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数学九年级上册第四章 图形的相似综合与测试同步训练题
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这是一份数学九年级上册第四章 图形的相似综合与测试同步训练题，共17页。试卷主要包含了若 ab=29 ，则a+bb，小刚身高 1等内容，欢迎下载使用。
1.已知 △ABC∽△DEF ，若 ∠A=30° ， ∠E=70° ，则 ∠F 的度数为（ ）
A. 30° B. 70° C. 80° D. 120°
2.如图，直线 l1∥l2∥l3 ，直线 AC 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点A，B，C，直线 DF 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点D，E，F，若 ABBC=23 ，则 DEDF 的值为（ ）
A. 23 B. 35 C. 25 D. 52
3.若 ab=29 ，则a+bb（ ）
A. 119 B. 79 C. 911 D. 97
4.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点， 且 SΔADE:S四边形DBCE=1:8 ，那么 等于（ ）
A. 1：9 B. 1：3 C. 1：8 D. 1：2
5.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，CE＝2AE，则下列结论中不成立的是（ ）
A. △ABC∽△ADE B. DE∥BC C. DE：BC＝1：2 D. S△ABC＝9S△ADE
6.小刚身高 1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.11m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A. 0.5m B. 0.52m C. 0.55m D. 2.22m
7.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为（ ）
A. 163 B. 8 C. 10 D. 16
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6
9.如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A. 3cm B. 2 2 cm C. 2.5cm D. 3.5cm
10.如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD=AH•AF；其中结论正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11.若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是 ， △A′B′C′的周长是 ．
12.已知 △ABC∽△DEF ，它们的周长分别为 3 和 1 ，则 △ABC 与 △DEF 面积之比为 .
13.某一时刻，长为1m的标杆影长为0.8m，此时身高为1.75m的小明影长为________m.
14.如图， AB ， CD 相交于 O 点， ΔAOC∼ΔBOD ， OC:CD=1:3 ， AC=2 ，则 BD 的长为________．
15.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一躲墙上，如图，此时测得地面上的影长为8米，墙上的影长为4米．同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 。
16.如图，CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝________.
17.在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18.如图， AB//CD//EF ，点C在AE上，点G在EF上，AF、BG交于点D，已知 CD=5 米， EG=6 米， GF=9 米，求AB的长.
19.如图，点E，F分别为正方形ABCD边AB和CD上的中点， BE与AF交于点G.求证：AD2＝DG·DE
20.如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且 EBBG=BHFH ，DG∥AB，求证：DF＝BG．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21.已知 a、b、c是△ABC的三边长，且 a5=b4=c6≠0 ，
求，
（1）.2a+b3c 的值。
（2）.若△ABC的周长为90，求各边的长
22.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）.求证：△ABC∽△ACD
（2）.若AD=2，AB=5.求AC的长．
23.如图，矩形 中， 为 上一点， 于 ．
（1）与 相似吗？请说明理由；
（2）若 ，求 的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24.如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．
（1）.以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′ ， 并写出点B′、C′的坐标：B′（ ， ），C′（ ， ）；
（2）.在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（ ， ）．
25.如图，已知 CD 是 RtΔABC 斜边 AB 上的中线，过点 D 作 AC 的平行线，过点 C 作 CD 的垂线，两线相交于点 E .
（1）求证： ΔABC∼ΔDEC ；
（2）若 CE=2 ， CD=4 ，求 ΔABC 的面积.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.已知 △ABC∽△DEF ，若 ∠A=30° ， ∠E=70° ，则 ∠F 的度数为（ ）
A. 30° B. 70° C. 80° D. 120°
【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△DEF ，
∴ ∠A=∠D=30∘,
∵ ∠D+∠E+∠F=180∘，
∴ ∠F=80∘.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应角相等得出∠D的度数，进而根据三角形的内角和定理即可算出答案.
2.如图，直线 l1∥l2∥l3 ，直线 AC 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点A，B，C，直线 DF 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点D，E，F，若 ABBC=23 ，则 DEDF 的值为（ ）
A. 23 B. 35 C. 25 D. 52
【答案】 C
【解析】【解答】解：因为： l1∥l2∥l3 ，
所以： ABBC=DEEF=23 ，
所以： DEDF=25 .
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比列式，可得到DE与DF的比值。
3.若 ab=29 ，则a+bb（ ）
A. 119 B. 79 C. 911 D. 97
【答案】 A
【解析】【解答】∵ab=29 ，
∴a+bb=2+99=119.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质即可得出答案.
