数学八年级上册14.3 因式分解综合与测试教案

这是一份数学八年级上册14.3 因式分解综合与测试教案，共10页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。

14．3　因式分解
14．3.1　提公因式法(第1课时)

一、基本目标
【知识与技能】
1．明确提公因式法分解因式与单项式乘多项式的关系．
2．能正确找出多项式的公因式，熟练用提公因式法分解简单的多项式．
【过程与方法】
1．经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．
2．使学生经历探索多项式各项公因式的过程，根据化归思想方法进行因式分解．
【情感态度与价值观】
培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动、积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．
二、重难点目标
【教学重点】
用提公因式法把多项式分解因式．
【教学难点】
整式乘法与因式分解之间的关系，正确确定多项式的最大公因式．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P114～P115的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
一、因式分解的概念
1．把下列多项式写成整式的积的形式：
x2＋x＝x(x＋1)；　x2－1＝(x＋1)(x－1)；ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式)．
3．多项式与因式分解的关系：
多项式整式的乘积
4．下列各式从左到右的变形为因式分解的是③.(填序号)
①(x＋1)(x－1)＝x2－1；②a2－1＋b2＝(a＋1)(a－1)＋b2；③7x－7＝7(x－1)．
二、公因式与提公因式法
1．公因式：如果一个多项式中各项都含有一个公共的因式，那么这个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．如pa＋pb＋pc中，p是这个多项式的公因式．
2．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．字母表示：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)．
3．多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是3ab.
4．把下列各式分解因式：
(1)3x2－6xy；
(2)3a2(x－y)3－4b2(y－x)2.
解：(1)x(3x－6y)．　(2)(x－y)2(3a2－4b2)．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】把下列各式分解因式：
(1)(1)4x2y3＋8x2y2z－12xy2z；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
【互动探索】(引发学生思考)找出式子的公因式→确定提公因式后剩下的多项式→写成乘积形式．
【解答】(1)(1)原式＝4xy2(xy＋2xz－3z)．
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)．
(3)原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b)＝(a＋b)·(a－b－1)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)确定多项式中各项的最大公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
【例2】已知2x－y＝1，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
【互动探索】(引发学生思考)因式分解2x4y3－x3y4→确定已知等式与因式分解结果的关系→代入求值．
【解答】原式＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)＝23×1＝8.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题的一般步骤：先分解因式→再代值计算．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．下列从左到右的变形中是因式分解的有(　B　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是(　C　)
A．5mn　 B．5m2n2
C．5m2n　 D．5mn2
3．把2(x－3)＋x(3－x)提取公因式(x－3)后，另一个因式是(　C　)
A．x－2　 B．x＋2
C．2－x　 D．－2－x
4．把下列各式分解因式：
(1)a2x2y－axy2；
(2)3a(x－y)－5b(y－x)；
(3)x2(a－1)＋x(1－a)；
(4)x(x2－xy)－(4x2－4xy)．
解：(1)axy(ax－y)．　(2)(x－y)(3a＋5b)．
(3)x(a－1)(x－1)．　(4)x(x－y)(x－4)．
5．已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
教师点拨：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【互动探索】要判断△ABC的形状→化简已知等式，找出边a、b、c之间的关系→确定△ABC的形状．
【解答】△ABC是等腰三角形．理由如下：
由a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，则(a－c)＋2b(a－c)＝0，即(a－c)(1＋2b)＝0，∴(a－c)＝0或(1＋2b)＝0，即a＝c或b＝－(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)通过提公因式分解因式，从而找出三边的关系来判定三角形的形状．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
因式分解与整式乘法是方向相反的变形．
整式乘法↔因式分解——提公因式法
字母表示：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)，其中p为公因式．

