人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题教案

这是一份人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题教案，共4页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。
13．4　课题学习　最短路径问题一、基本目标【知识与技能】1．理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定．2．理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段使得顺次连结的三条线段之和最小的位置的确定．【过程与方法】经历观察—画图—说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力及把实际问题转化为数学问题的能力，感悟转化思想，数形结合思想的运用．【情感态度与价值观】从生活实际问题出发，唤起学生的学习兴趣，激发学生学习欲望，从而主动参与数学学习活动中，体会解决问题的成功感受，同时感悟数学来源于生活又用于生活．二、重难点目标【教学重点】利用轴对称解决简单的最短路径问题．【教学难点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P85～P87的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，要在街道旁修建一个供水站，向居民区A、B提供饮用水，分别满足以下条件，供水站应建在什么地方？(1)使从A、B到它的距离相等；(2)使从A，B到它的距离之和最短．解：(1)建在线段AB的垂直平分线与街道的交点上．(2)建在点A关于街道的对称点和点B的连线与街道的交点上．图略．2．如教材P87图13.4－9，路径AMNB最短的依据是什么？解：依据有2点：①平移前后的线段平行且相等；②两点之间线段最短．环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】如教材P87图13.4－9，求证：AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B.【互动探索】(引发学生思考)证明线段间的不等式关系，一般从三角形的三边关系入手．【证明】由题意，得AM＝A′N，AM′＝A′N′，MN＝M′N′.∴AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B.又∵A′B<A′N′＋N′B，∴AM＋NB<AM′＋N′B.∴AM＋NM＋NB<AM′＋M′N′＋N′B.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用三角形的三边关系证明线段和之间的不等关系是常用的技巧．活动2　巩固练习(学生独学)某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO、BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？解：如图：(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1；(2)连结C1D1，分别交OA、OB于P、Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．活动3　拓展延伸(学生对学)【例2】如图，A、B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．【互动探索】此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．【解答】如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连结CA、C′A、C′A′、C′B.因为点A、A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A－C′B＜CA－CB.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．环节3　课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)利用轴对称、平移等变换可以解决最短路径问题．请完成本课时对应练习！