全国2022届高三理数第一次学业质量联合检测试卷

这是一份全国2022届高三理数第一次学业质量联合检测试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三理数第一次学业质量联合检测试卷
一、单选题
1.设集合 ， ，则 的子集的个数为（    ）
A. 2                                           B. 3                                           C. 7                                           D. 8
2.某学校开展了“勤俭节约，从我做起”活动，活动开始前，该学校对学生每周的消费情况做了问卷调查，将统计数据整理得频率分布直方图如图，根据此频率分布直方图估计该校学生每周消费金额的众数为（    ）

A. 99.4                                      B. 99.5                                      C. 105                                      D. 110
3.已知 ， 是 的共轭复数，则 （    ）
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
4.圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”．山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木构塔式建筑．该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合．已知木塔顶层檐柱柱头以下部分的高度为46.83米，则应县木塔的总高度大约是（    ）（参考数据： ）

A. 60.22米                              B. 63.23米                              C. 66.22米                              D. 70.50米
5.已知椭圆 的离心率为 ，直线 与圆 相切，则实数 的值是（    ）
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A.                                         B.                                         C. 7                                        D. 
7.已知数列 的前 项和为 ，则“ ”是“数列 是常数列”的（    ）
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
8.在 中， ， ， 边上的中线 的长度为 ，则 的外接圆的面积为（    ）
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
9.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则 （    ）

A.                                          B.                                          C.                                          D. 
10.已知 是锐角△ 的一个内角，若 ，则 （    ）
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
11.某圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，正方体 内接于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体 的体积的比值为（    ）
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
12.设函数 ，对任意实数 （ 为自然对数的底数），关于 的方程 恒有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（    ）
A.                                B.                                C.                                D. 
二、填空题
13.直线 与曲线 在点 处相切，则直线 在 轴上的截距为       ．
14.已知向量 ， 是两个互相垂直的单位向量， 是坐标原点， ， ，若 是直角三角形，则实数 的值为       ．
15.已知双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，直线 过坐标原点 且与双曲线 交于点 ， ．若 ，则四边形 的面积为       ．
16.已知函数 的部分图象如图所示， 是某个三角形的内角，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为       ．

三、解答题
17.梨树绝大多数品种自花授粉，结实率很低，因此果农在栽培梨树的时候，必须在果园配置授粉树，并结合适当的辅助授粉方法，以便更顺利地完成梨树的授粉受精过程，以此达到果园丰产稳产、高品质的目的．某地区将梨树蜜蜂授粉和自然授粉的花朵坐果率进行比较，统计数据如下：
坐果
授粉方式
总计
自然授粉
蜜蜂授粉
花朵未坐果
1000
300
1300
花朵坐果
50
80
130
（1）.自然授粉和蜜蜂授粉的花朵坐果数的频率分别是多少？
（2）.根据数据完成下列 列联表，并据此判断能否有99.9%的把握认为自然授粉与蜜蜂授粉的花朵坐果率有差异？
坐果
授粉方式
总计
自然授粉
蜜蜂授粉
花朵未坐果
1000
300
1300
花朵坐果
50
80
130
总计



附： ，

0.05
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
18.已知数列 ， ， 是数列 的前 项和， ，从① ；② ；③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19.如图，在多面体 中，侧面 为菱形， 平面 ， 平面 ， ， 是 的中点， 为棱 上的动点， ．

（1）.证明：平面 平面 ；
（2）.当点 位于棱 的什么位置时，面 与面 ，所成的二面角的正弦值最小？
20.已知函数 ．
（1）.求函数 的单调区间及最值；
（2）.证明： ， ．
21.已知直线 过原点 ，且与圆 交于 ， 两点， ，圆 与直线 相切， 与直线 垂直，记圆心 的轨迹为曲线 ．
（1）.求 的方程；
（2）.过直线 上任一点 作 的两条切线，切点分别为 ， ，证明：
①直线 过定点；
② ．
22.在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）.求 的直角坐标方程；
（2）.设点 的直角坐标为 ，点 的直角坐标为 ，动点 满足 ，求点 的轨迹 的参数方程，并判断 与 的位置关系．
23.已知不等式 （ ）对任意的 都成立，方程 （ ）有两个不相等的实数根．
（1）.求实数 ， 的取值范围；
（2）.若 ，求 的最大值．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】 ， ，
所以 ，
所以 的子集的个数是: ．选项D正确，选项ABC错误
故答案为：D.

