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2020-2021学年第2章 特殊三角形2.8 直角三角形全等的判定课时练习
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这是一份2020-2021学年第2章 特殊三角形2.8 直角三角形全等的判定课时练习，共19页。试卷主要包含了判断题等内容，欢迎下载使用。
1．（2020秋•永年区期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC＝ADB．AB＝ABC．∠ABC＝∠ABDD．∠BAC＝∠BAD
2．（2019秋•乐亭县期末）如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．75°
3．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
4．（2020春•平顶山期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，ED是线段AB的垂直平分线，∠ACB＝90°，AC＝6，则BE的长为（ ）
A．5B．6C．7D．12
5．（2020春•开福区校级期末）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论：①DF+AE＞AD；②DE＝DF；③AD⊥EF；④S△ABD：S△ACD＝AB：AC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3 个D．4个
6．（2020秋•萧山区期中）如图，在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，与AC相交于点F，CD⊥BD，垂足为D，交BA的延长线于点E，AH⊥BC交BD于点M，交BC于点H，下列选项不正确的是（ ）
A．∠E＝67.5°B．∠AMF＝∠AFMC．BF＝2CDD．BD＝AB+AF
二．填空题
7．（2020春•涟源市期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件： （写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．
8．（2019秋•临西县期末）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”．
9．在下列所给的四组条件中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）的是
①AC＝A′C′，∠A＝∠A′；②AC＝′C′，BC＝B′C′；③∠A＝∠A′，∠B＝∠B′；④AC＝A′C′，AB＝A′B′．
10．判断题：
（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等；
（2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；
（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；
（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等． ．
11．（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝ 时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．
12．（2020•浙江自主招生）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是 ．
三．解答题
13．（2020秋•唐山期末）已知，如图△ABC，AE平分∠BAC，EF⊥AB，垂足为F，点F在AB的延长线上，EG⊥AC，垂足为点G，ED垂直平分BC，D为垂足，连接BE，CE．
求证：△BEF≌△CEG．
14．（2021•温岭市模拟）将两个完全相同的含30°角直角三角板ABE、CBF如图所示放置．
（1）求证：△ADF≌△CDE；
（2）连接BD，求∠ABD的度数．
15．（2021春•高新区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．
16．（2021•温州模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．
17．（2021•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
18．（2021春•萧山区月考）如图，在△ABC中，OE⊥AB与点E，OF⊥AC与点F，且OE＝OF．
（1）如图①，当O为BC中点时，试说明AB＝AC；
（2）如图②，当点O在△ABC内部，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．
19．（2018秋•历下区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CD＝BE；
（2）已知CD＝2，求AC的长；
（3）求证：AB＝AC+CD．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋•永年区期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC＝ADB．AB＝ABC．∠ABC＝∠ABDD．∠BAC＝∠BAD
【解析】解：需要添加的条件为BC＝BD或AC＝AD，理由为：
若添加的条件为BC＝BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
若添加的条件为AC＝AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
故选：A．
2．（2019秋•乐亭县期末）如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．75°
【解析】解：∵∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝50°．
故选：B．
3．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；
②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，
∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），
∴BM＝EN
∵AM＝BM，DN＝EN，
∴AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），
故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；
③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
故选：A．
4．（2020春•平顶山期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，ED是线段AB的垂直平分线，∠ACB＝90°，AC＝6，则BE的长为（ ）
A．5B．6C．7D．12
【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AE，
∴DC＝DE，∠C＝∠AED＝90°，
又∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴AC＝AE＝BE＝6，
故选：B．
