广东省深圳市光明区2022届高三上学期数学8月第一调研试卷

 高三上学期数学8月第一调研试卷

一、单选题

1.设集合 ， ，则 （    ）           

A.
B.
C.
D.

2.已知 ，则 （    ）           

A.
B.
C.
D.

3.已知圆柱的底面半径为2，侧面展开图为面积为 的矩形，则该圆柱的体积为（    ）           

A.
B.
C.
D.

4.下列区间是函数 的单调递减区间的是（    ）           

A.
B.
C.
D.

5.已知直线l： 与曲线C： 相交于A  ， B两点， ，则 的周长是（    ）           

A.2
B.
C.4
D.

6.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（    ）           

A.相互独立
B.互斥
C.既相互独立又互斥
D.既不相互独立又不互斥

7.已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线 垂直，则 （    ）           

A.
B.
C.
D.

8.若 ，则 （    ）           

A.
B.
C.
D.

二、多选题

9.若甲组样本数据 ， ，…， （数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据 ， ，…， 的平均数为4，则下列说法正确的是（    ）           

A.a的值为-2
B.乙组样本数据的方差为36
C.两组样本数据的样本中位数一定相同
D.两组样本数据的样本极差不同

10.已知 ， 是两个相互垂直的单位向量， ， ，则下列说法正确的是（    ）           

A.若 ，则
B.当 时， ， 夹角的余弦值为
C.存在 使得 与 同时成立
D.不论 为何值，总有 成立

11.过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为A  ， B  ， 则下列说法正确的是（    ）           

A.
B.所在直线的方程为
C.四边形 的外接圆方程为
D.的面积为

12.在棱长均为1的正三棱柱 中，点E在棱 上运动，则下列说法正确的是（    ）           

A.的最小值为
B.存在点E使得直线 与直线 所成的角为45°
C.三棱锥 的体积为定值
D.当点E为棱 的中点时，四棱锥 的外接球的表面积为

三、填空题

13.已知函数 是偶函数，则       .   

14.直线 与抛物线 交于A  ， B两点，已知 的中点坐标为 ，则       .   

15.函数 的最大值为      .   

16.北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书《营造法式》，其中说到“方一百，其斜一百四十有一”，即一个正方形的边长与它的对角线的比是 ，接近 .如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是90°的圆弧，所得弧线称为 螺旋线，称公比为 的数列为 等比数列.已知 等比数列 的前n项和为 ，满足 .若 ，且 ，则 的最小整数为      .（参考数据： ， ） 

四、解答题

17.已知数列 满足 .   

（1）记 的前n项和为 ，求 ；   

（2）记 ，求 的前 项和 .   

18.为了不断提高群众主动参与健身的意识，激发大家的健身热情，在社区形成崇尚健身、参与健身、推动全民健身事业发展的良好氛围，某社区举行“全民健身日”活动.在活动中，甲、乙两人进行了一场五局三胜制的乒乓球比赛，其中甲在每局中胜出的概率为 ，乙在每局中胜出的概率为 ，每赢一局得1分，每输一局不得分，没有平局.每局比赛相互独立.   

（1）求甲在比赛中获胜的概率；   

（2）求比赛结束时甲得分的分布列及数学期望.   

19.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， . 

（1）求证： ；   

（2）在棱 上是否存在点G  ， 使得二面角 的大小为30°？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.   

20.在 中，角A  ， B  ， C的对边分别为a  ， b  ， c； ， .   

（1）求 的值；   

（2）若 的外心在其外部， ，求 外接圆的面积.   

21.已知双曲线C： （ ）的左､右焦点分别为 ， ， ，过焦点 ，且斜率为 的直线与C的两条渐近线分别交于A  ， B两点，且满足 .   

（1）求C的方程；   

（2）过点 且斜率不为0的直线 交C于M  ， N两点，且 ，求直线 的方程.   

22.已知函数 ， .   

（1）当 时，求函数 的单调区间；   

（2）当 ，时，函数 有两个极值点 ， （ ），证明： .   

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 B  

【解析】【解答】因为 ， ，

所以 ，

故答案为：B.

 
【分析】 可解出集合A, B,然后进行交集的运算即可.

2.【答案】 C  

【解析】【解答】 ，

所以 .

故答案为：C

 
【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出。

3.【答案】 A  

【解析】【解答】设圆柱的高为 ，则 ，

所以圆柱的体积为 .

故答案为：A

 
【分析】 根据已知条件求得圆柱的高，由此求得圆柱的体积。

4.【答案】 D  

【解析】【解答】因为 ，

且函数 在 上单调递减，

所以 ，

所以函数 的单调递减区间的是 ，

当 ，函数 的单调递减区间的是 ，

结合选项知，D选项符合，

故答案为：D.