4.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点， 且 SΔADE:S四边形DBCE=1:8 ，那么 等于（ ）
A. 1：9 B. 1：3 C. 1：8 D. 1：2
【答案】 B
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，又∵ S△ADE：S四边形DBCE =1：8，∴ S△ADE：S△ABC =1：9，∴AE：AC=1：3．
故答案为：B．
【分析】相似三角形面积比等于对应边的比的平方，先算出面积比再开方求出对应边的比。
5.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，CE＝2AE，则下列结论中不成立的是（ ）
A. △ABC∽△ADE B. DE∥BC C. DE：BC＝1：2 D. S△ABC＝9S△ADE
【答案】 C
【解析】【解答】解：
∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴ ADBD=AEEC=12 ，
∴DE∥BC，故B不符合题意；
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
∴ DEBC=13 ，故C符合题意；
∴S△ABC＝9S△ADE ， 故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由已知条件易证DE∥BC，则△ABC∽△ADE，再由相似三角形的性质即可得到问题的选项．
6.小刚身高 1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.11m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A. 0.5m B. 0.52m C. 0.55m D. 2.22m
【答案】 B
【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 x m ，列方程得：
，
解得 x=2.22 ，
2.22−1.7=0.52m ，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 0.52m ．
故答案为：B．
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。
7.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为（ ）
A. 163 B. 8 C. 10 D. 16
【答案】 C
【解析】【解答】因为EF∥AB，DE：EA = 2：3，EF = 4，所以根据相似三角形的性质得AB=10，根据平行四边形的性质得AB=CD=10，故选C
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△DEF∽△DAB，于是可得比例式DEDA=EFAB求得AB的值，再根据平行四边形的性质得CD=AB可求解.
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6
【答案】 B
【解析】【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，
∴AD：BC=1：2；
∵AD∥BC，
∴△AOD～△BOC，
∵AD：BC=1：2，
∴S△AOD：S△BOC=1：4．
故选：B．
【分析】首先根据S△ACD：S△ABC=1：2，可得AD：BC=1：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S△AOD：S△BOC是多少即可．
9.如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A. 3cm B. 2 2 cm C. 2.5cm D. 3.5cm
【答案】 A
【解析】【解答】解：由题意可知：∠GFB=∠DEC=90º，
∴∠B+∠BGF=90º，
∵∠BAC=90º，
∴∠B+∠C=90º，
∴∠BGF=∠C，
∴△BGF∽△DCE，
∴ BFDE=GFCE ，
∵BF=4.5cm，CE=2cm，GF=DE，
∴ 4.5GF=GF2 ，
∴GF=3cm.
故答案为：A.
【分析】由同角的余角相等可得∠BGF=∠C，然后根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得△BGF∽△DCE，于是可得比例式BFDE=GFCE ， 则GF的值可求解。
10.如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD=AH•AF；其中结论正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】 D
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
{BF=AE∠B=∠EACBC=AC ，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°
故②正确；
∵∠BAF=∠ACE，∠AEC=∠AEC，
∴△AEH∽△CEA，
故③正确；
在菱形ABCD中，AD=AB，
∵△AEH∽△CEA，∴△ABF≌△CAE，
∴△AEH∽△ABF，
∴ AEAF=AHAB ，
∴ AEAF=AHAD ，
∴AE•AD=AH•AF，
故④正确，
故答案为：D．
【分析】由菱形的性质易证得△ABC是等边三角形，则∠B=∠EAC=60°，由SAS即可得①；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，可求得②正确；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，从而证得△AHK是等边三角形，然后由AAS可证得△AKD≌△AHC，则AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得④正确．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11.若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是 ， △A′B′C′的周长是 ．
【答案】 2：5；37.5
【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′
∴相似比是6：15=2：5
∵△ABC的周长是15
∴△A′B′C′的周长是37.5．
故答案为：2：5； 37.5.
【分析】根据相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比可求解。
12.已知 △ABC∽△DEF ，它们的周长分别为 3 和 1 ，则 △ABC 与 △DEF 面积之比为 .
【答案】 9:1
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△DEF 且它们的周长分别为 3 和 1 ，
∴ △ABC 与 △DEF 的相似比为3：1
∴ △ABC 与 △DEF 的面积比为9：1
故答案为：9：1.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比，面积之比等于形似比的平方即可得出结果.
13.某一时刻，长为1m的标杆影长为0.8m，此时身高为1.75m的小明影长为________m.
