河北省2022届高三上学期数学9月大联考试卷

这是一份河北省2022届高三上学期数学9月大联考试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三上学期数学9月大联考试卷一、单选题1.已知集合 ， ，则 （    ）            A.
B.
C.
D.2.下列四个向量中，与向量 共线的是（    ）            A.
B.
C.
D.3.2021年7月，中国青年报社社会调查中心通过问卷网，对2047名14~35岁青少年进行的专项调查显示，对于神舟十二号航天员乘组出征太空，98.9%的受访青少年都表示了关注．针对两个问题“关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题1）”和“青少年最关注哪些方面（问题2）”，问卷网统计了这2047名青少年回答的情况，得到如图所示的两个统计图，据此可得到的正确结论为（    ）  A.对于神舟十二号太空之旅，只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的
B.对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过七成的受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目
C.对于神舟十二号太空之旅，青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活
D.对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步4.若虚数z满足 ，则 （    ）            A.
B.2
C.4
D.0或25.已知函数 ， ，则（    ）            A.为奇函数， 为偶函数
B.为奇函数， 为偶函数
C.为奇函数， 为偶函数
D.为奇函数， 为偶函数6.若 ， ，则 （    ）            A.
B.
C.
D.7.含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品．海藻中的碘80%为无机碘，10%~20%为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点．某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布 ，某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为（    ）            A.
B.
C.
D.8.已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点P  ， Q是C上位于x轴上方的任意两点，且 ．若 ，则C的离心率的取值范围是（    ）            A.
B.
C.
D.二、多选题9.若直线 与圆 相切，则（    ）            A.
B.数列 为等差数列
C.圆C可能经过坐标原点
D.数列 的前10项和为2310.“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为 的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为 ，高为 （不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为 的半球的体积，则（    ）（参考数据： ）    A.这两碗馅料最多可包三角粽35个
B.这两碗馅料最多可包三角粽36个
C.这两碗馅料最多可包竹筒粽21个
D.这两碗馅料最多可包竹筒粽20个11.设函数 （ ， ）在一个周期内的图象经过 ， ， ， 这四个点中的三个点，则（    ）            A.
B.
C.
D.12.设 ， ， ， ，则（    ）            A.
B.
C.
D.三、填空题13.的展开式中 的系数为       ．    14.已知双曲线 的渐近线方程为 ， ， 分别是C的左、右焦点，P为C右支上一点．若 ，则        ．    15.曲线 在点 处的切线与曲线 的另一个公共点为 ，则        ．    16.在棱长为3的正方体 中，E  ， F  ， G分别为棱BC  ，  ， 上一点， ，且 平面 ．当三棱锥 的体积取得最大值时，三棱锥 的侧面积为        ，  与平面 所成角的正切值为       ．    四、解答题17.a  ， b  ， c分别为 内角A  ， B  ， C的对边．已知 ， ．    （1）若 ，求 ；    （2）若 ，求b ．     18.甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件，在10天中，甲、乙机床每天生产的次品数如下表所示：   第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天甲0102233120乙2411021101（1）若从这10天中随机选取1天，设甲机床这天生产的次品数为X  ， 求X的分布列；    （2）已知丙机床这10天生产次品数的平均数为 ，方差为 ．以平均数和方差为依据，若要从这三台机床中淘汰一台，你应该怎么选择？这三台机床你认为哪台性能最好？    19.如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 为棱 上一点， 底面 ．  （1）证明： ；    （2）若 ， ，求二面角 的大小．    20.已知数列 ， 满足 ，且 是公差为1的等差数列， 是公比为2的等比数列.    （1）求 ， 的通项公式；    （2）求 的前n项和 .    21.已知函数 ．    （1）从① ，② 这两个条件中选择一个，求 零点的个数；    （2）若 ，讨论函数 的单调性．  注：若第（1）问选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．22.已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线 与E相切．    （1）求E的方程；    （2）设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A  ， B  ， 直线AB的斜率存在，且直线PA  ， PB与y轴分别交于C  ， D两点．  ①证明： ．②试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分一、单选题1.【答案】 B   【解析】【解答】解： 或 ， 又 ，所以 .故答案为：B. 