【分析】 利用集合并集的定义求出 ,然后利用子集个数的计算公式求解可得答案.
2.【答案】 C
【解析】【解答】因为 范围内的小长方形的面积最大，
所以众数是105．
故答案为：C

【分析】由 范围内的小长方形的面积最大，可得答案。
3.【答案】 A
【解析】【解答】设 ， ， ，
∴ ．
∴ ，解得 ， ，则 ．
故答案为：A

【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出答案.
4.【答案】 C
【解析】【解答】设正方形的边长为 ，圆的半径为 ，
则 ，
易知白银比例为 ．
因为 ， ，
所以 ，故排除A，B，D．
故答案为：C

【分析】 由题意利用平面几何的性质求解木塔高度h的范围，结合选项得答案.
5.【答案】 C
【解析】【解答】由题意知， ，则 ，
∴直线 ，即 ．
将圆 的方程化为标准方程： ．
由直线与圆相切可得 ，解得 ．
故答案为：C

【分析】由题意知， ，则 ，即可得出椭圆的渐近线方程， 由直线与圆相切可得 ， 求解可得实数  的值。
6.【答案】 D
【解析】【解答】由三视图还原几何体，该几何体是棱长为2的正方体切去一个底面边长为 ，侧棱长为1的四面体后剩余的部分，
∴体积 ．

故答案为：D

【分析】由三视图还原几何体，该几何体是棱长为2的正方体切去一个底面边长为 ，侧棱长为1的四面体后剩余的部分，再根据棱锥、棱柱的体积公式可得答案。
7.【答案】 D
【解析】【解答】∵ ，则 ．
当 ， ，
∴ ，故数列 不是常数列；
反之，当 时， ，显然不成立，
∴“ ”是“数列 是常数列”的既不充分也不必要条件．
故答案为：D

【分析】，当 ， ， 得，故数列 不是常数列；反之，当 时， ，显然不成立，根据充分条件，必要条件的定义可得答案。
8.【答案】 B
【解析】【解答】在 中，
由余弦定理得 ，
即 ，
解得 （负值舍去），
所以 ．
在 中，
由余弦定理得 ，
所以 ．
在 中， ，
则 ，
所以外接圆的面积为 ．
故答案为：B

【分析】由余弦定理得BD，，再由余弦定理得AC，根据正弦定理求出  的外接圆的半径，进而求出外接圆的面积。
9.【答案】 D
【解析】【解答】根据条件概率可得： ．
故答案为：D.

【分析】根据条件概率公式进行计算可得答案。
10.【答案】 B
【解析】【解答】由 ，
∴ ，又 是锐角△ 的一个内角，
∴ ，则 ，化简得 ，即 ，
∴ ．
故答案为：B

【分析】根据正切的二倍角公式和同角三角函数关系式求出， 进而求出  的值。
11.【答案】 B
【解析】【解答】根据题意，设圆锥的底面半径为 ，则 ，得 ，
∴圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，其内切圆半径为 ，
设正方体的棱长为 ，则 ，得 ，
∴正方体的体积为 ，又圆锥的高为 ，则体积为 ，
∴圆锥的体积与正方体 的体积的比值为 ．
故答案为：B

