河南省原阳县第三高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 含答案

这是一份河南省原阳县第三高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 含答案，共19页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，在中，一定成立的等式是等内容，欢迎下载使用。
考试范围：必修五第一章~第二章；考试时间：120分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．若A，B是△ABC的内角，且sinAsinB，则A与B的关系正确的是（ ）
A．ABB．ABC．A+BD．无法确定
2．已知△ABC的角A，B，C所对的边为，则a＝（ ）
A．B．2C．D．3
3．已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S9＝18，am＝2，则m＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（ ）
A．7尺B．14尺C．21尺D．28尺
5．在中，一定成立的等式是（ ）
A． B．
C．D．
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若abcsC，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
7．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a kmB． a km
C． akmD．2akm
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（ ）
A．13B．14
C．15D．16
9．设是等比数列，则下列结论中正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知数列{an}中，a1=2，an=1﹣（n≥2），则a2017等于（ ）
A．﹣B．C．﹣1D．2
11．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S为△ABC的面积，，且A、B、C成等差数列，则C的大小为（ ）
A．B．C．D．
12．数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（ ）
①存在实数，使得为等差数列；
②存在实数，使得为等比数列；
③若存在使得，则实数唯一.
A．①B．①②C．①③D．①②③
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．的周长等于，则其外接圆直径等于__________．
14．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为______.
15．中，角的对边分别为，当最大时，__________．
16．等比数列满足，且，则__________．
三、解答题
17．在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝．
（1）求sinB的值；
（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．
18．如图，在四边形中，，，，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
19．已知数列满足：.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；
（2）求数列的前项和.
20．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
21．如图，在中，，点在边上，且.
（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值.
22．已知数列满足，（，），
（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；
（2）数列的前项和为，求证：对任意，.
参考答案
1．B
【分析】
根据正弦定理转化为ab，利用大角对大边的性质进行判断即可．
【详解】
由正弦定理可知：，
又当 但A+B，故Ｃ错误
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数角的大小比较，结合正弦定理以及大边对大角是解决本题的关键．
2．B
【分析】
直接根据余弦定理化简可得，解方程得到a的值，得到答案.
【详解】
由余弦定理可得 ：csC＝，
即＝，
整理可得，
解可得a＝2，a＝(舍去).
故选：B.
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，尤其注意的是增根的讨论，属于基础题型.
3．B
【分析】
根据等差数列的性质和求和公式可得
【详解】
解：S9＝＝9a5＝18，∴a5＝2，
∵am＝2，∴m＝5，
故选：B．
【点评】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属于基础题．
4．C
【分析】
根据题意利用等差数列前项和公式列方程，解方程求得第30天织布.
【详解】
依题意可知，织布数量是首项为，公差的等差数列，且，即，解得（尺）.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查等差数列的前项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题.
5．D
【分析】
利用特殊值排除A、B、C，利用正弦定理判断D
【详解】
如果为直角三角形且，则，此时A、B、C均不成立，
由正弦定理可得，故，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦定理，考查对基础知识理解.
6．B
【分析】
利用余弦定理，将，转化为，化简即可判断△ABC的形状.
【详解】
因为，则，得，
所以为直角三角形.
故选：B
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用，三角形形状的判断，属于基础题.
7．B
【分析】
先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．
【详解】
在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．
8．B
【分析】
由已知条件利用等差数列的前项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十四日所织尺数．
【详解】
设第一天织尺，从第二天起每天比第一天多织尺，
由已知得
解得： ，
∴第十四日所织尺数为 ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础的计算题．
9．D
【解析】
，
则
故选
10．D
【解析】
,,……由此可知周期为3,易知
故选D
11．C
【分析】
先根据三角形面积公式得出，再由等差数列求出，由余弦定理得到，联立上式即可得出a、b、c之间的关系，再用余弦定理即可求出结果.
【详解】
根据题意，在△ABC中，A+C＝π﹣B，则sin（A+C）＝sinB，
又由，则有，变形可得：①
若A、B、C成等差数列，则，则，
变形可得②，
联立①②可得：，即，
又由，则，即，
则＝，故.
故选：C
【点睛】
本题主要考查余弦定理和三角形面积公式，涉及到等差数列等差中项问题，解题的关键是对公式的熟练应用.
12．A
【分析】
假设为等差数列，根据，求得，得到，使得恒成立，可判定①正确；假设为等比数列，求得，可判定②不是真命题；由，可得，， ，，各式相加得到，进而得到，可判定③不是真命题.
【详解】
①中，假设为等差数列，则，
则，
可得，显然当时，可得，
使得恒成立，所以存在使得数列为等差数列，所以①正确；
②中，假设数列为等比数列，则
则，可得，
即，即，
该式中有为定值，是变量，所以这样的实数不存在，所以②不是真命题；
③中，由，可得，， ，
，
将上述各式相加，可得
，
即，即，
若存在这样的实数，则有，
从而，可知满足该式的不唯一，所以③不是真命题.
故选：A.
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
13．3
【分析】
根据正弦定理求解.
【详解】
因为的周长等于，所以，因此由正弦定理得，即外接圆直径等于3.
【点睛】
本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．8
【解析】
，则
即
，由二次函数的对称轴为可知，当时，取最小值。
故答案为
15．
【解析】
,
当且仅当，取等号，∴∠C的最大值为75°，此时sinC=,，
∴.
故答案为
16．9
【详解】
因为数列为等比数列，根据等比数列性质，
，故填9．
17．（1）；
（2）3.
【分析】
（1）利用余弦定理可求得，再根据正弦定理求得；（2）根据同角三角函数关系求得，利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式求得结果.
【详解】
（1）由余弦定理可得：
由正弦定理可得：
（2）为锐角
由余弦定理得：
又
【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，属于常考题型.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）设，，由余弦定理求出，，再由正弦定理能求出；
（2）由可得，由此可得，再利用正弦定理能求出．
【详解】
解：（1）因为，
所以可设，，．又，，
所以由余弦定理，得，解得,
所以，，．
（2）因为，
所以，
所以，
因为，
所以．
19．（1）见证明；（2）
【分析】
（1）由变形得，即，从而可证得结论成立，进而可求出通项公式；（2）由（1）及条件可求出，然后根据分组求和法可得．
【详解】
（1）证明：因为，
所以．
因为
所以
所以．
又，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以．
（2）解：由（1）可得，
所以
．
【点睛】
证明数列为等比数列时，在得到后，不要忘了说明数列中没有零项这一步骤．另外，对于数列的求和问题，解题时要根据通项公式的特点选择合适的方法进行求解，属于基础题．
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）由，得到，结合，即可求解；
（2）由（1）和正弦定理，得到，，进而化简，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意知，可得，
又因为，可得，所以，所以.
（2）由（1）知，且，
根据正弦定理，可得，
所以，.
所以
，
因为为锐角三角形，可得，所以，
所以，所以，
即的取值范围为.
21．(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）由，进而得，然后利用正弦定理求边长；（2）由，得，.，利用余弦定理得，从而
试题解析：
（Ⅰ）在中，∵.∴ .
在中，由正弦定理得，即，解得.
（Ⅱ）∵，∴，解得，∴，在中，，在中，.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
22．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由l两边同时除以得到有，再构造等比数列得解
（2）放缩，再利用等比数列求和得解.
【详解】
（1）由有，∴
∴数列是首项为，公比为2的等比数列.
∴，∴
（2），
∴，
.
【点睛】
本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.