请完成本课时对应练习！
14.3.2　公式法
第2课时　平方差公式

一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握平方差公式分解因式的方法．
2．掌握提公因式法、平方差公式分解因式的综合运用．
【过程与方法】
通过平方差公式逆向的变形，发展学生逆向思维；通过将高次偶数指数向2次指数的转化，培养学生的化归思想．
【情感态度与价值观】
培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法，体会数学在实际问题中的应用价值．
二、重难点目标
【教学重点】
运用平方差公式分解因式．
【教学难点】
平方差公式的逆用及高次指数的转化、两种因式分解方法的灵活运用．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P116～P117的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(y＋5)(y－5)＝y2－25.
(2)根据(1)中等式填空：
x2－4＝(x＋2)(x－2)；y2－25＝(y＋5)(y－5).
2．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
3．下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是②.(填序号)
①x2＋y2；②1－x2；③－x2－y2；④x2－xy.
3．分解因式：
(1)4x2－9y2；(2)16－a4；(3)(a2＋1)2－4a2
解：(1)(2x＋3y)(2x－3y)．　(2)(4＋a2)(2＋a)(2－a)．　(3)(a＋1)2(a－1)2.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】分解因式：
(1)x2－9y2；
(2)16x4－y4；
(3)12a2x2－27b2y2；
(4)(x＋2y)2－(x－3y)2；
(5)m2(16x－y)＋n2(y－16x)．
【互动探索】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解．
【解答】(1)x2－9y2＝x2－(3y)2＝(x＋3y)(x－3y)．
(2)16x4－y4＝(4x2＋y2)(4x2－y2)＝(4x2＋y2)(2x＋y)(2x－y)．
(3)12a2x2－27b2y2＝3(4a2x2－9b2y2)＝3(2ax＋3by)(2ax－3by)．
(4)(x＋2y)2－(x－3y)2＝[(x＋2y)＋(x－3y)][(x＋2y)－(x－3y)]＝5y(2x－y)．
(5)m2(16x－y)＋n2(y－16x)＝(16x－y)·(m2－n2)＝(16x－y)(m＋n)(m－n)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．(2)在平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数．
【例2】248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．
【互动探索】被自然数整除的含义是什么？248－1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？
【解答】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)·(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．
∵26＝64，∴26－1＝63,26＋1＝65，
∴这两个数是65和63.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　D　)
A．a2＋(－b)2　 B．5m2－20mn
C．－x2－y2　 D．－x2＋9
2．下列各式从左到右的变形正确的是(　D　)
A．－2x＋4y＝－2(x－4y)
B．a2－6＝(a＋2)(a－3)
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
3．当整数a为－4时(只写一个)，多项式x2＋a能用平方差公式分解因式．
教师点拨：此题答案不唯一．
4．分解因式：
(1)a4－b4；
(2)x3y2－xy4；
(3)(a＋b)2－4a2；
(4)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1).
(2)xy2(x＋y)(x－y)．
(3)(b－a)(3a＋b)．
(4)4(m＋2n)(2m＋n)．
5．已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】利用因式分解计算：
(1)1012－992；
(2)5722×－4282×.
【互动探索】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解．
【解答】(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400.
(2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36 000.
【互动总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，若通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．分解因式的步骤：先排列，首系数不为负；然后提取公因式；再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解．
2．不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件．

请完成本课时对应练习！
第3课时　完全平方公式

一、基本目标
【知识与技能】
1．理解用完全平方公式分解因式的原理．
2．初步掌握适合用完全平方公式分解因式的条件，会用完全平方公式分解因式．
【过程与方法】
经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．
【情感态度与价值观】
培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握用完全平方公式分解因式．
【教学难点】
识别并掌握用完全平方公式分解因式的条件．

环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P117～P119的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．填空：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．根据(1)中的式子填空：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
3．形如a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．
4．完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
4．.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是③.(填序号)
①x2－2x－2；②x2＋1；③x2－4x＋4；④x2＋4x＋1.
5．分解因式：
(1)9x2＋6x＋1；
(2)3m2n－12mn＋12n；
(3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.
解：(1)(3x＋1)2.　(2)3n(m－2)2.
(3)(a＋b－6)2.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
【互动探索】(引发学生思考)观察式子中的各项，提取公因式，用公式进行因式分解．
【解答】(1)原式＝－3a2·(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)·(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)分解因式的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
【例2】已知|b－4|＋a2－a＋＝0，求ab的值．
【互动探索】(引发学生思考)等式左边变形→转化为|b－4|＋2＝0→确定a、b的值→ab的值．
【解答】依题意，得|b－4|＋2＝0.
∴∴
∴ab＝4＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)先分解因式得到两个非负数的和，再根据绝对值和完全平方数的非负性求出a、b.
活动2　巩固练习(学生独学)
1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　B　)
(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．有一个式子为x2＋6x＋△＝(x＋Ω)2，则(　A　)
A．△＝9，Ω＝3　 B．△＝6，Ω＝3
C．△＝3，Ω＝9　 D．△＝3，Ω＝6
3．若x2＋(m－3)x＋16可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于－5或11.
4．因式分解：
(1)2a3－4a2b＋2ab2；
(2)(x＋2)(x＋3)＋；
(3)(x2－1)2＋6(1－x2)＋9.
解：(1)2a(a－b)2.　(2)2.
(3)(x＋2)2(x－2)2.
5．利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500.
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】已知x＋＝4，求：
(1)x2＋的值；
(2)2的值．
【互动探索】确定x＋与所求式子之间的联系→利用完全公式变形x2＋＝2－2，2＝2－4→代入数据求值．
解：(1)x2＋＝2－2＝42－2＝14.
(2)2＝2－4＝42－4＝12.
【互动总结】(学生总结，老师点评)这里需要活用公式，如x2＋＝2－2，2＝2－4，将两个完全平方公式进行互相转化．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．用完全平方式分解因式，关键在于观察各项之间的关系，配凑a、b.
2．分解因式的步骤：先排列，使首项系数不为负；提取公因式；然后运用公式法；检查各因式是否能再分解．

请完成本课时对应练习！