高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合精品同步测试题

绝密★启用前

6.2.1排列同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 某种产品的加工需要经过道工序，其中有道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，则这种产品的加工排列顺序的方法数为

A.  B.  C.  D.

2. 由数字，，，，组成的无重复数字的三位数的偶数的总个数为

A.  B.  C.  D.

3. 某校高三毕业汇演，要将、、、、、这六个不同节目编排成节目单，要求、两个节目要相邻，且都不排在第号位置，则节目单上不同的排序方式有 

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4. ，则是

A.  B.  C.  D.

5. 在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数的一种方法，例如：可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用根小木棍的概率为   

A.  B.  C.  D.

6. 在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到、、、四个班级进行宣讲，每个班级分配一位老师．若甲不分配到班，丁不分配到班，则分配方案的种数为

A.  B.  C.  D.

7. 本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有     种．

A.  B.  C.  D.

8. 考生甲填报某高校专业意向，打算从个专业中挑选个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9. 一只袋内装有个白球，个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，则下列概率等于的是

A.  B.  C.  D.

10. 在二项式的展开式中，各项系数的和为，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为   

A.  B.  C.  D.

11. 某高中期中考试考查九个学科语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理，已知语文必须安排在首场，且物理与英语不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

12. 十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍下图是利用算筹表示数字的一种方法例如：可表示为“”，可表示为“”，现用根算筹表示不含的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被整除的概率为  

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 高三年级有名男生和名女生共六名学生排成一排照像，要求男生互不相邻，女生也互不相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同排法有________ 种用数字作答．
14. 从班委会的名成员中选出名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．用数字作答
15. 甲、乙两名大学生从个公司中各选个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有个相同的选法种数是______用数字作答
16. 现某路口对一周内过往人员进行健康码检查，安排名工作人员进行值班，每人值班天，每天人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有________种．
17. 甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件为“四名同学所选项目各不相同”，事件为“只有甲同学选羽毛球”，则__________

三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）

18. 如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有          种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有          种．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 计算．
    
    
    
    
    
    
     
20. 名师生站成一排照相留念，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
    老师必须站在中间或两端；
    两名女生必须相邻而站；
    名男生互不相邻；
    若名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．
    
    
    
    
    
    
     
21. 用，，，，，这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？

六位奇数；

个位数字不是的六位数；

不大于的四位偶数．






 

22. 求解下列问题：

计算：；
解方程：．






 

23. 已知的展开式中，第项的系数与倒数第项的系数之比为．

求的值；

求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；

将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：分布完成：
先将其中道工序放在中间，有种；
再将其余道工序放在其它个位置有：种，
根据分步计数原理可得：种．
故选：．
根据分步乘法计数原理可得．
本题考查了排列，组合及简单计数原理，属中档题．
 

2.【答案】
 

【解析】解：若个位是，则有，
若个位是或，则先排百位有种，然后排十位有共有，
共种，
故选：．
根据个位数是和，进行讨论计算即可．
本题主要考查简单计数的计算，结合个位数是不是进行分类讨论是解决本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查排列组合的应用，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素．
根据题意，分步进行分析：、先将、看成一个整体，考虑两者间的顺序，分析这个整体可以安排的位置情况，将、、、四个节目全排列，安排在剩下的个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分步进行分析：
、对于、，先将、看成一个整体，考虑两个节目的顺序，有种情况，
、由于、都不排在第号位置，则这个整体可以放在号、号、号三个位置，即有种情况，
、将、、、四个节目全排列，安排在剩下的个位置，有种排法，
则节目单上不同的排序方式有种；
故选B．  

