人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征优秀当堂达标检测题

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7.3.1离散型随机变量的均值同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 已知随机变量，满足，，且，则的值为   

A.  B.  C.  D.

2. 已知袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取个球，记取到的红球的个数为，则 

A.  B.  C.  D.

3. 已知随机变量的分布列如下：

若随机变量满足，则的方差

A.  B.  C.  D.

4. 已知离散型随机变量，且，则

A.  B.  C.  D.

5. 随机变量的分布列如下表，且，则等于   

A.  B.  C.  D.

6. 随机变量的分布列如下：

其中，，成等差数列，则

A. 与有关，有最大值 B. 与有关，有最小值
C. 与无关，有最大值 D. 与无关，有最小值

7. 已知随机变量的分布列为则      

A.  B.  C.  D.

8. 节日期间，某种鲜花进货价是每束元，销售价每束元；节日卖不出去的鲜花以每束元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如表所示的分布列

若进这种鲜花束，则利润的均值为

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

9. 已知随机变量满足，，，若，则

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10. 随机变量的分布列如下表所示，若，则     

A.  B.  C.  D.

11. 设，随机变量的分布列是

则当在内增大时，

A. 增大 B. 减小
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小

12. 已知离散型随机变量，的分布列为

则下列说法一定正确的是     

A.  B.  C.  D.

13. 口袋中有相同的黑色小球个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取个小球．表示当时取出黑球的数目，示当时取出黑球的数目．则下列结论成立的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

14. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对名密切接触者的拭子样本进行合并检测，若每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为，且检测次数的数学期望为，则的值为   

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）

15. 设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有

A.  B. ，
C. ， D. ，

16. 下列命题中，正确的命题的是   

A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则；
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
C. 设随机变量服从正态分布，若，则；
D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，X~B(10,0.8)，则当时概率最大．

三、单空题（本大题共1小题，共5.0分）

17. 一个口袋中有个大小相同的球，其中红球个，黄球个，绿球个．现从该口袋中任取个球，设取出红球的个数为，则______．

四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

18. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有名男志愿者，，，，，和名女志愿者，，，，从中随机抽取人接受甲种心理暗示，另人接受乙种心理暗示。

Ⅰ求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率．

Ⅱ用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望．






 

19. 已知随机变量的分布列为

若，，求的值．






 

20. 重庆八中大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：

以这次驾车单程所需时间的频率代替某人次驾车单程所需时间的概率．
求的分布列与；
某天有位教师独自驾车从大学城校区返回本部校区，记表示这位教师中驾车所用时间少于的人数，求的分布列与；
下周某天张老师将驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个分钟的讲座，结束后立即返回大学城校区，求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过分钟的概率．






 

21. 疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了餐、餐两种餐盒经过前期调研，食堂每天备餐时、两种餐盒的配餐比例为为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查若每天抽查个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同．

求抽取的个餐盒中有三个餐的概率；

某天配餐后，食堂管理人员怀疑餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个餐盒查看如果抽出一个是餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是餐盒，则抽样结束规定抽取次数不超过次假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中、餐盒的比例若抽样结束时抽到的餐盒数以随机变量表示，求的分布列与数学期望．






 

22. 某省旅游资源丰富，有红色文化名山和历史文化名山，每年接待大量的全国各地游客为提高服务水平，给游客留下良好印象，政府鼓励大家下次携亲朋好友再次来游玩，现对已游览红色文化名山的游客下面简称游客进行随机问卷调查若不再去红色文化名山记分，若继续去红色文化名山记分每位游客再去红色文化名山的概率均为，且游客之间的选择意愿相互独立．

从游客中随机抽取人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望

若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前项和．






 

23. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现三次音乐获得分，没有出现音乐则扣除分即获得分设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
    设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；
    玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
    玩过这款游戏的许多人都发现若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
    
    
    
    
    
    
     
24. 某地已知名疑似病人中有人感染病毒，需要通过血液检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染，拟采用两种方案检测：方案甲；将这名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这名疑似病人随机分成组，每组人先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．

求甲方案所通检测次数和乙方案所需检测次数的概率分布；

如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．






 