【答案】 75
【解析】【解答】设小明影子长为 xm ，
∵ 长为 1m 的标杆影长为 0.8m ，小明身高为 1.75m ，
∴ 10.8=1.75x 解之得： x=75
故答案为： 75
【分析】设小明影子长为 xm ，根据同一时刻物高与影子长度对应成比例，列出关于 x 的方程，即可求出答案.
14.如图， AB ， CD 相交于 O 点， ΔAOC∼ΔBOD ， OC:CD=1:3 ， AC=2 ，则 BD 的长为________．
【答案】 4
【解析】【解答】∵ △AOC∼△BOD ，
∴ ACBD=OCOD ．
∵ OC:CD=1:3 ，
∴ ACBD=OCOD=12 ．
∵AC=2 ，
∴BD=4 ．
故答案为：4．
【分析】根据相似三角形的性质有 ACBD=OCOD ，再利用 OC:CD=1:3 求出 OC:OD 的比值，即可求出答案．
15.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一躲墙上，如图，此时测得地面上的影长为8米，墙上的影长为4米．同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 。
【答案】 8
【解析】【解答】解：设地面影长对应的树高为x米，
由题意得x8=12 ，
解得x=4，
∵墙上的影长为4米，
∴树的高度为4+4=8米.
故答案为：8米.
【分析】设地面影长对应的树高为x米，根据阳光照射下的物长与影长的比值相同列出方程，求出x的值，再加上墙上的影长即可.
16.如图，CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝________.
【答案】 1：5
【解析】【解答】解：过点D作DH∥BE交AC于H，
∵DH∥BE，
∴ AEEH=AFFD=1 ， CHEH=CDDB=3 ，
∴AE＝EH，CH＝3EH，
∴AE：AC＝1：5，
故答案为：1：5.
【分析】作DH∥BE，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到AE＝EH，CH＝3EH，得到答案.
17.在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 ．
【答案】 （2n﹣1﹣1，2n﹣1）
【解析】【解答】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
代入y=kx+b得 {b=1k+b=2 ，
解得： {b=1k=1 ．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；
则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；
据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1 ， 横坐标是：2n﹣1﹣1．
故点An的坐标为 （2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
故答案是：（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
【分析】首先求得直线的解析式，分别求得A1 ， A2 ， A3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18.如图， AB//CD//EF ，点C在AE上，点G在EF上，AF、BG交于点D，已知 CD=5 米， EG=6 米， GF=9 米，求AB的长.
【答案】 解： ∵CD//EF ，
∴△ACD ∽ △AEF ，
∴ADAF=CDEF ，即 ADAF=56+9=13 ，
∴ADDF=12 ，
∵AB//EF ，
∴△ADB ∽ △FDG ，
∴ABGF=ADDF ，即 AB9=12 ，
解得， AB=4.5( 米 ) .
【解析】【分析】证明 △ACD ∽ △AEF ，根据相似三角形的性质得到 ADDF=12 ，证明 △ADB ∽ △FDG ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.
19.如图，点E，F分别为正方形ABCD边AB和CD上的中点， BE与AF交于点G.求证：AD2＝DG·DE
【答案】 证明：∵四边形ABCD是正方形，
又∵点E，F分别为正方形ABCD边AB和CD上的中点
∴AE=BF
在△BAF和△ADE中，
∵ {AD=AB∠DAE=∠ABFAE=BF
∴ ΔDAE≅ΔABF ，
∴ ∠ ADE= ∠ BAF，AF=ED
又∵ ∠ BAF+ ∠ GAD=90°， ∠ BAF+ ∠ AFB=90°
∴ ∠ GAD= ∠ AFB
在△BAF和△ADG中，
∠ ADE= ∠ BAF， ∠ GAD= ∠ AFB
∴△ADG ∽△FAB
∴ ADAF=DGAB
又∵AF=DE，AB=AD
∴ AD2=DG·DE .
【解析】【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定方法判断出 ΔDAE≅ΔABF ， 根据渠道数据线的性质得出 ∠ ADE= ∠ BAF，AF=ED ，然后根据同角的余角相等得出 ∠ GAD= ∠ AFB ，进而判断出 △ADG ∽△FAB ，根据相似三角形对应边成比例得出ADAF=DGAB ， 根据比例式及等量代换即可得出结论.