5．（2020春•开福区校级期末）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论：①DF+AE＞AD；②DE＝DF；③AD⊥EF；④S△ABD：S△ACD＝AB：AC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3 个D．4个
【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF，故②正确；
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，故③正确；
∵在△AFD中，AF+DF＞AD，
又∵AE＝AF，
∴AE+DF＞AD，故①正确；
∵S△ABD＝，S△ACD＝，DE＝DF，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，故④正确；
即正确的个数是4个，
故选：D．
6．（2020秋•萧山区期中）如图，在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，与AC相交于点F，CD⊥BD，垂足为D，交BA的延长线于点E，AH⊥BC交BD于点M，交BC于点H，下列选项不正确的是（ ）
A．∠E＝67.5°B．∠AMF＝∠AFMC．BF＝2CDD．BD＝AB+AF
【解析】解：∵AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，
∵BD⊥CD，
∴∠E＝67.5°，故选项A正确，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，∠CBF+∠BMH＝90°，
∴∠AFB＝∠BMH，
∴∠AFM＝∠BMH＝∠AMF，故选项B正确，
∵CD⊥BD，
∴∠BDE＝∠BAC＝90°，
∴∠E+∠EBD＝90°，∠E+∠ACE＝90°，
∴∠EBD＝∠ACE，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（ASA），
∴AE＝AF，BF＝CE，
∴AB+AF＝AB+AE＝BE，
∵Rt△BED中，BE＞BD，
∴AB+AF＞BD，
故选项D错误，
在△EBD和△CBD中，
，
∴△EBD≌△CBD（ASA），
∴CD＝DE，
∴BF＝CE＝2CD，故选项C正确，
故选：D．
二．填空题
7．（2020春•涟源市期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件： AC＝AD （写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．
【解析】解：条件是AC＝AD（答案不唯一），
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
8．（2019秋•临西县期末）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ HL ”．
【解析】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝∠BEC＝90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD＝EC，BC＝CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL．
9．在下列所给的四组条件中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）的是 ①②④
①AC＝A′C′，∠A＝∠A′；②AC＝′C′，BC＝B′C′；③∠A＝∠A′，∠B＝∠B′；④AC＝A′C′，AB＝A′B′．
【解析】解：①在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
，
则△ABC≌△A′B′C（ASA）
故本选项正确；
②在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
，
则△ABC≌△A′B′C（SAS）
故本选项正确；
③在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
∠C＝∠C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B，
因为没有边的参与，所以不能判定这两个三角形全等；
故本选项错误；
④在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
，
则Rt△ABC≌Rt△A′B′C（HL）
故本选项正确；
故答案为：①②④．
10．判断题：
（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等； 正确
（2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等； 正确
（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； 错误
（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等； 正确
（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等． 正确 ．
【解析】解：（1）正确，根据AAS判定两三角形全等；
（2）正确，根据ASA判定两三角形全等；
（3）错误，两个锐角分别相等只能判定两个三角形相似，并不能判定两个三角形全等；
（4）正确，根据SAS判定两三角形全等；
（5）正确，根据HL判定两三角形全等．
故答案为：正确；正确；错误；正确；正确．
11．（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝ 2 时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．
【解析】解：当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，
∵BC＝8，BP＝2，
∴PC＝6，
∵AB⊥BC、DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
在△ABP和△PCD中，
∴△ABP≌△PCD（SAS），
故答案为：2．
12．（2020•浙江自主招生）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是 2 ．
【解析】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，
又∵∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝3，CE＝2+3＝5，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝＝2，
故答案为：2
三．解答题
13．（2020秋•唐山期末）已知，如图△ABC，AE平分∠BAC，EF⊥AB，垂足为F，点F在AB的延长线上，EG⊥AC，垂足为点G，ED垂直平分BC，D为垂足，连接BE，CE．
求证：△BEF≌△CEG．
【解析】证明：∵AE平分∠FAC，EF⊥AF，EG⊥AC，
∴EF＝EG，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∵EF⊥AF，EG⊥AC，
∴∠BFE＝∠CGE＝90°，
在Rt△BEF和Rt△CEG中，
，
∴Rt△BEF≌Rt△CEG（ HL）．
14．（2021•温岭市模拟）将两个完全相同的含30°角直角三角板ABE、CBF如图所示放置．
（1）求证：△ADF≌△CDE；
