初中数学北师大版九年级上册第三章 概率的进一步认识综合与测试练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册第三章 概率的进一步认识综合与测试练习题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三章《概率的进一步认识》检测卷（一）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．一只蚂蚁在如图所示的树上觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，它获得食物的概率是（　　）

A． B． C． D．
2．下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ）

A． B． C． D．1
3．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
4．在一个不透明的布袋中装有50个红、蓝两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则布袋中蓝球可能有（ ）
A．35个 B．20个 C．30个 D．15个
5．小明要给刚结识的朋友小林打电话，他只记住了电话号码的前8位数字，后3位是3，6，8三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得数据如下表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．200 B．300 C．500 D．800
7．掷一颗质地均匀的骰子2400次，向上一面的点数为3点的次数大约是（ ）
A．400次 B．600次 C．1200次 D．2400次
8．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球、3个白球，若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到绿球的概率稳定在0.2，则袋中的绿球数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．图2是由图1的窗户抽象出来的平面图形，半圆的直径与长方形的宽相等，此平面图形的对称轴与半圆的直径将图形分成四个部分，半圆的圆心点处有一任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，则指针指向阴影部分的概率是（ ）

A． B．
C． D．因为长方形的长未知，所以概率不确定
10．先后随机抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次掷出的点数记为，第二次掷出的点数记为，则使关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（每小题4分，共28分）
11．盒中有1枚白色棋子和1枚黑色棋子，这两枚棋子除颜色外无其他差别，从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，放回后，再从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，那么两次记录的颜色都是黑色的概率是________．
12．在一个不透明的口袋中装有4个只有颜色不同的球，其中红球1个，白球2个，黄球1个，搅匀后随机摸出两个球，恰好都是白球的概率是________________
13．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%左右，那么估计盒子中小球的个数_________．
14．某校举行以“学党史，感党恩，听党话，跟党走”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是____________．
15．两位同学进行投篮，甲同学投20次，投中15次；乙同学投15次，投中9次，命中率高的是__________．
16．在一个不透明的盒子中装有3张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，搅匀，再随机抽出一张卡片，则两次抽取的数字之和为偶数的概率是________________．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：
（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是　　（精确到0.01），黄球有　　个；
（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．
摸球次数
80
180
600
1000
1500
摸到白球次数
21
46
149
251
371
摸到白球的概率
0.2625
0.256
0.2483
0.251
0.247




18．审美教育是我校特色．京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．

19．某校准备从八年级（1）班、（2）班的团员中选取两名同学作为十四运的志愿者，已知（1）班有5名团员（其中男生3人，女生2人），（2）班有4名团员（其中男生1人，女生3人）．
（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为______；
（2）如果分别从（1）班、（2）班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率．









20．已知不等式组
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为非负数的概率．









四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．已知一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个黑球．
（1）从中随机抽取出一个黑球的概率是　　；
（2）随机摸取一个小球不放回，再随机摸出一个小球．请用列表法（或画树状图法），求两次取出的小球颜色相同的概率；
（3）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．








22．在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形是菱形；②四边形有一个内角是直角；③四边形的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是__________；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形一定是正方形的概率．









23．某阅读网站现开通了A、B、C、D这4本书的免费下载权限，每位用户可免费下载其中2本阅读．
（1）求甲用户选择下载的2本书是A、B的概率；
（2）甲、乙两个用户选择下载的2本书均不相同的概率是 ．






五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

24．某校数学兴趣小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中的的值及话题所在扇形的圆心角的度数；
（3）该兴趣组决定从这五个话题中随机抽取两个话题，然后收集相关知识进行深度学习，请用列表法或树状图求恰好抽中“话题”和“话题”的概率．




参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．一只蚂蚁在如图所示的树上觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，它获得食物的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先观察图，可得共有9种等可能的结果，它获得食物的有3种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：∵共有9种等可能的结果，它获得食物的有3种情况，
∴它获得食物的概率是：
．
故选：A．
【点睛】
此题考查了树状图法与列表法求概率．此题比较简单，注意掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ）