20.如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且 EBBG=BHFH ，DG∥AB，求证：DF＝BG．
【答案】 证明：∵DG∥AB，
∴ EBBG=EHDH ，
∵ EBBG=BHFH ，
∴ EHDH=BHFH ，
∵∠EHB＝∠DHF，
∴△DFH∽△EBH，
∴∠E＝∠FDH，
∴DF//BC，
∴四边形BGDF平行四边形，
∴DF＝BG．
【解析】【分析】证明△DFH∽△EBH，证出DF‖BC，可证出四边形BGDF平行四边形，则DF=BG．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21.已知 a、b、c是△ABC的三边长，且 a5=b4=c6≠0 ，
求，
（1）.2a+b3c 的值。
（2）.若△ABC的周长为90，求各边的长
【答案】 （1）解： 设a5=b4=c6=k ，
∴a=5k，b=4k，c=6k，
∴2a+b3c=10k+4k18k=79；
（2）解： ∵ △ABC的周长为90，
∴5k+4k+6k=90，
∴k=6，
∴a=30，b=24，c=36.
【解析】【分析】（1）根据题意设a=5k，b=4k，c=6k，代入原式进行计算，即可求解；
（2）根据△ABC的周长为90，列出方程求出k的值，从而求出a，b，c的值，即可求解.
22.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）.求证：△ABC∽△ACD
（2）.若AD=2，AB=5.求AC的长．
【答案】 （1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
（2）解：△ABC∽△ACD
∴ ACAD=ABAC
∵AD=2, AB=5
∴ AC2=5AC
∴AC= 10
【解析】【分析】（1）由已知条件可直接证明△ABC∽△ACD。
（2）利用相似三角形的性质，可得到对应边成比例，将AD、AB代入就可求出AC的长。
23.如图，矩形 中， 为 上一点， 于 ．
（1）与 相似吗？请说明理由；
（2）若 ，求 的长．
【答案】 （1）△ABE∽△ADF,理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵DF⊥AE
∴∠AFD=90°,
在△ABE与△ADF中，
∵∠B=∠AFD=90°，∠DAE=∠AEB，
∴△ABE∽△ADF,
（2）在Rt△ABE中，∵AB=6,BE=8,∴AE=10,
∵△ABE∽△ADF,
∴ABDF=AEAD,即6DF=1012,
解得：DF=7.2
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出∠B=90°,AD∥BC,根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE=∠AEB,然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△ABE∽△ADF；（2）首先根据勾股定理算出AE的长，然后根据相似三角形对应边成比例得出ABDF=AEAD ， 由比例式列出方程即可求出DF的长。
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24.如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．
（1）.以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′ ， 并写出点B′、C′的坐标：B′（ ， ），C′（ ， ）；
（2）.在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（ ， ）．
【答案】 （1）；﹣6；2；﹣4；﹣2
（2）﹣2x；﹣2y
【解析】【解答】解：（1）如图
B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）
2）M′（﹣2x，﹣2y）．
【分析】（1）延长BO，CO，根据相似比，在延长线上分别截取AO，BO，CO的2倍，确定所作的位似图形的关键点A'，B'，C'再顺次连接所作各点，即可得到放大2倍的位似图形△OB'C'；再根据点的位置写出点的坐标即可；（2）M′的坐标的横坐标、纵坐标分别是M的坐标的2倍的相反数．
25.如图，已知 CD 是 RtΔABC 斜边 AB 上的中线，过点 D 作 AC 的平行线，过点 C 作 CD 的垂线，两线相交于点 E .
（1）求证： ΔABC∼ΔDEC ；
（2）若 CE=2 ， CD=4 ，求 ΔABC 的面积.
【答案】 （1）证明：∵ CD 为 RtΔABC 斜边上的中线，
∴ CD=12AB=AD ，
∴ ∠A=∠ACD ，
∵ DE//AC ，
∴ ∠CDE=∠ACD=∠A ，
又∵ ∠ACB=∠DCE=90° ，
∴ ΔABC∼ΔDEC
（2）解：在 RtΔDCE 中， CE=2 ， CD=4 ，
∴ DE=22+42=25 ， SΔDEC=12×2×4=4 ，
∵ CD 为 RtΔABC 斜边上的中线，
∴ AB=2CD=8 ，
∵ ΔABC∼ΔDEC ，
∴ SΔABCSΔDEC=(ABDE)2 ，即 SΔABC4=(825)2 ，
∴ SΔABC=645 .