（2）连接BD，求∠ABD的度数．
【解析】（1）证明：根据题意知，
Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴AB＝CB，BE＝BF，
∴BE﹣CB＝BF﹣AB，
∴CE＝AF，
在△CDE和△ADF中，
，
∴△CDE≌△ADF（AAS）．
（2）解：由（1）知，△ADF≌△CDE，
∴DE＝DF，
在△DFB和△DEB中，
，
∴△DFB≌△DEB（SAS），
∴∠FBD＝∠EBD，
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABD＝∠EBF＝30°．
15．（2021春•高新区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．
【解析】解：AD⊥EF．理由如下：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD平分∠EAF，
∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一）．
16．（2021•温州模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．
【解析】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FDB＝∠CDA＝∠AEF＝90°，
∵∠FBD+∠FDB+∠BFD＝180°，
∠CAD+∠AEF+∠AFE＝180°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠CAD，
∵在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）．
（2）解：由（1）得：DF＝DC＝2，
∴BD＝AD＝1+2＝3，
Rt△ABD中，AB＝＝3．
17．（2021•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
【解析】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
18．（2021春•萧山区月考）如图，在△ABC中，OE⊥AB与点E，OF⊥AC与点F，且OE＝OF．
（1）如图①，当O为BC中点时，试说明AB＝AC；
（2）如图②，当点O在△ABC内部，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．
【解析】（1）说明如下：∵O为BC中点，∴BO＝CO，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；
（2）解：AB＝AC，理由如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），
∴∠ABO＝∠ACO，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
19．（2018秋•历下区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CD＝BE；
（2）已知CD＝2，求AC的长；
（3）求证：AB＝AC+CD．
【解析】（1）证明：∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BE．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴CD＝DE，
∴CD＝BE；
（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，
∴DE＝BE＝CD＝2，
∴BD＝＝＝2，
∴AC＝BC＝CD+BD＝2+2；
（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE＝AC．
∵由（1）知CD＝BE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
1．（2020秋•永年区期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC＝ADB．AB＝ABC．∠ABC＝∠ABDD．∠BAC＝∠BAD
2．（2019秋•乐亭县期末）如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．75°
3．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
4．（2020春•平顶山期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，ED是线段AB的垂直平分线，∠ACB＝90°，AC＝6，则BE的长为（ ）
A．5B．6C．7D．12
5．（2020春•开福区校级期末）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论：①DF+AE＞AD；②DE＝DF；③AD⊥EF；④S△ABD：S△ACD＝AB：AC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3 个D．4个
6．（2020秋•萧山区期中）如图，在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，与AC相交于点F，CD⊥BD，垂足为D，交BA的延长线于点E，AH⊥BC交BD于点M，交BC于点H，下列选项不正确的是（ ）
A．∠E＝67.5°B．∠AMF＝∠AFMC．BF＝2CDD．BD＝AB+AF
二．填空题
7．（2020春•涟源市期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件： （写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．
8．（2019秋•临西县期末）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”．
9．在下列所给的四组条件中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）的是
①AC＝A′C′，∠A＝∠A′；②AC＝′C′，BC＝B′C′；③∠A＝∠A′，∠B＝∠B′；④AC＝A′C′，AB＝A′B′．
10．判断题：
（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等；
（2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；
（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；
（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等． ．
11．（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝ 时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．
12．（2020•浙江自主招生）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是 ．
三．解答题
13．（2020秋•唐山期末）已知，如图△ABC，AE平分∠BAC，EF⊥AB，垂足为F，点F在AB的延长线上，EG⊥AC，垂足为点G，ED垂直平分BC，D为垂足，连接BE，CE．
求证：△BEF≌△CEG．
14．（2021•温岭市模拟）将两个完全相同的含30°角直角三角板ABE、CBF如图所示放置．
（1）求证：△ADF≌△CDE；
