陕西省西安市重点高中2021-2022学年高三上学期理数第一次考试试卷

这是一份陕西省西安市重点高中2021-2022学年高三上学期理数第一次考试试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三上学期理数第一次考试试卷
一、单选题
1.已知集合 ,则 中所含元素的个数为
A.3
B.6
C.8
D.10
2.下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（   ）
的共轭复数为 的虚部为-1
A.
B.
C.
D.
3.已知命题p： x1,x2 R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则 p是（   ）
A.x1,x2 R,(f(x2) -f(x1))(x2-x1)≤0
B.x1,x2 R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
C.x1,x2 R,(f(x2) -f(x1))(x2-x1)<0
D.x1,x2 R,(f(x2) -f(x1))(x2-x1)<0
4.已知命题p: ；命题q：若a＞b ， 则a2>b2 ， 下列命题为真命题的是（   ）
A.
B.
C.
D.
5.已知x=lnπ，y=log52， ，则（   ）

A. x＜y＜z                              B. z＜x＜y                              C. z＜y＜x                              D. y＜z＜x
6.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为(  )
A. ，x R                                           B. ，x R且x≠0
C. ,x R                                             D. ，x R
7.函数 在区间（0,1）内的零点个数是（   ）
A.0
B.1
C.2
D.3
8.已知函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则 （   ）
A. -2或2                                  B. -9或3                                  C. -1或1                                  D. -3或1
9.设a ， b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3

A. 充要条件                  B. 充分不必要条件       C. 必要不充分条件            D. 既不充分也不必要条件
10.设函数 ，则（   ）

A. 为 的极大值点                                   B. 为 的极小值点
C. 为 的极大值点                               D. 为 的极小值点
11.已知函数 ；则 的图像大致为（    ）
A.​​
B.​​
C.​​
D.​​
12.若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（   ）

A. ex≤1+x+x2          B.           C.           D. 
二、填空题
13.若“ ”是真命题，则实数 的最小值为      .
14.若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是       ．
15.若函数f（x）=xln（x+ ）为偶函数，则a=________．
16.设曲线 在点（0,1）处的切线与曲线 上点 处的切线垂直，则 的坐标为________．
三、解答题
17.在 中，角A、B、C的对边分别为a ， b ， c,角A ， B ， C成等差数列．
（1）求 的值；
（2）边a ， b ， c成等比数列，求 的值．
18.如图，直三棱柱 中， ， 是棱 的中点， .

（1）证明： ；
（2）求二面角 的大小.
19.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的 列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过 的前提下，你是否有理由认为“体育迷”与性别有关？



非体育迷


体育迷


合计


男











女





10


55


合计











（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为 .若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，期望 和方差 .
附：

0.05
0.01

3.841
6.635
20.已知曲线C: (m∈R)
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．
21.已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值．
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以原点为极点， 轴正半轴为极
轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）写出 的直角坐标方程；
（Ⅱ） 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标．
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的图象与 轴围成的三角形面积大于6，求 的取值范围.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】列举法得出集合 ，共含10个元素．
故答案为：D

【分析】利用已知条件结合列举法和元素与集合的关系，从而求出集合 中所含元素的个数。
2.【答案】 C
【解析】【解答】因为 ，所以 ，，共轭复数为 ，z的虚部为-1，所以真命题为 。
故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z,再利用复数求模公式，进而求出复数z的模；利用复数的乘法运算法则，从而得出；利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数；再利用复数的虚部的定义，从而求出复数z的虚部，进而找出真命题的选项。
3.【答案】 C
【解析】【解答】全称命题的的否定是存在性命题,因为，命题p： x1,x2 R,(f(x2) -f(x1))(x2-x1)≥0,所以， p是 x1,x2 R,(f(x2) -f(x1))(x2-x1)<0。
故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，从而写出命题p的否定。
4.【答案】 B
【解析】【解答】由 时 有意义，知p是真命题，由 可知q是假命题，即 均是真命题。
故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合命题真假性判断方法，从而判断出命题p和命题q的真假性，再利用复合命题真假性判断方法，从而找出真命题的选项。
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，

0＜log52＜log5 = ，即y∈（0， ）；
1=e0＞ = ＞ = ，即z∈（ ，1），
∴y＜z＜x．
故选：D．
【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜ ，1＞z= ＞ ，即可得到答案．
6.【答案】 B
【解析】【解答】首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，
对于 先减后增，排除A，
故答案为：B.

