初中数学北师大版八年级上册7 二次根式教案

这是一份初中数学北师大版八年级上册7 二次根式教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第1课时 二次根式和最简二次根式
【教学目标】
1.了解二次根式的概念和二次根式乘除法法则.
2.理解二次根式的乘除法法则，能将一般的二次根式化为最简二次根式.
【教学重难点】
重点：会利用积的算术平方根和商的算术平方根化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘除运算.
难点：二次根式的乘除与积、商的算术平方根的关系及应用.
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
1.什么是平方根、算术平方根？
2.试一试，说出下列代数式的意义：
eq \r(5)，eq \r(11)，eq \r(7.2)，eq \r(\f(49,121))，eq \r(（c＋b）（c－b）)(其中b＝24，c＝25).
3.第2题各代数式的共同特点是什么？
(学生通过观察，从中感知二次根式的特征，鼓励学生用自己的语言总结出共同特征，从而引出课题，教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，板书本课课题)
二、师生互动，探究新知
1.二次根式的概念.
(1)引导学生概括出二次根式的定义：一般地，形如eq \r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式.
(2)思考：eq \r(a)＋1是不是二次根式？eq \r(a＋1)呢？
经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评.
教师总结：二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
(3)想一想：根据已有知识，说一说你对二次根式eq \r(a)的认识.
学生分组讨论，回答，最后教师总结：
①表示a的算术平方根；②a可以是数，也可以是代数式；③含有二次根号“eq \r( )”；④a≥0，eq \r(a)≥0；⑤表示开平方运算，也可以表示运算结果.
2.积的算术平方根与商的算术平方根.
(1)多媒体出示教材第41页“做一做”.
(2)让学生独立完成总结规律.
教师点评：①被开方数都是正数；②等式一边是两个二次根式相乘(除)，另一边是两个二次根式中被开方数的积(商).即eq \r(ab)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)，eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0).
(3)eq \r(ab)与eq \r(\f(a,b))表示的意义是什么？你能用自己的语言叙述这一性质吗？
学生讨论后，教师总结：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积；商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
3.最简二次根式.
(1)教师出示例1，让学生独立完成.
(2)观察计算结果，你发现这些化简结果中的二次根式有什么特点？
师生归纳出如下两个特点：
①被开方数不含分母；
②被开方数也不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上面两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
(3)教师出示例2，学生完成后，引导学生完成教材第42页“议一议”.
教师强调：化简时最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
4.二次根式的乘法法则和除法法则.
(1)刚才我们研究了积的算术平方根和商的算术平方根，根据它们的公式你能总结出它们的法则吗？
学生充分讨论后，进行总结：eq \r(a)·eq \r(b)＝eq \r(ab)(a≥0，b≥0)，eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \r(\f(a,b))(a≥0，b>0).
(2)教师出示例3，让学生独立完成.
三、运用新知，解决问题
(1)计算(学生练习，教师点评)：
①eq \r(16)×eq \r(5)； ②3eq \r(6)×2eq \r(10)；
③eq \r(14)×eq \r(7)； ④eq \r(5)×eq \r(10).
(2)化简：
①eq \r(20)； ②eq \r(7.5)； ③eq \f(1,\r(7))； ④eq \f(\r(2),\r(3)).
四、课堂小结，提炼观点
本节课要掌握：
(1)eq \r(ab)＝eq \r(a)·eq \r(b)(a≥0，b≥0)，eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0).
(2)二次根式和最简二次根式的定义.
五、布置作业，巩固提升
教材第43页习题2.9第1题.
【板书设计】
第1课时 二次根式和最简二次根式
1.二次根式的概念
2.积的算术平方根与商的算术平方根
3.最简二次根式
4.二次根式乘除法法则
第2课时 二次根式的运算
【教学目标】
1.能根据实数的运算法则、运算律进行二次根式的加法与减法运算.
2.会进行二次根式的混合运算.
【教学重难点】
重点：掌握二次根式的加减法运算方法，会用它进行简单的二次根式的加减法运算.
难点：正确地进行二次根式的加减法运算.