【分析】 通过解一元二次不等式求出A,再利用交集的概念求解.2.【答案】 C   【解析】【解答】解：对于A，因为 ，故向量 与向量 不共线； 对于B，因为 ，故向量 与向量 不共线；对于C，因为 ，故向量 与向量 共线；对于D，因为 ，故向量 与向量 不共线；故答案为：C. 
【分析】用向量共线的性质直接求解即可。3.【答案】 C   【解析】【解答】A，对于神舟十二号太空之旅，关注航天员是怎样选的占 ，不是极少数，A不符合题意； B，对于神舟十二号飞行乘组出征太空，受访青少年认为开启空间站新时代占 ，没有超过七成，B不符合题意；C，对于神舟十二号太空之旅，青少年关注航天员在太空的工作和生活的比值最大，因此青少年关注最多，C符合题意；D，对于神舟十二号飞行乘组出征太空，受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步占 ，没有超过八成，D不符合题意.故答案为：C 
【分析】根据两个统计图表直接分析数据即可得解。4.【答案】 B   【解析】【解答】设 ，则 ， ，所以 ，所以 ，由z 为虚数，解得 （舍）或 ，所以 ，故答案为：B 
【分析】 设出复数，写出复数对应的共轭复数的式子，把设出的结果代入等式中，合并同类项，写成复数的标准形式，利用复数的相等的充要条件，写出a和b的值，得到结果.5.【答案】 D   【解析】【解答】 ， ，定义域为 ，定义域不关于原点对称，故 既不是奇函数又不是偶函数； ，定义域为 ，定义域关于原点对称，令 ，且 ，所以 为奇函数；， 既不是奇函数又不是偶函数； 为偶函数.故答案为：D. 
【分析】 由已知的解析式先求出 ,f(x+1),g(x+ 1),g(x- 1),然后由奇偶性的定义判断即可.6.【答案】 B   【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ，所以 .故答案为：B. 
【分析】 根据二倍角公式和两角差的正切公式即可求出.7.【答案】 A   【解析】【解答】解：因为某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布 ，所以每袋盐超过400克的概率为0.5，不超过400克的概率为0.5， 则有0袋盐超过400克的概率为 ，有1袋盐超过400克的概率为 ，所以至少有2袋的质量超过400克的概率为 .故答案为：A. 
【分析】 由X服从正态分布N (400, 4)，可知每袋的质量超过400克的概率为0.5，再根据独立重复试验计算概率即可得解.8.【答案】 C   【解析】【解答】由点P  ， Q是C上位于x轴上方的任意两点， 延长 交椭圆另一交点为 ，由 再结合椭圆的对称性，易知 ，所以 ，由椭圆过焦点的弦通径最短，所以当 垂直 轴时， 最短，所以 ，所以 ，解得 .故答案为：C 
【分析】 利用椭圆的对称性，表示出只需要， 再利用椭圆的焦点弦通径最短，即可求出a和b的关系，求出椭圆离心率的取值范围.二、多选题9.【答案】 B,C,D   【解析】【解答】解：由圆 ，则圆心 ，半径为 ， 因为直线 与圆 相切，所以圆心 到直线 的距离为 ，即 ，则 ，A不符合题意；所以 ，则 ，所以 是以 为公差的等差数列，B符合题意；将 代入 ，解得 ，则 ，解得 ，所以当 时，圆C经过坐标原点，C符合题意；设数列 的前n项和为 ，则 ，所以 ，D符合题意.故答案为：BCD. 