4.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
故选：．
写出的表示形式，，而，两式相比得到的表示式即可．
本题考查排列与排列数公式的应用，属于基础题．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查对立事件、古典概型以及排列的计算，理解对立事件的概率公式是解题的关键．
首先明确至少要用根小木根的对立事件为用掉根，根，根这三种情况，然后计算对立事件的概率，根据对立事件概率公式求出结果．
【解答】
解：至少要用根小木根的对立事件为用掉根，根，根这三种情况，
用根小木棍为、、这一种情况的全排列，
根有，，，这四种情况的全排列，
根有，，，，，，这七种情况的全排列，
故至少要用根小木根的概率为．
故选D．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查分类原理和排列的应用，属于基础题．
对于甲，可分为两类，第一类：甲分到班，第二类：甲不分到班，运用排列公式求出每一类方法数，再相加，即可得到答案．
【解答】
解：对于甲，可分为两类，
第一类：甲分到班，有种方法，
第二类：甲不分到班，有种方法，
则分配方案的种数为种，
故选B．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查排列数公式和分步乘法计数原理的应用，属于简单题．
根据题意，分步进行分析：将甲、乙两本书必须放在两端，将丙、丁两本书看成一个整体，将丙丁这个整体与另外本书全排列，安排在中间的个位置，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分步进行分析：
，将甲、乙两本书必须放在两端，有种情况，
，将丙、丁两本书看成一个整体，考虑本书的顺序有种顺序，
，将丙丁这个整体与另外本书全排列，安排在中间的个位置，有种情况，
则有种不同的摆放方法；
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了简单的排列组合问题，关键是分清是排列还是组合，属于基础题．
从中选个并分配到个志愿中，问题得以解决．
【解析】
解：从中选个并分配到个志愿中，故有种，
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查排列与排列数公式，离散型随机变量的概率计算，属于中档题．

利用离散型随机变量的分布列，求出相应的概率，最后利用排列的公式得到结果．

【解答】

解：的可能取值为，，，，

则，

，

．

故选D．

10.【答案】
 

【解析】【解析】
本题考查二项展开式的系数问题及“插空法”、排列公式、古典概型，难度适中．
由已知求出，再利用通项可得有理项与无理项的项数，利用“插空法”及排列公式即可得出概率．
【解答】
解：因为二项式的展开式中，各项系数的和为，
令，，，解得，
二项式的通项为，
其中当时为有理项，
因为二项式的展开式中共有项，全排列有种排法，其中项为有理项，项为非有理项，
有理项要求互不相邻，可先将项非有理项全排列共种，然后将项有理项插入项非有理项产生的个空隙中共种，
即有理项都互不相邻的排法有种，
所以有理项都互不相邻的概率为．
故选A．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查排列组合问题，属于一般题．
利用分步乘法计数原理及特殊元素优先考虑的原则进行排列即可求解．
【解答】解：可分三步：第一步，先排语文，有种排法
第二步，将除语文、物理和英语外的六科全排列，有种排法
第三步，把物理和英语插在其他科的空中有种排法．
根据分步乘法计数原理，共有种排法．
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
考查古文化在概率中的应用，体现高考方向，体现运算求解能力，逻运算的核心素养。
由排列数公式及古典概型概率公式计算即可．
【解答】
解：用根算筹组成满足题意的三位数有，，，这四种情况的全排列，
其中的排列能被整除，
所以概率为，
故选B．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查排列组合与分步乘法计数原理，属于一般题．
不相邻问题采用插空法，结合分步乘法计数原理求解．
【解答】
解：先排除男生甲和女生乙，
则另外名学生男生互不相邻，女生也互不相邻，
先排两个男生，再在两个男生中间插入一个女生，另一个女生在两侧，
共有种站法，
这名学生共产生个空，再将男生甲和女生乙作为一个整体插入这个空中，
则每个空中男生甲和女生乙只有种站法，
综上所述，不同的站法共有种．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【试题解析】

【分析】本题考查分步乘法原理以及排列的应用，属于基础题．
按照特殊位置优先安排的原则，第一步：先安排文娱委员，有种情况第二步：再从剩余的人中选人安排学习委员和体育委员，有种因此共有种
【解答】解：文娱委员有种选法，则安排学习委员、体育委员有种方法，
由分步乘法计数原理知，共有种选法．

15.【答案】
 

【解析】解：由题意知本题需要分步来解，
第一步甲大学生选实习公司，有种方法，
第二步乙大学生选实习公司，有种方法，
由乘法原理得：两人所选的实习单位中恰有个相同的选法有种．
故答案是．
甲、乙大学生从个公司中各选个作为实习单位可分两步完成，第一步甲大学生选实习公司，第二步乙大学生选实习公司，两个步骤相乘可以得到结果．
本题考查了乘法计数问题．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查排列的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于一般题．
根据题意，分步进行分析：将甲、乙按要求安排，将剩下的人全排列，安排在剩下的天，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分步进行分析：
要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，
先把周一周二、周二周三、、周六周日看作个位置，任选一个位置，
排上甲乙两人，有种方法，其中甲排在周三去掉，
则甲乙的安排方法有种，
将剩下的人全排列，安排在剩下的天，有种情况，
则有种安排方法；  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查条件概率、排列组合的综合应用，属于基础题．
分别求出事件、事件的可能的种数，代入条件概率公式即可得解．
【解答】
解：由题意甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，基本事件总数为，
事件：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，
所以其它名同学排列在其它个项目，且互不相同基本事件总数为，
事件：甲选羽毛球，所以其它名同学排列在其它个项目，
可以安排在相同项目基本事件总数为，
  

