人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合优秀一课一练

绝密★启用前

6.2.4组合数同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出位教师组成合唱团，现要从这人中选出人领唱，要求这人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选人，则不同的选取方法的种数为

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则等于

A.  B.  C.  D.

3. 已知文印室内有份待打印的文件自上而下摞在一起，秘书小王要在这份文件中再插入甲、乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为   

A.  B.  C.  D.

4. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中有个阳爻，个阴爻，则它可以组成种重卦．

A.  B.  C.  D.

5. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从名男教师和名女教师中，选取人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6. 踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动某单位组织踢毽子比赛，把人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在分钟内踢毽子的数目分别为，，，，；乙组每人在分钟内踢毽子的数目分别为，，，，从甲、乙两组中各随机抽取人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形共有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8. 高一某班有名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有   

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9. 某班级要从名男生、名女生中选派人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有名女生参加，那么不同的选派方案有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

10. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中有个阳爻，个阴爻，则它可以组成    种重卦．

A.  B.  C.  D.

11. 将本相同的书分给个同学，每人至多分一本，而且书必须分完，则不同的分法种数是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为奇数的方法数为

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 一个袋中装有个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为          ，若从袋中任意摸出个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望          ．
14. 某校在高一年级一班至六班进行了“社团活动”满意度调查结果只有“满意”和“不满意”两种，从被调查的学生中随机抽取了人，具体的调查结果如表：

现从一班和二班调查对象中随机选取人进行追踪调查，则选中的人中恰有人不满意的概率为          若将以上统计数据中学生持满意态度的频率视为概率，在高一年级全体学生中随机抽取名学生，记其中满意的人数为，则随机变量的数学期望是          

15. 在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第行从左到右的第行第个数是       ；若第行从左到右第个数与第个数的比值为，则       ．

16. 已知份血液样本中有一份病毒检验呈阳性，现先取其中份混合检测，如果呈阳性，再逐份检测这份，直到检测出阳性样本；如果呈阴性，则再对另外份逐份检测，直到检测出阳性样本．则混合样本呈阳性的概率为          ，恰好次检测出阳性样本的概率为          ．
17. 老师要从篇课文中随机抽篇让学生背，规定至少要背出篇才能及格．同学甲只能背出其中的篇，则甲同学能及格的概率为          ，设抽取的篇课文中甲能背诵的课文有篇，则随机变量的期望为          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 一组学生共有人．

如果从中选出人参加一项活动，共有多少种选法？

如果从中选出男生人，女生人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有种，问该组学生中男、女生各有多少人？






 

19. 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的名员工的捐款数额如下表：

若从这名员工中随机选取人，则选取的人中捐款恰有一人高于元，一人低于元的概率；

若从这名员工中任意选取人，记选到的人中捐款数额大于元的人数为，求的分布列和数学期望．






 

20. 常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具．洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤．某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，由该校高二年级的若干名女教师随机抽取名学生进行网上测试，满分分，具体得分情况的频数分布表如下：

现以分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于分的学生为“未能掌握”，得分不低于分的学生为“基本掌握”完成下面列联表，并判断是否有的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关？

从参与网上测试且得分不低于分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取名同学，从这名同学及组织网上测试的所有女教师中随机抽取人，若恰好一名男性一名女性的概率不大于，求至少需要几名女教师组织网上测试？

附：，．

临界值表：

21. 某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为，且每次投篮是否命中相互独立．

求该同学在三次投篮中至少命中次的概率；

若该同学在次投篮中恰好命中次的概率为，为何值时，最大？






 

22. 从，，，，这十个数字中，任取不同的三个数字，求三个数字之和等于的概率。
    
    
    
    
    
    
     
23. 关注大众身体健康的同时，也需关注大众的心理健康．某机构为了解市民心理健康状况，分别从不同地点随机抽取若干人进行心理健康问卷调查评分满分分，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：

已知专项心理等级为一般的有人．

求频率分布直方图中的值及专项心理等级为有隐患的人数；

在专项心理等级为有隐患的市民中，老年人占，中青年占，现从该等级市民中按年龄分层抽取人了解心理有隐患的具体原因，并从中选取人列为长期关注对象，求至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率；

心理咨询机构与该市管理部门设定预案是：以抽取样本为例，市民心理健康指数平均值不低于，只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．每组数据以区间的中点值为代表，心理健康指数