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=12AB，根据等边对等角可得∠A=∠ACD，再由平行线的性质可得∠CDE=∠ACD=∠A，于是根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△DEC；
（2）在直角三角形DCE中，用勾股定理可求得DE的长，根据S△DEC=12CD.CE可求得三角形的面积；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，由（1）知，△ABC∽△DEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得S△ABCS△DEC=ABDE2,把AB、DE、S△DEC的值的代入计算即可求解。
1.已知 △ABC∽△DEF ，若 ∠A=30° ， ∠E=70° ，则 ∠F 的度数为（ ）
A. 30° B. 70° C. 80° D. 120°
2.如图，直线 l1∥l2∥l3 ，直线 AC 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点A，B，C，直线 DF 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点D，E，F，若 ABBC=23 ，则 DEDF 的值为（ ）
A. 23 B. 35 C. 25 D. 52
3.若 ab=29 ，则a+bb（ ）
A. 119 B. 79 C. 911 D. 97
4.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点， 且 SΔADE:S四边形DBCE=1:8 ，那么 等于（ ）
A. 1：9 B. 1：3 C. 1：8 D. 1：2
5.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，CE＝2AE，则下列结论中不成立的是（ ）
A. △ABC∽△ADE B. DE∥BC C. DE：BC＝1：2 D. S△ABC＝9S△ADE
6.小刚身高 1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.11m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A. 0.5m B. 0.52m C. 0.55m D. 2.22m
7.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为（ ）
A. 163 B. 8 C. 10 D. 16
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6
9.如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A. 3cm B. 2 2 cm C. 2.5cm D. 3.5cm
10.如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD=AH•AF；其中结论正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11.若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是 ， △A′B′C′的周长是 ．
12.已知 △ABC∽△DEF ，它们的周长分别为 3 和 1 ，则 △ABC 与 △DEF 面积之比为 .
13.某一时刻，长为1m的标杆影长为0.8m，此时身高为1.75m的小明影长为________m.
14.如图， AB ， CD 相交于 O 点， ΔAOC∼ΔBOD ， OC:CD=1:3 ， AC=2 ，则 BD 的长为________．
15.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一躲墙上，如图，此时测得地面上的影长为8米，墙上的影长为4米．同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 。
16.如图，CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝________.
17.在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18.如图， AB//CD//EF ，点C在AE上，点G在EF上，AF、BG交于点D，已知 CD=5 米， EG=6 米， GF=9 米，求AB的长.
19.如图，点E，F分别为正方形ABCD边AB和CD上的中点， BE与AF交于点G.求证：AD2＝DG·DE
20.如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且 EBBG=BHFH ，DG∥AB，求证：DF＝BG．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21.已知 a、b、c是△ABC的三边长，且 a5=b4=c6≠0 ，
求，
（1）.2a+b3c 的值。
（2）.若△ABC的周长为90，求各边的长
22.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）.求证：△ABC∽△ACD
（2）.若AD=2，AB=5.求AC的长．
23.如图，矩形 中， 为 上一点， 于 ．
（1）与 相似吗？请说明理由；
（2）若 ，求 的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24.如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．
（1）.以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′ ， 并写出点B′、C′的坐标：B′（ ， ），C′（ ， ）；
（2）.在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（ ， ）．
25.如图，已知 CD 是 RtΔABC 斜边 AB 上的中线，过点 D 作 AC 的平行线，过点 C 作 CD 的垂线，两线相交于点 E .
（1）求证： ΔABC∼ΔDEC ；
（2）若 CE=2 ， CD=4 ，求 ΔABC 的面积.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.已知 △ABC∽△DEF ，若 ∠A=30° ， ∠E=70° ，则 ∠F 的度数为（ ）
A. 30° B. 70° C. 80° D. 120°
【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△DEF ，
∴ ∠A=∠D=30∘,
∵ ∠D+∠E+∠F=180∘，
∴ ∠F=80∘.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应角相等得出∠D的度数，进而根据三角形的内角和定理即可算出答案.
2.如图，直线 l1∥l2∥l3 ，直线 AC 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点A，B，C，直线 DF 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点D，E，F，若 ABBC=23 ，则 DEDF 的值为（ ）
A. 23 B. 35 C. 25 D. 52
【答案】 C
【解析】【解答】解：因为： l1∥l2∥l3 ，
所以： ABBC=DEEF=23 ，
所以： DEDF=25 .
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比列式，可得到DE与DF的比值。
3.若 ab=29 ，则a+bb（ ）
A. 119 B. 79 C. 911 D. 97
【答案】 A
【解析】【解答】∵ab=29 ，
∴a+bb=2+99=119.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质即可得出答案.
