7．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：B．
8．如图，是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b＝0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．③④⑤
【分析】①先根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号，再根据有理数乘法法则即可判断；
②把x＝﹣2代入函数关系式，结合图象即可判断；
③根据对称轴求出b＝﹣4a，即可判断；
④根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断；
⑤先求出点（﹣3，y1）关于直线x＝2的对称点的坐标，根据抛物线的增减性即可判断y1和y2的大小．
解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0，
∴abc＞0．
故①正确；

②把x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c
得：y＝4a﹣2b+c，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0．
故②错误；

③∵b＝﹣4a，
∴4a+b＝0．
故③正确；

④∵抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．
故④正确；

⑤∵（﹣3，y1）关于直线x＝2的对称点的坐标是（7，y1），
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，
∴y1＞y2．
故⑤错误；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
9．方程x2﹣3x＝0的根为　x1＝0，x2＝3　．
【分析】根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．
解：因式分解得，x（x﹣3）＝0，
解得，x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
10．设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x1+x2＝　3　，x1x2＝　﹣1　．
【分析】将原方程化为一般式，利用根与系数的关系可得出x1+x2＝3，x1x2＝﹣1．
解：方程化为一般式为x2﹣3x﹣1＝0．
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，
∴x1+x2＝﹣＝3，x1x2＝＝﹣1．
故答案为：3；﹣1．
11．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为　10　cm．
【分析】根据直径为圆的最长弦求解．
解：∵⊙O的半径为5cm，
∴⊙O的直径为10cm，
即圆中最长的弦长为10cm．
故答案为10．
12．已知2y2+y﹣2的值是3，则4y2+2y+1＝　11　．
【分析】根据题意确定出2y2+y的值，原式前两项提取2变形后，把2y2+y的值代入计算即可求出值．
解：∵2y2+y﹣2＝3，即2y2+y＝5，
∴原式＝2（2y2+y）+1＝10+1＝11．
故答案为：11
13．已知一个圆锥的底面半径为8cm，母线长为25cm，这个圆锥的侧面积为　200π　cm2．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
解：这个圆锥的侧面积＝•2π•8•25＝200π（cm2）．
故答案为200π．
14．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为　60°　．
【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．
解：如图，
∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
故答案为60°．

15．已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，这个三角形的周长为　21　．
【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是4和6，由三角形的三边关系，腰长只能是6，然后求出周长．
解：（x﹣4）（x﹣6）＝0
∴x1＝4，x2＝6，
因为等腰三角形的底边长是9，
所以腰长只能是6，周长＝9+6+6＝21
故答案是：21．
16．某药品原价每盒25元，经过两次连续降价后，售价每盒16元．则该药品平均每次降价的百分数是　20%　．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2＝16，
解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
故答案为：20%．
17．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC＝　115　度．

【分析】由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；再利用角平分线的定义可知∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），代入数值即可求∠BOC＝115°．
解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（50°+80°）＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣65°＝115°．
18．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为　100π﹣150　．

【分析】此题是考查圆与正多边形结合的基本运算．阴影面积＝总体面积﹣空白部分的面积．
解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA、OB，
∵OA＝OB＝AB＝10，OC＝5，
∴S正六边形＝6S△AOB＝6××10×5＝150．
∴S阴影＝S⊙O﹣S正六边形＝100π﹣150．

三、解答题（本大题共9小题，共76分）
19．解下列方程
（1）x2﹣3x＝1
（2）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）
【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；
（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
解：（1）方程整理得：x2﹣3x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∵△＝9+4＝13，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程移项得：3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
解得：x1＝2，x2＝．
20．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k＝0的一个根是﹣2，求k的值与方程的另一个根．
【分析】将x＝﹣2代入原方程即可求出k值，由两根之积等于即可求出方程的另一个根．
解：将x＝﹣2代入原方程中可得：4﹣2（k+3）+k＝0，
解得：k＝﹣2，
∴方程的另一个根为＝1．
答：k的值为﹣2，方程的另一个根为1．
21．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若CH＝1，AB＝10，求CD的长．

【分析】连接OA，设⊙O的半径为x，则OH＝x−1，再根据勾股定理求出X的值即可求解．
解：连接OA，

∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AH＝BH＝5，
设⊙O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CH＝1，
∴OH＝x﹣1，
在Rt△AOH中，由勾股定理可得x2﹣（x﹣1）2＝52，
解得x＝13，
∴CD＝2x＝26．
22．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若圆心O到弦DB的距离为1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

【分析】（1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC＝90°，又由CD＝CB，OB＝OD，易证得∠ODC＝∠ABC＝90°，即可证得CD为⊙O的切线；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD，即可求得答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，
即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过点O作OF⊥BD于点F，
在Rt△OBF中，
∵∠ABD＝30°，OF＝1，
∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝，
∵OF⊥BD，
∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝2∠BOF＝120°，
∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝﹣×2×1＝π﹣．