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合数的应用以及分类加法计数原理，属于基础题．
由题意，利用组合数公式及分类计数求解即可．
【解答】
解：由题意，在行政部门选人时，有
在行政部门选人时，，
共有种
故选A．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合与组合数公式，属于基础题，直接利用组合的性质计算可得．
【解答】
解：，
，
，解得．
故选A．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合的运用，属于基础题．
首先从个空位中选择两个空位排甲、乙两份文件甲文件在乙文件前，其余个空位按之前的顺序排其它个文件，利用组合数的运算可得结果．

【解答】
解：从个空位中选择两个空位排甲、乙两份文件甲文件在乙文件前，其余个空位按之前的顺序排其它个文件，
所以不同的打印方式的种数为．
故选：．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合与组合数公式等基础知识，考查推理能力，是基础题．
只需从个位置中选取个位置放置阳交，则问题得解．
【解答】
解：要满足题意，则只需从个位置中选取个位置放置阳爻即可，
故满足题意的重卦有种．
故答案为：．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分步计数原理及分类计数原理．
先讨论当选名男教师和名女教师时，不同的选法种数，再讨论当选名男教师和名女教师时时，不同的选法种数，然后相加即可
【解答】

解：当选名男教师和名女教师时，不同的选法种数有种
当选名男教师和名女教师时时，不同的选法种数有种
故男女至少各有一人，则不同的选法共有种
故选B．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合和古典概率的计算，考查计算能力和分析问题的能力，属中档题．
依题意求出从甲、乙两组中各随机抽取人有中，其中这两人踢毽子的数目之和为奇数的有种，根据古典概率公式即可解答．
【解答】
解：依题意甲组踢毽子的数目分别为，，，，中个偶数，个奇数；乙组踢毽子的数目分别为，，，，中偶数个，奇数个，
求出从甲、乙两组中各随机抽取人有中，其中这两人踢毽子的数目之和为奇数的有种，
根据古典概率公式得所求概率．
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分类计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想方法，属基础题．
根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果．
【解答】
解：第一类：三局为止，共有种情形；
第二类：四局为止，共有种情形；
第三类：五局为止，共有种情形；
故所有可能出现的情形共有种情形．
故选B  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查分步计数原理的应用，注意每个小组至多可接收该班名同学，属于中档题．
先将名同学按照、、分组，再将所得三组进行全排列．
【解答】
解：先将名同学按照、、分组，共有种分法，
再将三组进行全排列，所以共有，
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查分类加法计数原理，组合与组合数公式，属于基础题，
用直接法人中至少有名女生包括女男及女男两种情况，计算各种情况下的选派方案种数，由加法原理可得．
【解答】
解：不同选派方案的种数为．
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查组合与组合数公式等基础知识，考查推理能力，是基础题．
只需从个位置中选取个位置放置阳交，则问题得解．
【解答】
解：要满足题意，则只需从个位置中选取个位置放置阳爻即可，
故满足题意的重卦有种．
故答案为：．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了组合，由题意从人中选人，一人一本即可．
【解答】
解：将本相同的书分给个同学，每人至多分一本，而且书必须分完，
因为书相同，就是从人中选人，一人一本即可，则有，
故选B．  

12.【答案】
 

【解析】【解析】
本题考查分类计数原理与组合的应用，属于基础题．
选取的个数之和为奇数分两种情况，个阳数，个阴数，或者个阳数．
解：从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，和为奇数，
则分两种情况，个阳数，个阴数，或者个阳数．
个阳数，个阴数：种不同方法；
个阳数：种不同方法，
故共有种方法．
故选：．
 

13.【答案】  

【解析】

【分析】
本题考查了超几何分布中事件的概率，超几何分布的期望，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
根据至少得到一个白球的概率是，可得全取到黑球的概率为，结合超几何分布的相关知识可得白球个数，以及随机变量的期望．
【解答】
解：依题意，设白球个数为，至少得到一个白球的概率是，则全是黑球的概率为，
所以，即，解得舍去，
依题意，随机变量的可能取值为，，，，
且
得随机变量的分布列为

所以，
故答案为：；．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了古典概型概率公式、二项分布、数学期望以及组合知识，是基础题
根据题意利用古典概型概率和二项分布的数学期望公式即可求解此题．
【解答】
解：从一班和二班调查对象中随机选取人进行追踪调查，则选中的人中恰有人不满意的概率为，
高一年级全体学生满意的概率为，
由题意知，，
，
故答案为，．  

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查二项式定理的应用以及杨辉三角，属于中档题．
根据杨辉三角的规律由组合数公式进行求解．
【解答】
解：根据杨辉三角的规律第行从左到右的第个数是，，
若第行从左到右第个数与第个数的比值为
则，即，
即，
解得．
故答案为；．  