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
计算：
①2a·3b； ②a(b＋c)； ③(x＋2y)2；
④(x－3y)(x＋3y)； ⑤(5x2＋10x)÷x.
这是我们以前学习的整式的乘除法，它对二次根式同样适用.
二、师生互动，探究新知
1.教师用多媒体出示例4.
教师引导学生观察，类比以前的整式乘法的运算，将整式乘法的运算方法迁移到二次根式的运算中.
想一想：例4中的每个算式和我们学过的哪种整式乘法类似？你能根据整式乘法的法则进行计算吗？
让学生思考后，独立完成.
归纳：复杂的二次根式的计算可运用整式乘法的运算法则进行.
2.试一试.
计算：(1)3eq \r(3)－2eq \r(3)；(2)3eq \r(a)＋2eq \r(a).
通过观察以上两道计算题，你联想到了什么？你能试着解出它吗？
归纳：上面两个例子表明：遇到两个二次根式相加(或相减)时，我们希望利用分配律.这里利用分配律的实质就是要求这两个二次根式的被开方数相同，这种类似的情况我们过去也遇到过：将两个单项式相加，就应当要求两个单项式除了系数以外，其余部分完全相同.这就启发我们，类似地，在整式的加减中，也合并一种“同类二次根式”吗？(学生讨论类比同类项，得到同类二次根式的特征)
教师讲解：①被开方数相同；②二次根式是最简二次根式；③与二次根式前面的系数无关.
3.教师用多媒体出示例5.
让学生尝试完成，指名三位同学进行板演.
教师讲解，共同归纳：先将所给的二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同的是同类二次根式，需要进行合并.
通过刚才的计算，想一想：怎样合并同类二次根式？
小结：二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并，合并方法是将同类二次根式前面的系数相加减.
4.教师用多媒体出示例6.
引导学生分析观察根式的特点，注意先化简，再合并，有困难的小组内交流完成.
让学生讨论，对于第(3)题还有哪些做法？试一试看看结果是否一致.
归纳：解法一：(eq \r(24)－eq \r(\f(1,6)))÷eq \r(3)
＝eq \r(24)÷eq \r(3)－eq \r(\f(1,6))÷eq \r(3)
＝eq \r(8)－eq \r(\f(1,18))
＝2eq \r(2)－eq \f(1,6)eq \r(2)
＝eq \f(11,6)eq \r(2).
解法二：(eq \r(24)－eq \r(\f(1,6)))÷eq \r(3)
＝(2eq \r(6)－eq \f(1,6)eq \r(6))÷eq \r(3)
＝eq \f(11,6)eq \r(6)÷eq \r(3)
＝eq \f(11,6)eq \r(2).
指导学生进行二次根式混合运算时可以采用多种方法，要注意灵活运用.
教师分析(4)的结果，强调：eq \r(99)化成最简二次根式后与eq \r(\f(25,2))，eq \r(18)化简后的被开方数不同，因此，结果中可以保留eq \r(99)，不必将它化成最简二次根式.
议一议：化简(eq \r(\f(1,a))－eq \r(b))·eq \r(ab)，其中a＝3，b＝2，你是怎么做的？与同伴进行交流.
教师讲评，鼓励方法的多样性，让学生完成教材中“做一做”.
归纳：在网格中求图形的面积可以采用割补的方法，将图形拼成一个大的图形或分成几个图形的组合.
三、运用新知，解决问题
完成教材第45，47页“随堂练习”.
四、课堂小结，提炼观点
通过本节课，你有什么收获或困惑？
同类二次根式：
(1)它们都是最简二次根式；
(2)被开方数必须完全相同.
同时，我们还学习了二次根式的加法与减法运算.通过计算我们知道，二次根式的加减法的实质就是合并二次根式，实数的运算法则、运算律对二次根式的加减法的运算同样适用.
五、布置作业，巩固提升
教材第45页习题2.10，第48页习题2.11.
【板书设计】
第2课时 二次根式的运算
1.实数的运算法则对二次根式的应用
2.同类二次根式的合并