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初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.4 等腰三角形的判定定理课后练习题
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这是一份初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.4 等腰三角形的判定定理课后练习题，共16页。
A．8B．4C．32D．16
2．（2020秋•临沭县期中）下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2019秋•樊城区期中）上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h（海里/时，1n mile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得NAC＝42°，NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（ ）
A．45n mileB．30n mileC．20n mileD．15n mile
4．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
5．（2020秋•天桥区期末）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
6．（2021春•普陀区校级期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（2020春•左权县期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
二．填空题
8．（2020秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长＝ cm．
9．（2020秋•南关区校级期末）如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 cm2．
10．（2019春•乐清市期中）在△ABC中，∠BAC＝126°，AD是BC边上的高，若AB+BD＝DC，则∠C＝ ．
11．（2019•松北区二模）如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，则CE＝ ．
12．如图，在△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC＝4，∠BAC的平分线交BC于D，DF∥AB交∠BAD的平分线于F，则DF＝ ．
三．解答题
13．（2020秋•盐池县期末）已知：如图，AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，求证：CD＝BD．
14．如图，已知：△ABC中，∠1＝∠2，且AE＝AD，BE和CD相交于F．求证：BF＝CF．
15．（2020秋•下城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
16．（2018秋•如皋市期中）在一次数学课上，王老师在黑板上画出一幅图，并写下了四个等式：
①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE．
（1）上述4个条件中，由哪两个条件可以判定△AED是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
17．（2020秋•大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
答案与解析
一．选择题
1．（2019秋•来宾期末）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行，△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（ ）
A．8B．4C．32D．16
【解析】解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO＝∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠MOB＝∠MBO，
∴MB＝MO，同理可得∠NOC＝∠NCO，
∴NO＝NC，
∴（AB+AC+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+MB+AN+NC+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+MO+AN+NO+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+AN+MN+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝BC，
又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC＝20，AM+AN+MN＝12，
则BC＝20﹣12＝8．
故选：A．
2．（2020秋•临沭县期中）下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解析】解：图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，
∴∠C＝140°﹣70°＝70°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图③中，∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图④中，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC是等腰三角形；
图⑤中，∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
能判定△ABC是等腰三角形的有4个，
故选：C．
3．（2019秋•樊城区期中）上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h（海里/时，1n mile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得NAC＝42°，NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（ ）
A．45n mileB．30n mileC．20n mileD．15n mile
【解析】解：∵∠NBC＝84°，∠NAC＝42°，
∴∠C＝84°﹣42°＝42°．
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB，
∵上午8时，一条船从海岛A出发，以150n mile/h的速度向正北航行．10时到达海岛B处，
∴BC＝AB＝15×2＝30n mile．
故选：B．
4．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣108°）＝36°，
∵BD＝AD＝AE，
∴△ABD、△ADE是等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，∠AED＝∠ADE＝∠B+∠DAB＝72°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°，
∴∠EAC＝∠C，
∴△ACE是等腰三角形，AE＝CE，
∵∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAE＝∠DAB+∠DAE＝72°，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△BAE是等腰三角形，BA＝BE，
同理：△CAD是等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数为6个，
故选：D．
5．（2020秋•天桥区期末）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
【解析】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
6．（2021春•普陀区校级期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解析】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故选：B．
7．（2020春•左权县期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
【解析】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故选：A．
二．填空题
8．（2020秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长＝ 13 cm．
【解析】解：如图，
∵OB、OC分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
而DE∥BC，
∴∠2＝∠5，∠6＝∠4，
∴∠1＝∠5，∠6＝∠3，