4.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点， 且 SΔADE:S四边形DBCE=1:8 ，那么 等于（ ）
A. 1：9 B. 1：3 C. 1：8 D. 1：2
【答案】 B
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，又∵ S△ADE：S四边形DBCE =1：8，∴ S△ADE：S△ABC =1：9，∴AE：AC=1：3．
故答案为：B．
【分析】相似三角形面积比等于对应边的比的平方，先算出面积比再开方求出对应边的比。
5.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，CE＝2AE，则下列结论中不成立的是（ ）
A. △ABC∽△ADE B. DE∥BC C. DE：BC＝1：2 D. S△ABC＝9S△ADE
【答案】 C
【解析】【解答】解：
∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴ ADBD=AEEC=12 ，
∴DE∥BC，故B不符合题意；
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
∴ DEBC=13 ，故C符合题意；
∴S△ABC＝9S△ADE ， 故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由已知条件易证DE∥BC，则△ABC∽△ADE，再由相似三角形的性质即可得到问题的选项．
6.小刚身高 1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.11m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A. 0.5m B. 0.52m C. 0.55m D. 2.22m
【答案】 B
【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 x m ，列方程得：
，
解得 x=2.22 ，
2.22−1.7=0.52m ，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 0.52m ．
故答案为：B．
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。
7.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为（ ）
A. 163 B. 8 C. 10 D. 16
【答案】 C
【解析】【解答】因为EF∥AB，DE：EA = 2：3，EF = 4，所以根据相似三角形的性质得AB=10，根据平行四边形的性质得AB=CD=10，故选C
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△DEF∽△DAB，于是可得比例式DEDA=EFAB求得AB的值，再根据平行四边形的性质得CD=AB可求解.
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6
【答案】 B
【解析】【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，
∴AD：BC=1：2；
∵AD∥BC，
∴△AOD～△BOC，
∵AD：BC=1：2，
∴S△AOD：S△BOC=1：4．
故选：B．
【分析】首先根据S△ACD：S△ABC=1：2，可得AD：BC=1：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S△AOD：S△BOC是多少即可．
9.如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A. 3cm B. 2 2 cm C. 2.5cm D. 3.5cm
【答案】 A
【解析】【解答】解：由题意可知：∠GFB=∠DEC=90º，
∴∠B+∠BGF=90º，
∵∠BAC=90º，
∴∠B+∠C=90º，
∴∠BGF=∠C，
∴△BGF∽△DCE，
∴ BFDE=GFCE ，
∵BF=4.5cm，CE=2cm，GF=DE，
∴ 4.5GF=GF2 ，
∴GF=3cm.
故答案为：A.
【分析】由同角的余角相等可得∠BGF=∠C，然后根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得△BGF∽△DCE，于是可得比例式BFDE=GFCE ， 则GF的值可求解。
10.如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD=AH•AF；其中结论正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】 D
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
{BF=AE∠B=∠EACBC=AC ，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°
故②正确；
∵∠BAF=∠ACE，∠AEC=∠AEC，
∴△AEH∽△CEA，
故③正确；
在菱形ABCD中，AD=AB，
∵△AEH∽△CEA，∴△ABF≌△CAE，
∴△AEH∽△ABF，
∴ AEAF=AHAB ，
∴ AEAF=AHAD ，
∴AE•AD=AH•AF，
故④正确，
故答案为：D．
【分析】由菱形的性质易证得△ABC是等边三角形，则∠B=∠EAC=60°，由SAS即可得①；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，可求得②正确；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，从而证得△AHK是等边三角形，然后由AAS可证得△AKD≌△AHC，则AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得④正确．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11.若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是 ， △A′B′C′的周长是 ．
【答案】 2：5；37.5
【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′
∴相似比是6：15=2：5
∵△ABC的周长是15
∴△A′B′C′的周长是37.5．
故答案为：2：5； 37.5.
【分析】根据相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比可求解。
12.已知 △ABC∽△DEF ，它们的周长分别为 3 和 1 ，则 △ABC 与 △DEF 面积之比为 .
【答案】 9:1
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△DEF 且它们的周长分别为 3 和 1 ，
∴ △ABC 与 △DEF 的相似比为3：1
∴ △ABC 与 △DEF 的面积比为9：1
故答案为：9：1.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比，面积之比等于形似比的平方即可得出结果.
13.某一时刻，长为1m的标杆影长为0.8m，此时身高为1.75m的小明影长为________m.
【答案】 75
【解析】【解答】设小明影子长为 xm ，
∵ 长为 1m 的标杆影长为 0.8m ，小明身高为 1.75m ，
∴ 10.8=1.75x 解之得： x=75
故答案为： 75
【分析】设小明影子长为 xm ，根据同一时刻物高与影子长度对应成比例，列出关于 x 的方程，即可求出答案.