【分析】利用偶函数的判断方法结合增函数的判断方法，从而求出既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的函数。
7.【答案】 B
【解析】【解答】 ,在 范围内 ，函数为单调递增函数．又 ， ， ，故 在区间 存在零点，又因为函数为单调函数，故零点只有一个。
故答案为：B

【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，从而结合函数的单调性，进而求出函数 在区间（0,1）内的零点个数 。
8.【答案】 A
【解析】【解答】因为 ,所以f(x)的增区间为 ,减区间为 ,所以 的极大值为 ，极小值为 ，因为函数 的图象与 轴恰有两个公共点,所以只须满足 或 ，即 或 ,
故答案为：A.
【分析】利用导数判断函数的单调性求出极值点为 ，利用 或 可得结果.
9.【答案】 B
【解析】【解答】若3a>3b>3，则a>b>1, 从而有loga3b>1, 比如a=, b=3, 从而3a>3b>3不成立， 故选B。
【分析】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后分析条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.

10.【答案】 D
【解析】【解答】因为 ，所以 。
又 ，所以 为 的极小值点。
故答案为：D
【分析】对函数 f ( x )求导后，由其单调性可得函数f ( x )的极值点.
11.【答案】 B
【解析】【解答】设 ，则 ，∴ 在 上为增函数,在 上为减函数，∴ ， ，得 或 均有 ，排除A，C，又 中, ，得 且 ，故排除D，综上，符合的只有B，
故答案为：B.

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性、函数定义域求解方法再结合排除法，从而找出函数 的大致图象。
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32 ， 所以不等式不恒成立；

对于B，x=1时，左边= ，右边=0.75，不等式成立；x= 时，左边= ，右边= ，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；
对于C，构造函数 ，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=﹣cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增
∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数 在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴ ；
对于D，取x=3， ，所以不等式不恒成立；
故选C．
【分析】对于A，取x=3，e3＞1+3+32 ， ；
对于B，令x=1， ，计算可得结论；
对于C，构造函数 ，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可得函数 在[0，+∞）上单调增，故成立；
对于D，取x=3， ．
二、填空题
13.【答案】 1
【解析】【解答】若“ ”是真命题，则 大于或等于函数 在 的最大值，因为函数 在 上为增函数，所以，函数 在 上的最大值为1，
所以， ，即实数 的最小值为1。
所以答案应填:1。

【分析】若“ ”是真命题，则 大于或等于函数 在 的最大值，再利用函数 在 上的单调性，从而求出函数 在 上的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数m的取值范围，进而求出实数 的最小值。
14.【答案】
【解析】【解答】由于函数 的值域是 ，故当 时，满足 ，当 时，由 ，所以 ，所以 ，所以实数 的取值范围 。
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，从而求出分段函数的值域，再利用分类讨论的方法结合已知条件和一元一次不等式求解方法以及对数函数的单调性，从而求出实数a的取值范围。
15.【答案】1
【解析】【解答】解：∵f（x）=xln（x+ ）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+ ）=xln（x+ ），
∴﹣ln（﹣x+ ）=ln（x+ ），
∴ln（﹣x+ ）+ln（x+ ）=0，
∴ln（ +x）（ ﹣x）=0，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
16.【答案】 (1，1)
【解析】【解答】设 ，对y＝ex求导得y′＝ex ， 令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线 上点P处的切线斜率为－1，由 ，得 ，则 ，所以P的坐标为(1，1)．
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线 在点（0,1）处的切线方程，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出点P的坐标。
三、解答题
17.【答案】 （1）由已知 ,解得 ，所以
（2）解法一：由已知 ，及 ，根据正弦定理得 ，
所以
解法二：由已知 ，及 ，根据余弦定理得 ，解得
所以
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质和等差中项公式，从而求出角B的值，进而求出角B的余弦值。
（2）利用两种方法解题。 解法一：由已知 及 ，根据正弦定理结合同角三角函数基本关系式，得出 的值。解法二：由已知 及 ，根据余弦定理得出  ， 进而求出的值。
18.【答案】 （1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．