∴DO＝DB，EO＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DO+AE+EO＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC＝7+6＝13（cm）．
故答案为13．
9．（2020秋•南关区校级期末）如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 8 cm2．
【解析】解：如图，延长AP交BC于点Q，
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，
∴AP＝QP，
∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，
∴S△ABC＝2S阴影＝8（cm2），
故答案为：8．
10．（2019春•乐清市期中）在△ABC中，∠BAC＝126°，AD是BC边上的高，若AB+BD＝DC，则∠C＝ 18° ．
【解析】解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∵AB+BD＝DC，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠B＝2∠C，
∵∠BAC＝126°，
∴∠B+∠C＝180°﹣126°＝54°，
∴∠C＝18°，
故答案为：18°
11．（2019•松北区二模）如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，则CE＝ 5 ．
【解析】解：取BF的中点G，连接AG，如图所示：
则BG＝FG，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴AG＝BF＝BG＝FG，
∴∠B＝∠GAB，
∵∠AGC＝∠B+∠GAB＝2∠B，∠C＝2∠B，
∴∠AGC＝∠C，
∴AG＝AC，
∵AE⊥BC，
∴GE＝CE，
∵点D为BC边中点，
∴BD＝CD，
设EF＝x，则GE＝CE＝EF+CF＝x+2，BD＝CD＝DE+EF+CF＝x+6，DG＝GE﹣DE＝x﹣2，
∴BG＝FG＝GE+EF＝2x+2，
∵BD＝CD，
∴2x+2+x﹣2＝x+6，
解得：x＝3，
∴EF＝3，
∴CE＝EF+CF＝5；
故答案为：5．
12．如图，在△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC＝4，∠BAC的平分线交BC于D，DF∥AB交∠BAD的平分线于F，则DF＝ 2 ．
【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝4，∠B＝30°，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
故答案为：2．
三．解答题
13．（2020秋•盐池县期末）已知：如图，AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，求证：CD＝BD．
【解析】证明：连接BC，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC；
∵∠DCB＝∠ACD﹣∠ACB，
∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC，而∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴CD＝BD．
14．如图，已知：△ABC中，∠1＝∠2，且AE＝AD，BE和CD相交于F．求证：BF＝CF．
【解析】证明：在△ABE和△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2，
即∠FBC＝∠FCB，
∴BF＝CF．
15．（2020秋•下城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠ACD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
16．（2018秋•如皋市期中）在一次数学课上，王老师在黑板上画出一幅图，并写下了四个等式：
①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE．
（1）上述4个条件中，由哪两个条件可以判定△AED是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
【解析】解：（1）①③、①④、②③、②④都可以证明△ABE≌△DCE，可得到AE＝DE，可判定△AED为等腰三角形；
（2）选择①③，证明如下：
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴AE＝DE，
∴△AED为等腰三角形．
17．（2020秋•大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
【解析】证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE
A．8B．4C．32D．16
2．（2020秋•临沭县期中）下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2019秋•樊城区期中）上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h（海里/时，1n mile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得NAC＝42°，NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（ ）
A．45n mileB．30n mileC．20n mileD．15n mile
4．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
5．（2020秋•天桥区期末）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
6．（2021春•普陀区校级期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（2020春•左权县期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
二．填空题
8．（2020秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长＝ cm．
9．（2020秋•南关区校级期末）如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 cm2．
10．（2019春•乐清市期中）在△ABC中，∠BAC＝126°，AD是BC边上的高，若AB+BD＝DC，则∠C＝ ．
11．（2019•松北区二模）如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，则CE＝ ．
12．如图，在△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC＝4，∠BAC的平分线交BC于D，DF∥AB交∠BAD的平分线于F，则DF＝ ．
三．解答题
13．（2020秋•盐池县期末）已知：如图，AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，求证：CD＝BD．
14．如图，已知：△ABC中，∠1＝∠2，且AE＝AD，BE和CD相交于F．求证：BF＝CF．
15．（2020秋•下城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
16．（2018秋•如皋市期中）在一次数学课上，王老师在黑板上画出一幅图，并写下了四个等式：
①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE．
（1）上述4个条件中，由哪两个条件可以判定△AED是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
17．（2020秋•大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
答案与解析
一．选择题
1．（2019秋•来宾期末）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行，△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（ ）
A．8B．4C．32D．16
【解析】解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO＝∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠MOB＝∠MBO，
∴MB＝MO，同理可得∠NOC＝∠NCO，
∴NO＝NC，
∴（AB+AC+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+MB+AN+NC+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+MO+AN+NO+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝（AM+AN+MN+BC）﹣（AM+AN+MN）
＝BC，
又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC＝20，AM+AN+MN＝12，
则BC＝20﹣12＝8．
故选：A．