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查分类加法、分步乘法计数原理及考查排列组合的应用，考查运用求解能力，考查分类与整合思想，是中档题．
由题意知图中若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，分别写出每个底面的涂色方法数，利用分步乘法计数原理得到结果；
若每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂的颜色的种类来分类，当，，，用四种、三种、两种颜色，分别写出涂色的方法，根据分类计数原理得到结果．
【解答】
解：由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有；
若，，，用四种颜色，则有；
若，，，用三种颜色，则有；
若，，，用两种颜色，则有．
所以共有种．
故答案为：；．  

19.【答案】解：

．

【解析】

【分析】本题主要考查了排列与排列数公式，考查了学生的计算能力，属于基础题．  

20.【答案】解：老师必须站在中间或两端，先排老师有种，学生任意排，故有，
两个女生必须相邻而站；
把两个女生看做一个元素，则共有个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有．
名男生互不相邻；
应用插空法，
要老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有．
根据题意，先安排老师和女生，在个空位中任选个即可，有种情况，
若名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，
则男生的顺序只有种，将人排在剩余的个空位上即可，则共有种不同站法
 

【解析】老师必须站在中间或两端，先排老师有种，学生任意排，
两个女生必须相邻而站；把两个女生看做一个元素，则共有个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列．
名男生互不相邻，应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生．
根据题意，先在个空位中任选个安排老师和女生，因男生受身高排序的限制，只有种站法，由分步计数原理计算可得答案
本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法．
 

21.【答案】解：方法一：从特殊位置入手直接法第一步：排个位，从，，三个数字中选个，有种排法；第二步：排十万位，有种排法；第三步：排其他位，有种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有个．
方法二：从特殊元素入手直接法不在两端有种排法；从，，中任选一个排在个位上，有种排法；其他数字全排列有种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有个．
方法三：排除法个数字全排列有种排法；，，，在个位上的排列有个；，，在个位上且在十万位上的排有个，故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的有个．
方法一：排除法在十万位上的排列，在个位上的排列都不是符合题意的位数，故符合题意的六位数共有个．
方法二：直接法十万位上的数字的排法因个位上排与不排而有所不同，因而分两类．
第一类：当个位上排时，有种排法；
第二类：当个位上不排时，有种排法．
故符合题意的六位数共有个．
当千位上排，时，有种排法；
当千位上排时，有种排法；
当千位上排时，形如，的偶数各有个，形如的偶数有个，形如的偶数只有和这两个数满足题意．
故不大于的四位数且是偶数的共有个．
 

【解析】本题考查数字问题，考出排列组合和计数原理的综合应用，属于中档题．
方法一：从特殊位置入手直接法，排个位，排十万位，排其他位，由计数原理可得；
方法二：从特殊元素入手直接法，首先排，再排个位，其他数字全排列，由计数原理可得；
方法三：排除法，首先全排列，然后减掉不合题意的情况．
同考虑即可．
 

22.【答案】解：；
根据原方程，应满足
解得，根据排列数公式，原方程化为．
因为，两边同除以，得即，解得或因为为整数，所以应舍去所以原方程的解为．
 

【解析】本题考查了排列数的计算，属于基础题．
根据排列数公式计算；
首先由排列数性质得出应满足的条件，然后由排列数公式化简变形求解．
 

23.【答案】解：展开式的通项为，

展开式中第项的系数为，倒数第项的系数为，

，即，．

令可得展开式中所有项的系数和为，

展开式中二项式系数和为．

展开式共有项，由可得当为整数，即，，，时为有理项，共项，

可得有理项不相邻的概率为．

【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项，排列的应用，属于中档题．
由题意根据二项展开式的通项，求得的值．
令可得展开式中所有项的系数和为，根据二项式系数之和求解，可得结论．
展开式共有项，由可得当整数，即，，，时为有理项，共项，再由插空法求解即可．