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了利用组合数求事件的概率，混合样本呈阳性的概率为，恰好次检测出阳性样本分混合样本呈阳性和呈阴性两种情况求解即可．
【解答】
解：由题意可知，混合样本呈阳性的概率为，
恰好次检测出阳性样本的概率为
故答案为．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查古典概型概率的计算，考查离散型随机变量期望的计算，考查分析和计算能力，属于中档题．
空：分别计算出样本空间的基本事件总数和“甲能及格”所包含的基本事件总数，则甲能及格
空：列出所有可能取值，，，，再分别计算对应的概率，进而可得
【解答】
解：从篇中随机抽取篇，所以样本空间所包含的基本事件总数为，
记事件“甲能及格”为，则包含两种情况：“甲能背诵篇”和“甲能背诵篇”，
所以包含的基本事件总数为，
所以．
的所有可能取值为，，，
，
，
，
，
所以
故答案为，．  

18.【答案】解：所有的不同选法种数，就是从名学生中选出人的组合数，
所以选法种数为．
故共有种选法．
设有男生人，女生则有人，  从这人中选出名男生女生方法有种，  要求每人参加一项且每项活动都有人参加种，  根据分步乘法计数原理得，  所以，且，  解得，或， 
所以该组学生中男生人，女生人，或男生人，女生人．
 

【解析】本题考查排列组合的应用，属于基础题．
根据条件结合组合数公式即可得到答案．
设有男生人，女生则有人，根据求出的值，即可得到答案．
 

19.【答案】解：名员工中捐款数额大于元的有人，低于元的有人，
故选取的人中捐款恰有一人高于元，一人低于元的概率为：；
由题意知名员工中捐款数额大于元的有人，
则随机数量的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：

．
 

【解析】本题考查古典概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．
根据古典概率的计算公式，结合组合数公式即可求解；
的所有可能取值为，，，，进而可分别求出对应的概率，即可写出分布列，求出期望．
 

20.【答案】解：由得分情况的频率分布表得列联表如下：

，因为，

所以没有的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关．

由分层抽样可得，抽取的女生为人，男生为人，
设女教师有人，则女性共有人，男性有人，
所以恰好一名男性一名女性的概率为，
整理可得，
解得，
所以至少需要名女教师组织网上测试．

【解析】本题考查了独立性检验，离散型随机变量的期望与方差 ，组合与组合数公式 ，属于较难题．
有题中的数据直接能进行填表，再利用独立性检验公式即可得到结果；
结合分层抽样结果，设女教师有人，则女性共有人，男性有人，设女教师有人，则女性共有人，男性有人，
 

21.【答案】解：该同学每次投篮命中的概率都为，且每次投篮是否命中相互独立．
该同学在三次投篮中至少命中次的概率：
．
该同学在次投篮中恰好命中次的概率为，
，
当最大时，


即
解得，
，．
故为时，最大．
 

【解析】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式，对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力．
利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式和对立事件概率计算公式能求出该同学在三次投篮中至少命中次的概率．
，当最大时，，由此能求出为时，最大．
 

22.【答案】解：从十个数字中任取三个不同的数字，共有种，
其中事件“取出的三个数字之和为”包含，，，，，，，，共种，
因而所求概率 ．
 

【解析】本题主要考查了古典概型的简单计算，利用组合求基本事件，考查计算能力，属于基础题．
根据题意从十个数字中任取三个不同的数字，共有种，而符合条件的共有个，由古典概型的公式可得答案．
 

23.【答案】解：由频率分布直方图知，
，
由，解得，
设总共调查了个人，
则专项心理等级为一般的为，解得，
专项心理等级为有隐患的人数为，
即专项心理等级为有隐患的人数为；
依题意，老年人抽人，中青年抽人，
设老年人为，，中青年人为，，，，
从人中再随机抽人，可能有，，，，，，，，，，，，，共种，
至少有一位老年人被抽到的情况有，，，，，，，，共种，概率为，
即至少有一位老年人被列为长期关注对象的概率为
由频率分布直方图可得：
，
估计市民心理健康问卷的平均得分为，
所以市民心理健康指数为，
所以只需发放心理指导材料，不需要举办大讲堂活动．
 

【解析】本题考查了频率分布直方图，古典概型的计算与运用，平均数的计算，属于中档题．
根据频率分布直方图先求出值，再设总共调查了个人，根据，解出值，然后计算专项心理等级为有隐患的人数即可；
先求出老年人抽人，中青年抽人，然后结合组合公式带入概率公式计算即可求解；
先由频率分布直方图可得到平均值，然后求出心理健康指数与比较即可得到结论．