2．（2020秋•临沭县期中）下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解析】解：图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，
∴∠C＝140°﹣70°＝70°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图③中，∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图④中，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC是等腰三角形；
图⑤中，∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
能判定△ABC是等腰三角形的有4个，
故选：C．
3．（2019秋•樊城区期中）上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h（海里/时，1n mile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得NAC＝42°，NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（ ）
A．45n mileB．30n mileC．20n mileD．15n mile
【解析】解：∵∠NBC＝84°，∠NAC＝42°，
∴∠C＝84°﹣42°＝42°．
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB，
∵上午8时，一条船从海岛A出发，以150n mile/h的速度向正北航行．10时到达海岛B处，
∴BC＝AB＝15×2＝30n mile．
故选：B．
4．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣108°）＝36°，
∵BD＝AD＝AE，
∴△ABD、△ADE是等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，∠AED＝∠ADE＝∠B+∠DAB＝72°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°，
∴∠EAC＝∠C，
∴△ACE是等腰三角形，AE＝CE，
∵∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAE＝∠DAB+∠DAE＝72°，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△BAE是等腰三角形，BA＝BE，
同理：△CAD是等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数为6个，
故选：D．
5．（2020秋•天桥区期末）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
【解析】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
6．（2021春•普陀区校级期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解析】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故选：B．
7．（2020春•左权县期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
【解析】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故选：A．
二．填空题
8．（2020秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝5cm，AC＝6cm，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长＝ 13 cm．
【解析】解：如图，
∵OB、OC分别平分∠ABC与∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
而DE∥BC，
∴∠2＝∠5，∠6＝∠4，
∴∠1＝∠5，∠6＝∠3，
∴DO＝DB，EO＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DO+AE+EO＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC＝7+6＝13（cm）．
故答案为13．
9．（2020秋•南关区校级期末）如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 8 cm2．
【解析】解：如图，延长AP交BC于点Q，
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，
∴AP＝QP，
∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，
∴S△ABC＝2S阴影＝8（cm2），
故答案为：8．
10．（2019春•乐清市期中）在△ABC中，∠BAC＝126°，AD是BC边上的高，若AB+BD＝DC，则∠C＝ 18° ．
【解析】解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∵AB+BD＝DC，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠B＝2∠C，
∵∠BAC＝126°，
∴∠B+∠C＝180°﹣126°＝54°，
∴∠C＝18°，
故答案为：18°
11．（2019•松北区二模）如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，则CE＝ 5 ．
【解析】解：取BF的中点G，连接AG，如图所示：
则BG＝FG，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴AG＝BF＝BG＝FG，
∴∠B＝∠GAB，
∵∠AGC＝∠B+∠GAB＝2∠B，∠C＝2∠B，
∴∠AGC＝∠C，
∴AG＝AC，
∵AE⊥BC，
∴GE＝CE，
∵点D为BC边中点，
∴BD＝CD，
设EF＝x，则GE＝CE＝EF+CF＝x+2，BD＝CD＝DE+EF+CF＝x+6，DG＝GE﹣DE＝x﹣2，
∴BG＝FG＝GE+EF＝2x+2，
∵BD＝CD，
∴2x+2+x﹣2＝x+6，
解得：x＝3，
∴EF＝3，
∴CE＝EF+CF＝5；
故答案为：5．
12．如图，在△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC＝4，∠BAC的平分线交BC于D，DF∥AB交∠BAD的平分线于F，则DF＝ 2 ．
【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝4，∠B＝30°，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
故答案为：2．
三．解答题
13．（2020秋•盐池县期末）已知：如图，AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，求证：CD＝BD．
【解析】证明：连接BC，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC；
∵∠DCB＝∠ACD﹣∠ACB，
∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC，而∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴CD＝BD．
14．如图，已知：△ABC中，∠1＝∠2，且AE＝AD，BE和CD相交于F．求证：BF＝CF．
【解析】证明：在△ABE和△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2，
即∠FBC＝∠FCB，
∴BF＝CF．
15．（2020秋•下城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠ACD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
16．（2018秋•如皋市期中）在一次数学课上，王老师在黑板上画出一幅图，并写下了四个等式：
①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE．
（1）上述4个条件中，由哪两个条件可以判定△AED是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
【解析】解：（1）①③、①④、②③、②④都可以证明△ABE≌△DCE，可得到AE＝DE，可判定△AED为等腰三角形；
（2）选择①③，证明如下：
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴AE＝DE，
∴△AED为等腰三角形．
17．（2020秋•大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
【解析】证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE
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