（2）连接BD，求∠ABD的度数．
15．（2021春•高新区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．
16．（2021•温州模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．
17．（2021•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
18．（2021春•萧山区月考）如图，在△ABC中，OE⊥AB与点E，OF⊥AC与点F，且OE＝OF．
（1）如图①，当O为BC中点时，试说明AB＝AC；
（2）如图②，当点O在△ABC内部，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．
19．（2018秋•历下区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CD＝BE；
（2）已知CD＝2，求AC的长；
（3）求证：AB＝AC+CD．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋•永年区期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC＝ADB．AB＝ABC．∠ABC＝∠ABDD．∠BAC＝∠BAD
【解析】解：需要添加的条件为BC＝BD或AC＝AD，理由为：
若添加的条件为BC＝BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
若添加的条件为AC＝AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
故选：A．
2．（2019秋•乐亭县期末）如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．75°
【解析】解：∵∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝50°．
故选：B．
3．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；
②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，
∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），
∴BM＝EN
∵AM＝BM，DN＝EN，
∴AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），
故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；
③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
故选：A．
4．（2020春•平顶山期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，ED是线段AB的垂直平分线，∠ACB＝90°，AC＝6，则BE的长为（ ）
A．5B．6C．7D．12
【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AE，
∴DC＝DE，∠C＝∠AED＝90°，
又∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴AC＝AE＝BE＝6，
故选：B．
5．（2020春•开福区校级期末）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论：①DF+AE＞AD；②DE＝DF；③AD⊥EF；④S△ABD：S△ACD＝AB：AC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3 个D．4个
【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF，故②正确；
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，故③正确；
∵在△AFD中，AF+DF＞AD，
又∵AE＝AF，
∴AE+DF＞AD，故①正确；
∵S△ABD＝，S△ACD＝，DE＝DF，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，故④正确；
即正确的个数是4个，
故选：D．
6．（2020秋•萧山区期中）如图，在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，与AC相交于点F，CD⊥BD，垂足为D，交BA的延长线于点E，AH⊥BC交BD于点M，交BC于点H，下列选项不正确的是（ ）
A．∠E＝67.5°B．∠AMF＝∠AFMC．BF＝2CDD．BD＝AB+AF
【解析】解：∵AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，
∵BD⊥CD，
∴∠E＝67.5°，故选项A正确，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，∠CBF+∠BMH＝90°，
∴∠AFB＝∠BMH，
∴∠AFM＝∠BMH＝∠AMF，故选项B正确，
∵CD⊥BD，
∴∠BDE＝∠BAC＝90°，
∴∠E+∠EBD＝90°，∠E+∠ACE＝90°，
∴∠EBD＝∠ACE，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（ASA），
∴AE＝AF，BF＝CE，
∴AB+AF＝AB+AE＝BE，
∵Rt△BED中，BE＞BD，
∴AB+AF＞BD，
故选项D错误，
在△EBD和△CBD中，
，
∴△EBD≌△CBD（ASA），
∴CD＝DE，
∴BF＝CE＝2CD，故选项C正确，
故选：D．
二．填空题
7．（2020春•涟源市期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件： AC＝AD （写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．
【解析】解：条件是AC＝AD（答案不唯一），
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
8．（2019秋•临西县期末）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ HL ”．
【解析】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝∠BEC＝90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD＝EC，BC＝CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL．
9．在下列所给的四组条件中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）的是 ①②④
①AC＝A′C′，∠A＝∠A′；②AC＝′C′，BC＝B′C′；③∠A＝∠A′，∠B＝∠B′；④AC＝A′C′，AB＝A′B′．
【解析】解：①在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
，
则△ABC≌△A′B′C（ASA）
故本选项正确；
②在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
，
则△ABC≌△A′B′C（SAS）
故本选项正确；