【分析】 由侧面展开图的半径,求圆锥底面半径及内切球半径,利用圆锥的体积公式求体积，再由正方体的外接球为圆锥的内切球,求正方体棱长，，进而求体积，即可知它们的体积比。
12.【答案】 A
【解析】【解答】方程 有两个不同的实数根，即为 有两个不同的实数根，
即 有两个不同的实数根．
令 ，
则 ，即 ．
又因为 ， ，
所以 ．
记 ，
则 ．
记 ，则 ，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
且当 趋近于0时， 趋近于 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即实数 的取值范
故答案为：A

【分析】转化为， 即可转化为与有两个不同的交点，求导分析单调性，极值，边界，即可得出答案。
二、填空题
13.【答案】 -2
【解析】【解答】由题设， ，则 ，
∴直线 的方程为 ．
令 ，得 ，故直线 在 轴上的截距为-2．
故答案为：-2

【分析】 求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由直线方程的点斜式得出直线 的方程，令 可得直线 在 轴上的截距.
14.【答案】 2或4
【解析】【解答】由题意得， ，
若 ，
则由 ，
得 ，
解得 （舍去）；
若 ，
则由 ，
得 ，
解得 ；
若 ，
则由 ，
得 ，
解得 （舍去）或 ．
综上， 的值为2或4．
故答案为：2或4

【分析】 分类讨论直角的位置结合向量数量积即可求解.
15.【答案】 8
【解析】【解答】由双曲线的对称性可知，四边形 的对角线互相平分且相等，
所以四边形 是矩形．
设 ， ，
则 ．
因为 ，
所以 ，
化简得 ，
所以四边形 的面积为8．
故答案为：8

【分析】由双曲线的对称性可知，四边形 的对角线互相平分且相等，得四边形 是矩形，设 ， ，则 ， 化简得 ，即可求出四边形 的面积。
16.【答案】
【解析】【解答】由图知： ， ，即 ，可知 ．
由 ，得 ， ，
∴ ， ，又 ，即 ，
∴ ．
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴ ，即 ，得 ．
由 ，得 ．
结合正弦函数的图象可知，当 时 成立，
∴ 的范围是 ．
故答案为：

【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出w,由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，设 ，则 ，根据导数的符号可得 的单调性，，即 ，得 ，进而求出  的取值范围 。
三、解答题
17.【答案】 （1）自然授粉的花朵坐果数为50，花朵总数为1050，则频率为 ．
蜜蜂授粉的花朵坐果数为80，花朵总数为380，则频率为 ．

（2）列联表如下：
坐果
授粉方式
总计
自然授粉
蜜蜂授粉
花朵未坐果
1000
300
1300
花朵坐果
50
80
130
总计
1050
380
1430
∴ ，又 ，
∴有99.9%的把握认为自然授粉与蜜蜂授粉的花朵坐果率有差异．
【解析】【分析】（1）根据频率的公式，分别求出自然授粉和蜜蜂授粉的花朵坐果数的频率；
（2）根据独立性检验的基本思想即可求出结果。
18.【答案】 解：若选①②，
由条件 可得，
当 时， ；
当 时，
当 时符合，
所以 ．
所以 ，
，
两式相减得
所以 ，③成立．
若选①③，
，
，
两式相减得 ，
所以 ．
当 时， ，
解得 ，符合 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，②成立．
若选②③，
由条件 可得，
当 时， ；
当 时， ．
当 时符合，所以 ．
，
，
两式相减得 ，
解得 ．
当 时， ，
解得 ，
符合 ，
所以 ，①成立．
【解析】【分析】 若选①②， 先根据Sn与an的关系求数列 的通项公式，再利用错位相减法证明 ；
若选①③，根据Sn与an的关系求数列 的通项公式，根据Tn与   的关系求出数列 的通项公式，由此证明 ;
若选②③， 根据Tn与   的关系求出数列 的通项公式，再求数列 的通项公式，利用等差数列求和公式证明   。
19.【答案】 （1）∵ 面 ， 面 ，
∴ ， ，
由侧面 为菱形知： ，又 ，则 ，又 ，
∴ 平面 ， 面
∴ ，则 ， ， 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以射线 ， ， 为 轴、 轴、 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则 ， ， ， ， ， ，
证明：由上， ， ，则 ，
∴ ，又 ， ，
∴ 平面 ，而 平面 ，
∴平面 平面