【分析】 利用直线与圆相切，得到， 由n = 1即可判断选项A,由等差数列的定义即可判断选项B,由n = 4即可判断选项C，由等差数列前n项求和公式即可判断选项D。10.【答案】 A,C   【解析】【解答】解：两碗馅料得体积为： ， 如图，在正四面体 中，CM为AB边上得中线，O为三角形ABC的中心，则OD即为正四面体的高，， ， ，所以正四面体的体积为 ，即一个正四面体状的三角粽的体积为 ，因为 ，所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，A符合题意，B不符合题意；一个圆柱状竹筒粽得体积为 ，因为 ，所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，C符合题意，D不符合题意.故答案为：AC. 
【分析】 根据题意,求出馅料的体积之和以及三角粽、圆柱状竹筒粽的体积，进而计算可得答案.11.【答案】 A,D   【解析】【解答】 在一个周期内的图象经过 四个点中的三个点，设 的最小正周期为 ， 若 过 时， ， ，由三角函数的图象性质应有 ，故该情况不存在；若 过 时， ， ，由三角函数的图象性质应有 ， ，显然 ，故该情况不存在；若 过 时， ， ，由三角函数的图象性质应有 ，故该情况不存在；若 过 时， ， ，由三角函数的图象性质应有 ， ，则满足 ，故该情况存在，所以 ，即 ，则 ，，，解得 ，即 ，， .故答案为：AD. 
【分析】 利用正弦型函数一个周期内的图象经过A, B,C, D这四个点的坐标，求出函数的最小正周期，得到函数的解析式，再求出φ的值.12.【答案】 A,C,D   【解析】【解答】对A， ， 现比较 和 的大小，由 ，所以 ，即 ，可得 ，A符合题意；对B，由 ，所以 ，所以 ，B不符合题意；对C，由 ，则 ，所以 ，C符合题意；对D，由C知 ，而 ，故 ，D符合题意，故答案为：ACD 
【分析】 利用指数函数,对数函数的单调性求解即可.三、填空题13.【答案】 -56   【解析】【解答】 的展开式通项为 ， 令 ，可得 ，因此，展开式中 的系数为 .故答案为：-56. 
【分析】 由二项式展开式的通项即可求解.14.【答案】 3   【解析】【解答】由题意可得 ，解得 ，且 所以 ，又 ， 分别是C的左、右焦点，P为C右支上一点，，所以 .故答案为：3 
【分析】 利用双曲线渐近线方程可得m，结合由， 可得|PF2|.15.【答案】 10   【解析】【解答】解：由 ，则 ， 当 时， ，即曲线 在点 处的切线得斜率为3，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，联立 ，消y得 ，即 ，所以 ，解得 或2，所以 ，所以 .故答案为：10. 
【分析】 求得的导数,可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线的方程，与联立,解方程可得所求和. 16.【答案】 ；【解析】【解答】设 ，因为 ，所以 ， 则三棱锥 的体积 ，当 时，三棱锥 的体积取得最大值为 ，则三棱锥 的侧面积为 ；以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设 ,则 ,则 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ,即 ，令 ，则 ，即 ，平面 ， ，解得 ，则 ,可知平面 的一个法向量为 ，设 与平面 所成角为 ，则 ，则 ，所以 .故答案为： ； . 
【分析】设 ， 表示出三棱锥 的体积即可求出三棱锥 的体积取得最大值时m，进而求出侧面积，以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用平面 ， 求出点G位置，即可利用向量关系求出。四、解答题17.【答案】 （1）解：由正弦定理 ，可知 ，  所以 等价于 ，又 ，所以 ，所以 ，由余弦定理可知： ，所以 ，所以（舍）或 .