14.如图， AB ， CD 相交于 O 点， ΔAOC∼ΔBOD ， OC:CD=1:3 ， AC=2 ，则 BD 的长为________．
【答案】 4
【解析】【解答】∵ △AOC∼△BOD ，
∴ ACBD=OCOD ．
∵ OC:CD=1:3 ，
∴ ACBD=OCOD=12 ．
∵AC=2 ，
∴BD=4 ．
故答案为：4．
【分析】根据相似三角形的性质有 ACBD=OCOD ，再利用 OC:CD=1:3 求出 OC:OD 的比值，即可求出答案．
15.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一躲墙上，如图，此时测得地面上的影长为8米，墙上的影长为4米．同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 。
【答案】 8
【解析】【解答】解：设地面影长对应的树高为x米，
由题意得x8=12 ，
解得x=4，
∵墙上的影长为4米，
∴树的高度为4+4=8米.
故答案为：8米.
【分析】设地面影长对应的树高为x米，根据阳光照射下的物长与影长的比值相同列出方程，求出x的值，再加上墙上的影长即可.
16.如图，CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝________.
【答案】 1：5
【解析】【解答】解：过点D作DH∥BE交AC于H，
∵DH∥BE，
∴ AEEH=AFFD=1 ， CHEH=CDDB=3 ，
∴AE＝EH，CH＝3EH，
∴AE：AC＝1：5，
故答案为：1：5.
【分析】作DH∥BE，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到AE＝EH，CH＝3EH，得到答案.
17.在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 ．
【答案】 （2n﹣1﹣1，2n﹣1）
【解析】【解答】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
代入y=kx+b得 {b=1k+b=2 ，
解得： {b=1k=1 ．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；
则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；
据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1 ， 横坐标是：2n﹣1﹣1．
故点An的坐标为 （2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
故答案是：（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．
【分析】首先求得直线的解析式，分别求得A1 ， A2 ， A3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18.如图， AB//CD//EF ，点C在AE上，点G在EF上，AF、BG交于点D，已知 CD=5 米， EG=6 米， GF=9 米，求AB的长.
【答案】 解： ∵CD//EF ，
∴△ACD ∽ △AEF ，
∴ADAF=CDEF ，即 ADAF=56+9=13 ，
∴ADDF=12 ，
∵AB//EF ，
∴△ADB ∽ △FDG ，
∴ABGF=ADDF ，即 AB9=12 ，
解得， AB=4.5( 米 ) .
【解析】【分析】证明 △ACD ∽ △AEF ，根据相似三角形的性质得到 ADDF=12 ，证明 △ADB ∽ △FDG ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.
19.如图，点E，F分别为正方形ABCD边AB和CD上的中点， BE与AF交于点G.求证：AD2＝DG·DE
【答案】 证明：∵四边形ABCD是正方形，
又∵点E，F分别为正方形ABCD边AB和CD上的中点
∴AE=BF
在△BAF和△ADE中，
∵ {AD=AB∠DAE=∠ABFAE=BF
∴ ΔDAE≅ΔABF ，
∴ ∠ ADE= ∠ BAF，AF=ED
又∵ ∠ BAF+ ∠ GAD=90°， ∠ BAF+ ∠ AFB=90°
∴ ∠ GAD= ∠ AFB
在△BAF和△ADG中，
∠ ADE= ∠ BAF， ∠ GAD= ∠ AFB
∴△ADG ∽△FAB
∴ ADAF=DGAB
又∵AF=DE，AB=AD
∴ AD2=DG·DE .
【解析】【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定方法判断出 ΔDAE≅ΔABF ， 根据渠道数据线的性质得出 ∠ ADE= ∠ BAF，AF=ED ，然后根据同角的余角相等得出 ∠ GAD= ∠ AFB ，进而判断出 △ADG ∽△FAB ，根据相似三角形对应边成比例得出ADAF=DGAB ， 根据比例式及等量代换即可得出结论.
20.如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且 EBBG=BHFH ，DG∥AB，求证：DF＝BG．
【答案】 证明：∵DG∥AB，
∴ EBBG=EHDH ，
∵ EBBG=BHFH ，
∴ EHDH=BHFH ，
∵∠EHB＝∠DHF，
∴△DFH∽△EBH，
∴∠E＝∠FDH，
∴DF//BC，
∴四边形BGDF平行四边形，
∴DF＝BG．
【解析】【分析】证明△DFH∽△EBH，证出DF‖BC，可证出四边形BGDF平行四边形，则DF=BG．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21.已知 a、b、c是△ABC的三边长，且 a5=b4=c6≠0 ，
求，
（1）.2a+b3c 的值。
（2）.若△ABC的周长为90，求各边的长
【答案】 （1）解： 设a5=b4=c6=k ，
∴a=5k，b=4k，c=6k，
∴2a+b3c=10k+4k18k=79；
（2）解： ∵ △ABC的周长为90，
∴5k+4k+6k=90，
∴k=6，
∴a=30，b=24，c=36.