（2）设 ，则 ，
∴ ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，有 ，令 ，则 ， ，
∴ ．
又 平面 ，则平面 的一个法向量为 ，
∴ ．
当 ，即点 为棱 靠近点 的四等分点时，面 与面 所成的二面角余弦值的绝对值最大，此时正弦值最小．
【解析】【分析】（1） 以  为坐标原点，分别以射线   ，    ，   为  轴、  轴、  轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出   ，    ，    ，    ，    ，    ， 得出    ，  ， 推出  平面 ，进而证出平面  平面 ；
（2） 设   ， 则  ，   ，    ，根据向量法即可求出面  与面  所成的二面角余弦值，进而得出当 ， 面  与面   ， 所成的二面角的正弦值最小。
20.【答案】 （1）解： ，
当 时， ，
所以 ， 单调递减；
当 时， ，
所以 单调递增，
，
所以 ，
所以 单调递增．
所以 ．
综上，函数 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ，
函数 的最小值是0，无最大值．

（2）证明：由第（1）问知，当 时， ，

取 ， ，2，3，…， ， ，
有
故 ，
，
，
……

所以

．
【解析】【分析】（1）对函数求导可得   ，  再根据导数的符号可得函数  的单调区间，进而得出函数  的最值；
（2） 由第（1）问知，当  时，   ， 取  ，  ，2，3，…，  ，  ，有 ， 根据裂项求和可得 。
 
 
21.【答案】 （1）解：如图，设 ，

因为圆 与直线 相切，所以圆A的半径为 ．
由圆的性质可得 ，即 ，化简得 ．
因为 与 不重合，所以 ，
所以 的方程为 ．

（2）证明：①由题意可知 ， 与 不重合．
如图，设 ， ，则 ，
因为 ，所以切线 的斜率为 ，
故 ，整理得 ．
设 ，同理可得 ．
所以直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 ．

②因为直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，
所以 ， ．
又




，
所以 ．
【解析】【分析】（1） 圆  与直线  相切，则圆A的半径为   ， 由圆的性质可得 ， 化简得 ，由   与  不重合，得  ，进而求出  的方程；
（2） ①由题意可知   ，   与  不重合， 设   ，  可得切线  的斜率为 ， 设 得直线  的方程为 ， 即直线  过定点 ；
②因为直线  的方程为   ，
由  消去  得 ， 利用韦达定理可得   ，  ，
   ， 可得   。
22.【答案】 （1）解： ，
即 ．
因为 ， ，
所以曲线 的直角坐标方程为 ，
即 ．

（2）设 ，
则 ， ，
所以 ，
化简得 ，
所以 的参数方程是 （ 为参数）．
因为 的圆心是 ，半径为 ， 的圆心是 ，半径为 ，
所以圆心距 ，
因为 ，
所以 与 相交．
【解析】【分析】 (1)把极坐标方程化为 ， 写出直角坐标方程即可；
(2)设点P的直角坐标为(x, y), 利用 化简得 ，  的参数方程是  （  为参数）， 圆心距 ，可得  与  相交 。
23.【答案】 （1）不等式 （ ）对任意的 都成立等价于
对任意的 都成立，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以
所以 ，
即 ，
解得 ，
画出 的图象如图，由图象可知 ，


（2）

，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值是 ．
【解析】【分析】（1） 不等式  （  ）对任意的  都成立等价于
 对任意的  都成立，当且仅当  时，等号成立，
所以 ， 即 ，根据绝对值不等式的解法可求出 ， 由  的图象可得  ；
（2） ， 利用基本不等式即可求出  的最大值 。