（2）若 ，则A为锐角，所以有 ， ， ，由正弦定理 可知： 【解析】【分析】 (1 )利用正弦定理化角为边，得 ， 从而求出cos A的值，再结合余弦定理，得解；
(2)由B> A, 知  ,再结合二倍角公式求得sin B的值，然后由正弦定理，得解.18.【答案】 （1）由已知可得X的取值有：0，1，2，3， ， ， ， ，∴  随机变量X的分布列为：X0123P 
（2）机器甲，乙，丙的平均数为分别为 ，机器甲，乙，丙的方差为分别为 ，则 ，  ，∴   乙机器生产的次品数的平均数最小，甲机器和丙机器的次品数的平均数大致相当，但从方差来看甲机器的产品的稳定性更好，∴  若需淘汰一台机器，我选择淘汰丙机器，三台机器中乙机器的性能最好.【解析】【分析】 (1)由题意可得，X的所有可能取值为0, 1, 2，3,分布求出对应的概率，即可求出X的分布列；
(2)根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解.19.【答案】 （1）因为四边形 为矩形，则 ，  平面 ， 平面 ，则 ，， 平面 ，平面 ，因此， ；
（2）平面 ，不妨以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：  、 、 、 ，设平面 的法向量为 ， ， ，由 ，取 ，可得 ，设平面 的法向量为 ， ，由 ，取 ，可得 ，所以， ，由图可知，二面角 的平面角为钝角，因此，二面角 的大小为 .【解析】【分析】 (1)由PE⊥底面ABCD,得PE⊥AB,再由ABCD为矩形，得AB⊥AD,由直线与平面垂直的判定可得 平面 ， 从而得到AB⊥PD；
(2)以E为为坐标原点,分别以ED、EP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD的法向量与平面PBC的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B- PC一D的大小.20.【答案】 （1）因为 是公差为1的等差数列， ，所以 .  又 是公比为2的等比数列， ，所以 ，故 .
（2）因为 ，所以 为递增数列，  又 ， ， ，故当 时，恒有 ，故 记 的前n项和为 ，则 .当 时， ；当 时， .综上， .【解析】【分析】 (1 )利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
(2)先研究数列 单调性,对n分类讨论，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.21.【答案】 （1）选①，当 时， ， ，  令 ，则 ，所以 在 上是单调递增函数，设 为 的根，由 ， ，所以 ，当 时 ， 单调递减，当 时 ， 单调递增，所以 在 处有最小值， ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ， ，此时 有2个零点；选②，当 时， ， ，令 ，则 ，所以 在 上是单调递增函数，在 上是单调递减函数，在 有最大值 ，所以 ， 是单调递增函数，因为 ， ，所以 ，  在 单调且连续，所以存在 使得 ，即零点的个数为1.
（2）若 ， ，令 ，  所以 ，令 ，得 或 ，当 时，（i） 时， ， 单调递增，（ii） 时， ， 单调递减，（iii） 时， ， 单调递增，当 时，由 时， ， 单调递增，当 时，（i） 或 时， ， 单调递增，（ii） 时， ， 单调递减.【解析】【分析】 (1)若选①:求出f(x), h(x)= f' (x),利用导数判断h (x )的单调性,结合函数零点的存在性定理，即可判断f (x )零点的个数；
若选②:求出f(x),令h(x)= f' (x),利用导数判断h (x )的单调性,结合函数零点的存在性定理,即可判断f (x )零点的个数；
(2)令函数g(x)= xf(x),求出g' (x)= 0的根，分 ，  ，  三种情况，判断导函数的正负，从而得到函数的单调性.22.【答案】 （1）由题设抛物线方程为 ，  联立方程组 可得 ，直线 与抛物线相切， ，解得 ，抛物线方程为 ；
（2）①设 ，  设过点 且与抛物线相切的直线 斜率为 ，则直线 方程为 ，联立方程 可得 ，则 ，即 ，由题意可知直线 和 的斜率 是方程 的两根，所以 ，所以 ；②设 ，不妨设 ，设直线 和 的倾斜角分别为 ，直线 的倾斜角为 且斜率为 ，则 ，由①可知 ，则 ，，，所以 ，则 ，则 ，又 ，则 ，所以 ，则 为定值.【解析】【分析】 (1 ) 设抛物线方程为 ，与直线 联立，由相切的条件:判别式为0，解得p,可得抛物线的方程；
(2)①设切线的方程，与抛物线的方程联立，由相切的条件:判别式为0,结合韦达定理，可得证明；
②由直线的斜率与倾斜角的关系，以及PA,PB垂直,推得   ,再由相似三角形的性质,可得定值.