2022年中考数学三轮冲刺讲义：第10讲《依据特征构造-最值问题》(含答案)学案

第10讲、依据特征构造——最值问题（讲义）

1. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：交y轴于点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式．

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标．

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM的最小值．

2. 如图，抛物线y=ax2+bx-a-b（a＜0，a，b为常数）与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，直线AB的函数关系式为．

（1）求该抛物线的函数关系式与点C的坐标．

（2）已知点M(m，0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D，E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）．

i．探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O，B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变．若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

ii．试求出此旋转过程中，(NA+NB)的最小值．

3. 已知抛物线y=a(x+3)(x-1)（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A，B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，则当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

4. 如图，抛物线y=x2+bx+c经过B(-1，0)，D(-2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．

（1）求抛物线的解析式．

（2）是否存在点P，使∠APB=90°？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中的用时t最少？

备用图

【参考答案】

1. （1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+4；

（2）点G的坐标为(-2，4)；

（3）①此时E(-2，0)，H(0，-1)；

②AM+CM的最小值为．

2. （1）抛物线的函数表达式为；C(1，0)；

（2）当m=-4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；

（3）i．存在，P点坐标为(0，3)；

ii．(NA+NB)的最小值为．

3. （1）抛物线的函数解析式为；

（2）点P的坐标为(-4，)或(-6，)；

（3）当点E的坐标为(1，)时，点Q在整个运动过程中所用时间最少．

4. （1）抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

（2）存在，点P的横坐标为或；

（3）当点Q的坐标为(-1，4)时，点M在整个运动过程中的用时t最少．