A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
先判断出几个图形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．
【详解】
解：由图形可得出：第1，2，3个图形都是中心对称图形，
∴从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是：．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了概率计算公式，熟练掌握中心对称图形的定义和概率的计算公式是解题的关键．
3．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【答案】C
【分析】
根据摸到白球的频率约为30%，用6除以30%得到总球数，再计算求解即可．
【详解】
解：∵摸到白球的频率约为30%，
∴不透明的袋子中一共有球为：6÷30%=20（个），
黑球有20-6=14（个），
故选：C．
【点睛】
本题考查了用频率求总体，解题关键是明确频率的意义，求出总共有多少个球．
4．在一个不透明的布袋中装有50个红、蓝两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则布袋中蓝球可能有（ ）
A．35个 B．20个 C．30个 D．15个
【答案】A
【分析】
在同样条件下大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，由此可得摸到蓝球的概率为0.7，然后进一步计算即可.
【详解】
蓝球的个数=50×0.7=35（个），
所以答案为A选项.
【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率进行计算，熟练掌握相关方法是解题关键.
5．小明要给刚结识的朋友小林打电话，他只记住了电话号码的前8位数字，后3位是3，6，8三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据概率公式进行求解，用1除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
解：因为后3位是3，6，8三个数字的某一种排列顺序，
所以顺序可以是：3，6，8；3，8，6；6，3，8；6，8，3；8，6，3；8，3，6；共6种情况，而正确的只有1种，
故第一次就拨通电话的概率是：；
故选B．
【点睛】
此题考查列举法求概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝.
6．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得数据如下表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．200 B．300 C．500 D．800
【答案】C
【分析】
随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【详解】
解：∵正面朝上的频率接近于0.5，
∴若抛掷硬币的次数为1000，
则“正面朝上”的频数最接近，
故选C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．
7．掷一颗质地均匀的骰子2400次，向上一面的点数为3点的次数大约是（ ）
A．400次 B．600次 C．1200次 D．2400次
【答案】A
【分析】
先根据一颗质地均匀的骰子的特点求出掷一次向上点数为3的概率，再求出掷2400次向上一面的点数为3点的次数即可．
【详解】
解：掷一颗骰子有6种情况，3为其中一种，
因此掷一次向上点数为3的可能为，
掷2400次，只要用2400乘以即可，即2400×=400次．
故选A．
【点睛】
本题考查的是频数与频率的知识，用到的知识点为：向上一面的点数为3点的次数＝掷一次向上一面的点数为3点的概率×总次数．
8．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球、3个白球，若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到绿球的概率稳定在0.2，则袋中的绿球数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】
根据绿球个数总数=0.2，设绿色的球有个，根据题意，列分式方程，解分式方程，检验，即可解题．
【详解】
解：设绿色的球有个，根据题意得，


经检验，是原分式方程的解，
即袋中有3个绿球，
故选：A．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，涉及解分式方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．图2是由图1的窗户抽象出来的平面图形，半圆的直径与长方形的宽相等，此平面图形的对称轴与半圆的直径将图形分成四个部分，半圆的圆心点处有一任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，则指针指向阴影部分的概率是（ ）

A． B．
C． D．因为长方形的长未知，所以概率不确定
【答案】A
【分析】
指针转一圈360°，阴影部分的，占整个圆周的，根据概率公式计算即可．
【详解】
解：指针指向阴影部分的概率是，
故选：A．
【点睛】
本题考查简单的概率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．先后随机抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次掷出的点数记为，第二次掷出的点数记为，则使关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
列表展示所有36种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到△≥0，从而得到使得一元二次方程ax2-6x+c=0有相等实数解的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：列表得：
乘积
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
∴一共有36种等可能情况，
∵b=6，当b2-4ac≥0时，有实根，即36-4ac≥0有实根，
∴ac≤9，
∴方程有实数根的有17种情况，
∴方程有实数根的概率=，
故选：B．
【点睛】
本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，是一个综合题，解题的关键是对于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度．