 
【分析】 利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得函数的单调减区间.

5.【答案】 D  

【解析】【解答】依题意椭圆 ， ，

椭圆的焦点为 ，

所以 是椭圆的焦点，且直线 过椭圆的另一个焦点 .

所以 的周长为 .

故答案为：D

 
【分析】由椭圆 ， 得 ， 可得椭圆的焦点，进而求出 的周长 。

6.【答案】 A  

【解析】【解答】由于 表示“向上的点数为1”，所以 不是互斥事件.

，

所以 ，

所以 是相互独立事件，不是互斥事件.

故答案为：A

 
【分析】 根据相互独立事件、互斥事件的知识确定正确选项。

7.【答案】 A  

【解析】【解答】 ，

，

由于曲线 在 处的切线与直线 垂直

所以 .

故答案为：A

 
【分析】 求得f (x )的导数,可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a的方程，解方程可得所求值.

8.【答案】 C  

【解析】【解答】依题意 ，

即 ，

化简得 ，

.

故答案为：C

 
【分析】 运用诱导公式和同角的平方关系、商数关系,即可化简得到.

二、多选题

9.【答案】 A,B,D  

【解析】【解答】由题意可知： ，故 ，A符合题意；

乙组样本数据方差为 ，B符合题意；

设甲组样本数据的中位数为 ，则乙组样本数据的中位数为 ，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，C不符合题意；

甲组数据的极差为 ，则甲组数据的极差为 ，所以两组样本数据的样本极差不同，D符合题意；

故答案为：ABD.

 
【分析】结合平均数，方差，中位数，极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果。

10.【答案】 A,C,D  

【解析】【解答】由于 ， 是两个相互垂直的单位向量，

故可设 .

对于A选项， ，则 ，A符合题意.

对于B选项， ，B不符合题意.

对于C选项， .当 时， ，C符合题意.

对于D选项， ，D选项正确.

故答案为：ACD

 
【分析】求得的坐标，根据向量共线，向量夹角，向量垂直，向量的模等知识对选项逐一分析即可得出答案。

11.【答案】 B,C,D  

【解析】【解答】因为 ，所以以 为圆心， 为半径的圆交圆 于 两点，

因为 ,

又因为以 为圆心， 为半径的圆为 ，

与 相减得

所以 所在直线的方程为 ，B符合题意；

连接 交 于 ，等面积法可得 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ，A不符合题意；

四边形 的外接圆是以 为直径的圆，故圆心为 ，半径为 的圆，故方程为 ，即 ，C符合题意；

因为 ，

所以 ，D符合题意；

故答案为：BCD.

 
【分析】根据题意得以 为圆心， 为半径的圆交圆 于 两点，连接 交 于 ，等面积法可得 可判断A选项；与 相减得 可判断B选项；四边形 的外接圆是以 为直径的圆，故圆心为 ，半径为 的圆，可判断C选项；根据，求出  的面积可判断D选项。

12.【答案】 A,C  

【解析】【解答】A选项，如下图所示，两点间直线距离最短，所以 的最小值为 ,A符合题意.

B选项，如下图所示，过 作 ，交 于 ，则直线 与直线 所成的角为 ，设 ，则 ，所以三角形 是等腰三角形. ，所以 ，所以 ，B不符合题意.

C选项，由于 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .所以 到平面 的距离为定值，而三角形 的面积也为定值，所以 为定值.C符合题意.

D选项，当 是 中点时， ，四边形 是正方形，所以四棱锥 是正四棱锥.设其外接球球心为 ，如下图所示，其中 等于等边三角形 的高，即 ， ，设外接球的半径为 ，则 ，所以外接球的表面积为 ，D不符合题意.

故答案为：AC

 
【分析】A选项通过两点间直线距离最短来判断；B选项利用余弦定理来判断;C选项利用体积公式来判断;D选项求得外接球的表面积来判断。

三、填空题

13.【答案】

【解析】【解答】依题意 是偶函数，所以 ，

所以 ，整理得 ，

所以 ，

所以 ，

所以 .

故答案为：

 
【分析】由得即得出的解析式，代入x=1即可。

14.【答案】 5  

【解析】【解答】抛物线 .

抛物线的焦点为 ，准线为 ，

直线 过 ，

所以 ，

由 消去 并化简得 ，

设 ，

则 ，所以 .

故答案为：5

 
【分析】把直线与抛物线方程联立，再根据韦达定理即可求出 。

15.【答案】

【解析】【解答】由题知当 时， ，

∴

∴ 在 为减函数，

∴ ；

当 时， ，

∴ ，

∴当 时， ，当 时， ，

∴ ，

综上可知， .