∵D是AA1的中点， ∴ DC = DC1
又 AC= AA1 ， ∴ DC12 + DC2 =CC12 ， ∴ DC1⊥DC
又 DC1⊥BD，且DC1∩DC=D，∴ DC1⊥平面DCB．
∴ DC1⊥BC

（2）由（1）知，DC1⊥BC，又CC1⊥BC， DC1∩CC1=C1
∴ BC⊥平面CDC1 ， ∵ B1C1∥BC ∴B1C1⊥平面CDC1
∴ B1C1⊥A1C1 ， △A1C1B1为等腰直角三角形
取A1B1的中点为M，连结C1M、DM
∵ 直棱柱的底面A1B1C1⊥侧面AB1 ， C1M⊥A1B1
∴ C1M⊥平面AB1 ， C1M⊥BD．
由（Ⅰ）知，DC1⊥平面DCB，∴DC1⊥BD
又C1M∩DC1=C1 ， ∴BD⊥平面C1MD ，MD⊥BD
∴∠C1DM是A1−BD−C1的平面角．
在Rt△C1MD中，C1M= A1C1 ， ，
∴sin∠C1DM= = ， ∴∠C1DM=30o
∴二面角A1−BD−C1的大小为30o ．
【解析】【分析】（1） 由题设知，三棱柱的侧面为矩形，再利用D是AA1的中点，所以DC = DC1 ， 再利用AC= AA1结合勾股定理得出 DC1⊥DC，再利用 DC1⊥BD结合线线垂直证出线面垂直，所以DC1⊥平面DCB，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出DC1⊥BC。
（2） 由（1）知，DC1⊥BC，再利用CC1⊥BC结合线线垂直证出线面垂直，从而证出 BC⊥平面CDC1 ， 再利用 B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面CDC1，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以B1C1⊥A1C1 ， 所以三角形△A1C1B1为等腰直角三角形，取A1B1的中点为M，连结C1M、DM，再利用面面垂直证出线线垂直，由（1）知，DC1⊥平面DCB，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以DC1⊥BD，再利用线线垂直证出线面垂直，所以BD⊥平面C1MD ，MD⊥BD，所以∠C1DM是A1−BD−C1的平面角，在Rt△C1MD中结合已知条件和勾股定理，从而求出 ，再利用正弦函数的定义得出sin∠C1DM的值，进而求出∠C1DM的值，从而求出二面角A1−BD−C1的大小。
19.【答案】 （Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而 列联表如下：



非体育迷


体育迷


合计


男


30


15


45


女


45


10


55


合计


75


25


100


由 列联表中数据代入公式计算，得：

因为 ，所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关.
（Ⅱ）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 ，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 ，由题意，
，从而 的分布列为：

0
1
2
3





， .
【解析】【分析】（1）利用已知条件填写完 列联表，再利用独立性检验的方法判断出没有理由认为“体育迷”与性别有关。
（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 ，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 ，由题意推出随机变量X服从二项分布，再利用二项分布求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式和方差公式，进而求出随机变量X的数学期望和方差。
 
20.【答案】 （1）解：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当
解得 ＜m＜5，所以m的取值范围是 .

（2）当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．
由 得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.
因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24＞0，即k2＞ .
设点M，N的坐标分别为(x1 ， y1)，(x2 ， y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，
x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
直线BM的方程为y＋2＝ x，点G的坐标为 .
因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝ ，kAG＝－ ，
所以kAN－kAG＝ ＝0.
即kAN＝kAG.(13分)A，G，N三点共线．
【解析】【分析】（1） 利用曲线C是焦点在x轴上的椭圆，再结合椭圆的定义和焦点的位置，从而求出实数m的取值范围。
（2） 当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合已知条件，再利用判别式法和韦达定理，从而结合点斜式求出直线BM的方程，进而求出点G的坐标，再利用两点求斜率公式结合作差法得出kAN－kAG＝0，即kAN＝kAG ， 再利用三点共线的判断方法，从而证出A，G，N三点共线。
 
 
 
21.【答案】 （1）函数 的的定义域为 ， ， ， ， ， ，
即函数 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的极小值是 ，无极大值；

（2）因为 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
令 ，则 ，令 ，则 ，
于是得函数 在 上单调递增，而 ， ，
方程 在 上存在唯一实根 ，并满足 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
从而得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
即有 ，
则 ，
所以整数 的最大值是3．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值。
（2） 利用对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，进而求出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出m的取值范围，进而求出实数m的最大值。
 
 
22.【答案】 解：（Ⅰ）由 ，得 ，
从而有 ，所以 ．
（Ⅱ）设 ，又 ，则 ，
故当 时， 取最小值，此时 点的直角坐标为 ．
【解析】【分析】（Ⅰ）先将 两边同乘以 可得 ，再利用 ， 可得 的直角坐标方程；（Ⅱ）先设 的坐标，则 ，再利用二次函数的性质可得 的最小值，进而可得 的直角坐标
23.【答案】 （1）解：当 时， 化为 ，
当 时，不等式化为 ，无解；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ．
所以 的解集为

（2）解：由题设可得，
所以函数 的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ， ， 的面积为 ．
由题设得 ，故 ．
所以a的取值范围为
【解析】【分析】(1)由题意零点分段即可确定不等式的解集为 ；(2)由题意可得面积函数为为 ，求解不等式 可得实数a的取值范围为