第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．盒中有1枚白色棋子和1枚黑色棋子，这两枚棋子除颜色外无其他差别，从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，放回后，再从中随机摸出一枚棋子，记录其颜色，那么两次记录的颜色都是黑色的概率是________．
【答案】
【分析】
根据列表可知有4种可能，再由表格可知两次记录的颜色都是黑色的情况有1种，最后由概率公式计算即可．
【详解】
根据题意可列出表格：
第一次
第二次
黑
白
黑
黑、黑
黑、白
白
黑、白
白、白
由表格可知有4种可能，其中两次记录的颜色都是黑色的有1种，
∴两次记录的颜色都是黑色的概率是．
故答案为．
【点睛】
本题考查利用画树状图或列表法求概率．正确的画出树状图或列出表格是解答本题的关键．
12．在一个不透明的口袋中装有4个只有颜色不同的球，其中红球1个，白球2个，黄球1个，搅匀后随机摸出两个球，恰好都是白球的概率是_____________
【答案】
【分析】
画树状图找出所有出现的情况，以及抽出两个球都是白球的情况，然后利用概率公式求解 ．
【详解】
解：一个不透明的布袋装有4个只有颜色不同的球，搅匀后从布袋里摸出2个球，所有情况共有12中，其中白球只有2个，抽出2个都是白球的情况2种，


搅匀后随机摸出两个球，恰好都是白球的概率是P=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查画树状图或列表求概率，掌握概率的意义，树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
13．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%左右，那么估计盒子中小球的个数______．
【答案】20
【分析】
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．
【详解】
解：根据题意得：6÷n×100％＝30%，解得n＝20，
所以这个不透明的盒子里大约有20个除颜色外其他完全相同的小球．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
14．某校举行以“学党史，感党恩，听党话，跟党走”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是___．
【答案】
【分析】
利用画树状图分析所有等可能的结果，再求甲、乙同学获得前两名的概率．
【详解】
解：画树状图如下：

获得前2名的情况共有12种，甲、乙同学获得前两名的概率是：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．两位同学进行投篮，甲同学投20次，投中15次；乙同学投15次，投中9次，命中率高的是__________．
【答案】甲同学
【分析】
计算出两位同学的命中率并比较它们的大小即可判断谁的命中率高．
【详解】
甲同学的命中率为，
乙同学的命中率为，且，
故甲同学的命中率高．
故答案为：甲同学．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率，掌握频率的求法是问题的关键．
16．在一个不透明的盒子中装有3张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，搅匀，再随机抽出一张卡片，则两次抽取的数字之和为偶数的概率是________________．
【答案】．
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是偶数的有5种情况，
∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：
（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是　　（精确到0.01），黄球有　　个；
（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．
摸球次数
80
180
600
1000
1500
摸到白球次数
21
46
149
251
371
摸到白球的概率
0.2625
0.256
0.2483
0.251
0.247

【答案】（1）0.25；2；（2）
【分析】
（1）根据用频率估计概率的方法即可得到结论；（2）根据列表法即可得到结论．
【详解】
解：（1）从表中可看出，随着摸球次数的增加，摸到白球的概率越来越接近0.25．
∴估计摸到白球的概率约为0.25．
∴口袋中乒乓球总数为：1÷0.25＝4．
∴黄球的个数为4﹣1﹣1＝2．
∴估计有2个黄色的乒乓球．
故答案为：0.25；2．
（2）记一红一黄为“√”，其余记为“╳”，列表：

∴同时摸出2个球时，共有12种等可能的结果，而“一红一黄”有4种结果．
∴P（一红一黄）＝＝．
【点睛】
本题考查了估算概率和列表法或树状图求概率等知识点，熟知求概率的方法和公式是解题的基础．
18．审美教育是我校特色．京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．

【答案】
【分析】
根据树状图可直接进行求解概率．
【详解】
解：由题意可得如下树状图：

∴抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率为．
【点睛】
本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
19．某校准备从八年级（1）班、（2）班的团员中选取两名同学作为十四运的志愿者，已知（1）班有5名团员（其中男生3人，女生2人），（2）班有4名团员（其中男生1人，女生3人）．
（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为______；
（2）如果分别从（1）班、（2）班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用概率公式计算即可；
（2）根据题意列出表格，利用概率公式即可求解．
【详解】
解：（1）这两个班的全体团员共有9名，其中男生有4名，
∴随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为：；
（2）列表如下：