25. 目前共享单车基本覆盖饶城市区，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占，骑行过共享单车的人数中，有是学生含大中专、高职及中学生，若市区人口按万计算，学生人数约为万．
    任选出一名学生，求他她骑行过共享单车的概率；
    随着单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，如表是本市某组织累计投放单车数量与乱停乱放单车数量之间关系图表：

计算关于的线性回归方程其中精确到，值保留三位有效数字，并预测当时，单车乱停乱放的数量；
已知信州区、广丰区、上饶县、经开区四区中，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准，在“大美上饶”活动中，检查组随机抽取两个区调查单车乱停乱放数量，表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求的分布列和数学期望．
参考公式和数据：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，，

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二项分布的概率及方差的计算，是基础题．
由得，根据求出，从而求得，再根据即可求解．
【解答】
解：由得，
又所以，解得
所以
由得
所以．
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
由题意知的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望．
本题考查离散型随机变量的数学期望，是基础题，解题时要注意概率的求法和应用．
【解答】
解：由题意知的可能取值为，，，
，
，
，
，
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：由题意可知，，所以，
所以数学期望，
方差，
因为，
所以，
故选：．
根据题意，求出的值，再分别计算出的数学期望与方差，然后根据，即可求出．
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望与方差，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的灵活运用．
利用二项分布的性质，由，能求出结果．
【解答】
因为，所以．
又，
所以．
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．
由随机变量的分布列及，列方程组求出，，由此能求出．
【解答】
解：先由随机变量分布列的性质求得，
由，得，
所以．
故选C．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的运用以及方差的计算，等差数列性质，运用二次函数求最值，属于较难题．
根据，，成等差数列，得到，再根据，两者联立可得，，进而表示出，进而表示出，然后变形分析即可求解．
【解答】
解：，，成等差数列，
，，
又，，
由联立得：，，则，

，


，
故的取值与无关，当时，有最大值，
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，考查计算能力，属于基础题．
求出分布列的期望，然后再利用公式求解方差．
【解答】
解：随机变量的分布列为，，，，．
可得．
所以 ．
则．
故选D．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．
先求出因为，利润的均值为元．

【解答】解：因为，
所以利润的均值为元，
故选A．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
由已知得，，求出，，从而求出，，由此能求出结果．
【解答】
解：随机变量满足，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选A．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识考查运算求解能力，是基础题．
由，求出的值，又根据，求出，进而求解．
【解答】
解：，，
又，，
，
．
故选B．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列和方差，属于一般题．
先求出期望，由方差公式得，再利用二次函数的性质即可求解．
【解答】
解：由题意，得，
则

若，则由二次函数的性质可知在递增，在递减，
故选D．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列、期望与方差，属于中档题．
由表可知，再分别求得、、，可比较得结论．
【解答】
解：由表可知，所以，，
，
当时，；当时，，所以选项A，不符合题意；
，，
同理，，
故D，
故选D．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
分别求出，的期望和方差，比较即可得答案．
【解答】
解：由题意得当时，的可能取值为，，．
且，
，

所以的分布列为

，
当时，的可能取值为，，
且，
，
，
，
所以的分布列为

，
所以，
故选A．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了离散型随机变量的期望，二项分布，属于较易题检测次数取值为，，求出对应的概率，数学期望，解得结果．
【解答】
解：若合并检测，检测次数取值为，，
对应的概率分别为，，
数学期望为，
由，
解得，
故选A．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的分布列及期望方差的计算．
先计算的值，然后考虑、的值，最后再计算、的值．

【解答】

解：因为，所以，故A正确；

又，

，故C正确；因为，所以，，故D正确．

故选ACD．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二项分布的期望与方差，以及二项分布的概率．
对于直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可；对于根据方差公式可知方差恒不变；对于根据正态分布的性质进行求解；对于根据二项分布的概率的性质进行求解判断即可．
【解答】
解：，随机变量服从二项分布，
若，，可得
则，故A错误；
，根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，为常数，故正确；
，随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若则
即，
故C正确；
，因为在次射击中，击中目标的次数为，，
对应的概率，
当时，，
由，得，即，
因为，所以且，
即时，概率最大，故选项D正确．
故选BCD．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查离散型随机变量的期望，属于中档题．
分析可知可能取的值为，，，，求出相应的概率，然后由期望的公式求解即可．
【解答】
解：由题意知，可能取的值为，，，，
，
，
，
，