③在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
∠C＝∠C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B，
因为没有边的参与，所以不能判定这两个三角形全等；
故本选项错误；
④在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
，
则Rt△ABC≌Rt△A′B′C（HL）
故本选项正确；
故答案为：①②④．
10．判断题：
（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等； 正确
（2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等； 正确
（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； 错误
（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等； 正确
（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等． 正确 ．
【解析】解：（1）正确，根据AAS判定两三角形全等；
（2）正确，根据ASA判定两三角形全等；
（3）错误，两个锐角分别相等只能判定两个三角形相似，并不能判定两个三角形全等；
（4）正确，根据SAS判定两三角形全等；
（5）正确，根据HL判定两三角形全等．
故答案为：正确；正确；错误；正确；正确．
11．（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝ 2 时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．
【解析】解：当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，
∵BC＝8，BP＝2，
∴PC＝6，
∵AB⊥BC、DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
在△ABP和△PCD中，
∴△ABP≌△PCD（SAS），
故答案为：2．
12．（2020•浙江自主招生）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是 2 ．
【解析】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，
又∵∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝3，CE＝2+3＝5，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝＝2，
故答案为：2
三．解答题
13．（2020秋•唐山期末）已知，如图△ABC，AE平分∠BAC，EF⊥AB，垂足为F，点F在AB的延长线上，EG⊥AC，垂足为点G，ED垂直平分BC，D为垂足，连接BE，CE．
求证：△BEF≌△CEG．
【解析】证明：∵AE平分∠FAC，EF⊥AF，EG⊥AC，
∴EF＝EG，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∵EF⊥AF，EG⊥AC，
∴∠BFE＝∠CGE＝90°，
在Rt△BEF和Rt△CEG中，
，
∴Rt△BEF≌Rt△CEG（ HL）．
14．（2021•温岭市模拟）将两个完全相同的含30°角直角三角板ABE、CBF如图所示放置．
（1）求证：△ADF≌△CDE；
（2）连接BD，求∠ABD的度数．
【解析】（1）证明：根据题意知，
Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴AB＝CB，BE＝BF，
∴BE﹣CB＝BF﹣AB，
∴CE＝AF，
在△CDE和△ADF中，
，
∴△CDE≌△ADF（AAS）．
（2）解：由（1）知，△ADF≌△CDE，
∴DE＝DF，
在△DFB和△DEB中，
，
∴△DFB≌△DEB（SAS），
∴∠FBD＝∠EBD，
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABD＝∠EBF＝30°．
15．（2021春•高新区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．
【解析】解：AD⊥EF．理由如下：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD平分∠EAF，
∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一）．
16．（2021•温州模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．
【解析】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FDB＝∠CDA＝∠AEF＝90°，
∵∠FBD+∠FDB+∠BFD＝180°，
∠CAD+∠AEF+∠AFE＝180°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠CAD，
∵在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）．
（2）解：由（1）得：DF＝DC＝2，
∴BD＝AD＝1+2＝3，
Rt△ABD中，AB＝＝3．
17．（2021•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
【解析】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
18．（2021春•萧山区月考）如图，在△ABC中，OE⊥AB与点E，OF⊥AC与点F，且OE＝OF．
（1）如图①，当O为BC中点时，试说明AB＝AC；
（2）如图②，当点O在△ABC内部，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．
【解析】（1）说明如下：∵O为BC中点，∴BO＝CO，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；
（2）解：AB＝AC，理由如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），
∴∠ABO＝∠ACO，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
19．（2018秋•历下区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CD＝BE；
（2）已知CD＝2，求AC的长；
（3）求证：AB＝AC+CD．
【解析】（1）证明：∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BE．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴CD＝DE，
∴CD＝BE；
（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，
∴DE＝BE＝CD＝2，
∴BD＝＝＝2，
∴AC＝BC＝CD+BD＝2+2；
（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE＝AC．
∵由（1）知CD＝BE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
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