【解析】【分析】（1）根据题意设a=5k，b=4k，c=6k，代入原式进行计算，即可求解；
（2）根据△ABC的周长为90，列出方程求出k的值，从而求出a，b，c的值，即可求解.
22.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）.求证：△ABC∽△ACD
（2）.若AD=2，AB=5.求AC的长．
【答案】 （1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
（2）解：△ABC∽△ACD
∴ ACAD=ABAC
∵AD=2, AB=5
∴ AC2=5AC
∴AC= 10
【解析】【分析】（1）由已知条件可直接证明△ABC∽△ACD。
（2）利用相似三角形的性质，可得到对应边成比例，将AD、AB代入就可求出AC的长。
23.如图，矩形 中， 为 上一点， 于 ．
（1）与 相似吗？请说明理由；
（2）若 ，求 的长．
【答案】 （1）△ABE∽△ADF,理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵DF⊥AE
∴∠AFD=90°,
在△ABE与△ADF中，
∵∠B=∠AFD=90°，∠DAE=∠AEB，
∴△ABE∽△ADF,
（2）在Rt△ABE中，∵AB=6,BE=8,∴AE=10,
∵△ABE∽△ADF,
∴ABDF=AEAD,即6DF=1012,
解得：DF=7.2
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出∠B=90°,AD∥BC,根据二直线平行，内错角相等得出∠DAE=∠AEB,然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△ABE∽△ADF；（2）首先根据勾股定理算出AE的长，然后根据相似三角形对应边成比例得出ABDF=AEAD ， 由比例式列出方程即可求出DF的长。
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24.如图，在正方形网格中，△OBC的顶点分别为O（0，0），B（3，﹣1）、C（2，1）．
（1）.以点O（0，0）为位似中心，按比例尺2：1在位似中心的异侧将△OBC放大为△OB′C′，放大后点B、C两点的对应点分别为B′、C′，画出△OB′C′ ， 并写出点B′、C′的坐标：B′（ ， ），C′（ ， ）；
（2）.在（1）中，若点M（x，y）为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M′的坐标（ ， ）．
【答案】 （1）；﹣6；2；﹣4；﹣2
（2）﹣2x；﹣2y
【解析】【解答】解：（1）如图
B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）
2）M′（﹣2x，﹣2y）．
【分析】（1）延长BO，CO，根据相似比，在延长线上分别截取AO，BO，CO的2倍，确定所作的位似图形的关键点A'，B'，C'再顺次连接所作各点，即可得到放大2倍的位似图形△OB'C'；再根据点的位置写出点的坐标即可；（2）M′的坐标的横坐标、纵坐标分别是M的坐标的2倍的相反数．
25.如图，已知 CD 是 RtΔABC 斜边 AB 上的中线，过点 D 作 AC 的平行线，过点 C 作 CD 的垂线，两线相交于点 E .
（1）求证： ΔABC∼ΔDEC ；
（2）若 CE=2 ， CD=4 ，求 ΔABC 的面积.
【答案】 （1）证明：∵ CD 为 RtΔABC 斜边上的中线，
∴ CD=12AB=AD ，
∴ ∠A=∠ACD ，
∵ DE//AC ，
∴ ∠CDE=∠ACD=∠A ，
又∵ ∠ACB=∠DCE=90° ，
∴ ΔABC∼ΔDEC
（2）解：在 RtΔDCE 中， CE=2 ， CD=4 ，
∴ DE=22+42=25 ， SΔDEC=12×2×4=4 ，
∵ CD 为 RtΔABC 斜边上的中线，
∴ AB=2CD=8 ，
∵ ΔABC∼ΔDEC ，
∴ SΔABCSΔDEC=(ABDE)2 ，即 SΔABC4=(825)2 ，
∴ SΔABC=645 .
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=12AB，根据等边对等角可得∠A=∠ACD，再由平行线的性质可得∠CDE=∠ACD=∠A，于是根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△DEC；
（2）在直角三角形DCE中，用勾股定理可求得DE的长，根据S△DEC=12CD.CE可求得三角形的面积；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，由（1）知，△ABC∽△DEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得S△ABCS△DEC=ABDE2,把AB、DE、S△DEC的值的代入计算即可求解。
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