故答案为： .

 
【分析】当 时， ， 当 时， ， 分别求导可得单调性，进而得出最大值。

16.【答案】 5  

【解析】【解答】令 ，则 ，

即 ，

所以 ，

解得 ，所以 ，

所以 ，

，

所以 ，

即 ，

即 ，

所以 的最小整数为5.

故答案为：5

 
【分析】令 ，求出a1  ， 由等比数列的通项公式求出an，从而求出bn  ， 再由裂项相消法求和得出 ，根据对数的运算即可求解。

四、解答题

17.【答案】 （1）依题意 ， 

当 为奇数时， ，当 为偶数时， .

.

（2）

当 为奇数时， ，当 为偶数时， .

所以 ，

即 ①，

②，

①-②得 ，

，

，

所以 .

【解析】【分析】 (1)直接利用已知条件求出数列的通项公式；
(2)利用通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和.

18.【答案】 （1）记A：甲在比赛中获胜，则：

.

（2）记比赛结束时甲得分为X，则X的可能取值为0,1,2,3.

则： ；

；

；

.

所以，甲得分的分布列为：

数学期望为： .

【解析】【分析】（1）记A:甲在比赛中获胜，分3局获胜，4局获胜, 5局获胜即可求解；
（2）记比赛结束时甲得分为X ,先求概率,写出分布列,即可求出数学期望。

19.【答案】 （1）因为 ， ，所以 ，△ADP为直角三角形，所以AD⊥PD. 

又 ， , 面ABCD， 面ABCD，

所以 ⊥面ABCD，所以 .

（2）由题意可知：ABCD为一个等腰梯形.过D作DE⊥AB于E，则 . 

以D为原点， 分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.则：

显然 即为平面ABC的一个法向量.

假设在棱 上存在点G，使得二面角 的大小为30°.不妨设 ，

则 , .

设 为面GAB的有一个法向量，则 ，即 ，不妨设x=1，则有： .

因为二面角 的大小为30°，

所以 ，即 ，即 ，解得： .

即点G为 的中点时，二面角 的大小为30°.

【解析】【分析】（1）根据勾股定理证明AD⊥PD  ， 利用线面垂直的判定定理得到  ⊥面ABCD，即可证明  ；
（2） 以D为原点，  分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系 ，用向量法求解即可。

20.【答案】 （1）依题意 ，由余弦定理得 ， 

， ，

，

所以 或 .

当 时， .

当 时， .

（2）若 的外心在其外部，则 不符合题意. 

当 时， ， 为钝角，符合题意.

，

设三角形 外接圆的半径为 ，由正弦定理得 ，

所以外接圆的面积为 .

【解析】【分析】（1） 利用余弦定理可求得  或 ，然后分别求出  的值；
（2） 若  的外心在其外部，则  不符合题意； 当  时， 由余弦定理可得   为钝角，符合题意，再由正弦定理可求出R，利用圆的面积公式即可求出。

21.【答案】 （1）双曲线 的渐近线方程为 ， 

过 ，且斜率为 的直线方程为 ，

由 ，

由 ，

由于 ，即 ，

所以 .

所以双曲线 的方程为 .

（2）设 ， 

由 消去 并化简得 ，

， 且 .

设 ，则

，

所以 中点 的坐标为 ，

由于 ，所以 ， ，

，化简得 ，

，解得 或 ，

由于 且 ，所以 ，

所以直线 的方程为 .

【解析】【分析】 (1) 双曲线  的渐近线方程为    ， 过  ，且斜率为  的直线方程为  ，联立求得A,B的坐标，再由   求出a，进而得出双曲线  的方程；
(2) 设    ， 由  消去  并化简得  ， 设 ，利用韦达定理可求出   中点  的坐标， 由于    ， 所以    ，    ，求出k的值，进而得出直线  的方程。

22.【答案】 （1）， ， 时， ， 时， ，则函数 在 单调递减，在 单调递增.
（2），令 ，∵ ，则 在R上单调递增，∴ 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，∴ 在 处取得极小值，且 . 

令 ， ，则 时， ， 单调递增，∴ ，∴x>0时， ，则 ，于是x>0时， .

∴ ，

∴ 时， ，于是 （x2唯一），使得 .

∴ 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增.

则函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值.

又∵ ，∴ ，∴ ，∴ .

【解析】【分析】 (1)由求导公式和法则求出f’(x) ，由导数与函数单调性关系求出f (x)的单调区间；
(2) 求出函数的导数，问题转化为在  处取得极小值，且 ， 令，
求导可得单调性， ， 可得  的单调性，即可证得 。