男
男
男
女
女
男
男，男
男，男
男，男
男，女
男，女
女
女，男
女，男
女，男
女，女
女，女
女
女，男
女，男
女，男
女，女
女，女
女
女，男
女，男
女，男
女，女
女，女
由表格可知共有20种情况，其中一男一女的共有11种，
∴这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率为．
【点睛】
本题考查求概率，掌握概率公式、列举法求概率是解题的关键．
20．已知不等式组
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为非负数的概率．
【答案】（1）﹣2＜x≤2，它的所有整数解为：﹣1，0，1，2；（2）
【分析】
（1）按照解不等式的方法，分别求出两个不等式的解，然后写出解集并写出符合条件的整数解即可；
（2）将（1）中的整数解根据题意列出树状图，然后根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1），
由①得：x＞﹣2，由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，
∴它的所有整数解为：﹣1，0，1，2；
（2）根据题意，画树状图得：

乘积分别为：0 -1 -2 0 0 0 -1 0 2 -2 0 2
∵共有12种等可能的结果，积为非负数的有8种情况，
∴积为非负数数的概率为：P=．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组以及画树状图或表格法求概率，掌握不等式组的解法以及画树状图或表格法的方法是解题关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

21．已知一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个黑球．
（1）从中随机抽取出一个黑球的概率是　　；
（2）随机摸取一个小球不放回，再随机摸出一个小球．请用列表法（或画树状图法），求两次取出的小球颜色相同的概率；
（3）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．
【答案】（1）；（2）两次取出的小球颜色相同的概率为；（3）y＝2x+1．
【分析】
（1）根据概率计算公式进行计算即可得到答案；
（2）用列表法列出所有的可能性，然后找到两次相同颜色的可能结果，计算出概率即可；
（3）根据概率的计算公式，求出两者的函数关系式即可.
【详解】
解：（1）∵一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个黑球，
∴从中随机抽取出一个黑球的概率是
故答案为：；
（2）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，两次取出的小球颜色相同的结果有8种情况，
∴两次取出的小球颜色相同的概率为： ；
（3）依题意得：
整理得：y与x之间的函数关系式为y＝2x+1．
【点睛】
本题主要考查了简单的概率计算，列树状图求概率，求函数关系式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22．在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形是菱形；②四边形有一个内角是直角；③四边形的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是__________；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形一定是正方形的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据等可能事件的概率公式，直接求解，即可；
（2）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解．
【详解】
解：（1）3支签中任意抽出1支签，抽到条件①的概率=1÷3=，
故答案是：；
（2）画出树状图：

∵一共有6种等可能的结果，四边形一定是正方形的可能有4种，
∴四边形一定是正方形的概率=4÷6=．
【点睛】
本题主要考查等可能事件的概率，熟练画出树状图是解题的关键．
23．某阅读网站现开通了A、B、C、D这4本书的免费下载权限，每位用户可免费下载其中2本阅读．
（1）求甲用户选择下载的2本书是A、B的概率；
（2）甲、乙两个用户选择下载的2本书均不相同的概率是 ．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）画树状图，共有12种等可能的结果，甲用户选择下载的2本书是A、B的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有36种等可能的结果，甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可；
【详解】
解：（1）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲用户选择下载的2本书是A、B的结果有2种，
∴甲用户选择下载的2本书是A、B的概率为；
（2）甲用户选择下载的2本书共有6种结果：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC），分别记为：a、b、c、d、e、f，
乙户选择下载的2本书共有6种结果：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC），
画树状图如图：

共有36种等可能的结果，甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的结果有6种，
即AB、CD，AC、BD，AD、BC，BC、AD，BD、AC，CD，AB，
∴甲、⼄两个用户选择下载的2本书均不相同的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．某校数学兴趣小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中的的值及话题所在扇形的圆心角的度数；
（3）该兴趣组决定从这五个话题中随机抽取两个话题，然后收集相关知识进行深度学习，请用列表法或树状图求恰好抽中“话题”和“话题”的概率．
【答案】（1）见解析；（2）的值为25，话题所在扇形的圆心角的度数为；（3）0.1
【分析】
（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数；然后可以计算出选择和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）由的人数除以抽查人数求出a的值，再由360°乘以D所占的比例即可；
（3）根据题意列表，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）抽查人数：（人），
组人数：（人），
组人数：（人），

（2）∵，
∴，
（度），
∴的值为25；话题所在扇形的圆心角的度数为．
（3）列表如下：
话题



































从表中看出，共有20种等可能的结果，抽中话题、组合的占2种，所以所求概率．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．