23．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为　（2，0）　；
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；
（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．

【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心坐标；
（2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD＝∠CDE，即可得到圆心角的度数为90°；
（3）求得弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解：（1）如图；D（2，0）

（2）如图；；
作CE⊥x轴，垂足为E．
∵△AOD≌△DEC，
∴∠OAD＝∠CDE，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴扇形DAC的圆心角为90度；

（3）∵弧AC的长度即为圆锥底面圆的周长．l弧＝，
设圆锥底面圆半径为r，则，
∴．

24．如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；
（2）填空：
①当DP＝　1　cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP＝　﹣1　cm时，四边形AOBP是正方形．

【分析】（1）利用切线的性质可得OC⊥PC．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP＝30°，从而求得．
（2）①要使四边形AOBD是菱形，则OA＝AD＝OD，所以∠AOP＝60°，所以OP＝2OA，DP＝OD．
②要使四边形AOBP是正方形，则必须∠AOP＝45°，OA＝PA＝1，则OP＝，所以DP＝OP﹣1．
解：（1）连接OA，AC
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
在Rt△AOP中，∠AOP＝90°﹣∠APO＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACP＝30°，
∵∠APO＝30°
∴∠ACP＝∠APO，
∴AC＝AP，
∴△ACP是等腰三角形．

（2）
①DP＝1，理由如下：
∵四边形AOBD是菱形，
∴OA＝AD＝OD，
∴∠AOP＝60°，
∴OP＝2OA，DP＝OD．
∴DP＝1，
②DP＝，理由如下：
∵四边形AOBP是正方形，
∴∠AOP＝45°，
∵OA＝PA＝1，OP＝，
∴DP＝OP﹣1
∴DP＝．

25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利50元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1600元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
【分析】（1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（50﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（50﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．
（2）列出商场平均每天赢利y与件衬衫降价x之间的函数关系式，并化为顶点式，即可解答．
解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理得2x2﹣80x+600＝0
解得x1＝30，x2＝10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降30元．
答：每件衬衫应降价30元．
（2）设商场平均每天赢利y元，则
y＝（20+2x）（50﹣x）
＝﹣2x2+80x+1000
＝﹣2（x2﹣40x﹣400）＝﹣2[（x﹣20）2﹣625]
＝﹣2（x﹣20）2+1800．
∴当x＝20时，y取最大值，最大值为1800．
答：每件衬衫降价20元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1800元．
26．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

【分析】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
解：（1）∵AB＝x，则BC＝（28﹣x），
∴x（28﹣x）＝192，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：x的值为12或16；

（2）∵AB＝xm，
∴BC＝28﹣x，
∴S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28﹣15＝13，
∴6≤x≤13，
∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣14）2+196＝195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】方法一：
（1）有抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知．
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S△BCM＝S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC＝•AB•OC，则结论易得．
（3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离＝OC＝3，又（1）得抛物线解析式，代入即得Q点横坐标，则Q点可求．
方法二：
（1）略．
（2）由于A、B、C三点坐标已知，易求△ABC面积，利用水平底与铅垂高乘积的一半可求出△BCM的面积，从而得到面积比．
（3）因为PQ∥AC，所以只需PQ＝AC即可，求出PQ的参数长度便可列式求解．
【解答】方法一：
解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵抛物线过点（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4）．

（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，

∵S△BCM＝S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC
＝•（3+4）•1+•2×4﹣•3•3
＝+﹣＝3
S△ABC＝•AB•OC＝•4•3＝6，
∴S△BCM：S△ABC＝3：6＝1：2．

（3）存在，理由如下：
①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，

∵四边形ACQP为平行四边形，
∴PQ平行且相等AC，
∴△PEQ≌△AOC，
∴EQ＝OC＝3，
∴﹣3＝x2﹣2x﹣3，
解得 x＝2或x＝0（与C点重合，舍去），
∴Q（2，﹣3）．
②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，

∵四边形ACPQ为平行四边形，
∴QP平行且相等AC，
∴△PFQ≌△AOC，
∴FQ＝OC＝3，
∴3＝x2﹣2x﹣3，
解得 x＝1+或x＝1﹣，
∴Q（1+，3）或（1﹣，3）．
综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）
方法二：
（1）略．
（2）连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，交BC于H，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴lBC：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣2，∴H（1，﹣2）
∴S△BCM＝（3﹣0）（﹣2+4）＝3，
∵S△ABC＝AB×OC＝×3×4＝6，
∴S△BCM：S△ABC＝3：6＝1：2，

（3）∵PQ∥AC，
∴当PQ＝AC时，A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，即|QY|＝|∁Y|，
设Q（t，t2﹣2t﹣3），
∴|t2﹣2t﹣3|＝3，
①t2﹣2t﹣3＝3，解得：t1＝1+，t2＝1﹣，
②t2﹣2t﹣3＝﹣3，解得：t1＝0（舍），t2＝2，
综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）．