则．

故答案为．

18.【答案】解：Ⅰ记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，
则．
Ⅱ的可能取值为：，，，，，
，
，
，
，
．
的分布列为

的数学期望．

【解析】本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望，属于中档题．
Ⅰ利用组合数公式计算概率；
Ⅱ使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
 

19.【答案】解：由分布列的性质，得，即，
所以．

则，

即，
解得．

【解析】本题考查了随机变量的分布列与数学期望，属于基础题．
根据求解的值即可．
 

20.【答案】解：以频率估计频率得的分布列为：

分钟，
．
，．

．
设，分别表示往返所需时间，设事件表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过分钟”，则
．
 

【解析】以频率估计频率，即可取得的分布列．求出期望，得到概率即可．
判断分布列是二项分布，然后列出分布列求出期望．
设，分别表示往返所需时间，设事件表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过分钟”，则求解即可．
本题考查二项分布以及随机变量的分布列，期望的求法，考查转化思想以及计算能力．
 

21.【答案】依题意，随机地抽取一个餐盒得到餐盒的概率为，
用表示“抽取的个餐盒中餐盒的个数”，
则服从二项分布，即，

其中有三个餐盒的概率．

的可能取值为：，，，，．

，，，，

．

所以的分布列为

的数学期望为：

，

，

得，

．

即的数学期望为．

【解析】本题考查了二项分布、离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望，是较难题．
由题意得用表示“抽取的个餐盒中餐盒的个数”，则服从二项分布，即∽，可得抽取的个餐盒中有三个餐的概率；
由题意得的可能取值为：，，，，得出对应的概率，可得的分布列与数学期望，由错位相减求和可得结果．
 

22.【答案】解：可能取值为，，，，
，
，
，
．
故的分布列为：

．
总分恰为的概率，
故数列的前项和．
 

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查数列的前项和的求法，考查数列的通项公式的求法以及等比数列求和公式，考查运算求解能力，属中档题．
随机变量的所有可能的取值为，，，，分别求出每一个值对应的概率，即可求出的分布列和数学期望
从游客中随机抽取人，总分恰为分说明抽出的游客都不去红色文化名山，再根据每位游客去红色文化名山的概率均为，根据相互独立事件的概率乘法公式，即可得到的表达式，进而得到数列的前项和
 

23.【答案】解可能的取值为，，，．
根据题意，有
，
，
，
．
所以的分布列为：

设“第盘游戏没有出现音乐”为事件，
则，
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是．
的均值为：
．
这表明，获得分数的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
 

【解析】本题主要考查概率以及离散型随机变量的分布列及数学期望，对立事件概率的计算，属于中档题．
根据题意得出的所有可能取值，再求出对应的概率，即可求的分布列
先求出三盘游戏都没有出现音乐的概率，再根据对立事件即可求出至少有一盘出现音乐的概率
计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．
 

24.【答案】解：由题意可知的可取值为：，，，，，
，，，
，，
所以的分布列为：

由题意可知的可取值为：，，
包含两种情况：“检测第一组呈阳性，检测该组第一个人呈阳性”、“检测第一组呈阴性，检测另一组第一个人呈阳性”，
所以，，
所以的分布列为：

设每次的检测费用为，方案甲的检测费用为，方案乙的检测费用为，
所以，
所以，
所以，故方案乙检测总费用较少．
 

【解析】本题考查了分布列与数学期望的求解，解题的关键是掌握它们的求解方法以及求解公式，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
先分别分析，的可取值，然后计算出不同，取值对应的概率，由此可得概率分布；
根据概率分布分别计算出两种方案的检测总费用的期望值，由此进行比较并判断出哪种方案的检测总费用较少．
 

25.【答案】解：骑行单车的学生人数为，
故任选一学生骑行过单车的概率为．
由题意得，，
，
，
故所求回归方程为，
当时，，
故单车投放累计辆时，乱停乱放的单车数量为．
的取值为，，，
，
，
，
的分布列为：

．
 

【解析】骑行单车的学生人数为，由此能求出任选一学生骑行过单车的概率．
由题意得，，求出回归方程为，由此能求出单车投放累计辆时，乱停乱放的单车数量．
的取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
本题考查概率的求法，考查回归方程的应用，考查离散型随机事件概率分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、排列组合性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．