数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径第2课时教案

这是一份数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径第2课时教案，共4页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。
24.1.2　垂直于弦的直径(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解与掌握圆的对称性、垂径定理及其推论．2．运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，获得几何学习的一些常用方法：合情推理、证明、抽象概括等．【情感态度与价值观】通过观察、操作、变换和研究的过程，进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论．【教学难点】垂径定理及其推论的运用．环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P81～P83的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．圆是__轴对称__图形，任何一条直径所在直线都是圆的__对称轴__.2．垂径定理：垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧．即一条直线如果满足：①CD经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于M；那么可以推出：③__AM_＝_BM__ ，④__＝__，⑤__＝.3．垂径定理的推论：__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条弧．环节2　合作探究，解决问题【活动1】　小组讨论(师生互学)【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高)．【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高，结合垂径定理，考虑怎样作辅助线才能得到水深？【解答】如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连结OB.根据垂径定理，得C是AB的中点，D是的中点，CD就是水深，则BC＝AB＝0.3米．由题意知，OD＝OB＝0.5米，在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝＝0.4米，所以CD＝OD－OC＝0.1米，即此时的水深为0.1米．【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决．【活动2】　巩固练习(学生独学)1．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是多少？解：连结AO.由题意可知，OA＝OC＝5，则OD＝OC－CD＝5－1＝4.∵OC⊥AB，∴∠ODA＝90°，∴AD＝＝3.又∵AB为⊙O的弦，∴AB＝2AD＝6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm.求截面圆心O到水面的距离．解：过点O作OC⊥AB于点C.∵OC⊥AB，AB＝16 cm，∴∠OCB＝90°，BC＝AB＝8 cm.又∵OB＝10 cm，∴OC＝＝6 cm，即截面圆心O到水面的距离为6 cm.3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为点F，EF＝90 m，求这段弯路的半径．解：如图，连结OC.设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.∵OE⊥CD，CD＝600 m，∴∠OFC＝90°，CF＝CD＝300 m．在Rt△OFC中， 根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2，解得R＝545.即这段弯路的半径为545 m. 【活动3】　拓展延伸(学生对学)【例2】已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，弦CD＝10，AB∥CD，求这两条平行弦AB、CD之间的距离．【互动探索】(引发学生思考)要求两条平行弦AB、CD之间的距离，想到垂直，又在圆中已知弦长，则可以想到垂径定理，由此根据这些怎么作图呢？根据题中数据怎样求解呢？【解答】分两种情况讨论：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连结OC、OA.由题意可知，OA＝OC＝13.∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB.又∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，∴EO＝＝5，OF＝＝12，∴EF＝OF－OE＝7.当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，过点O作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连结OC、OA.同(1)可得，EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF＋OE＝17.综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【例3】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【互动探索】(引发学生思考)求当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施，那么此时水面到拱顶的距离为多少？怎样求出这个距离？【解答】不需要采取紧急措施．理由如下：连结OM，设OA＝R m.由题意知，在Rt△AOC中，AC＝AB＝30 m，CD＝18 m，由勾股定理，得R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34.在Rt△MOE中，ME＝MN＝16 m，∴OE＝＝30 m，∴DE＝OD－OE＝4 m.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意根据垂径定理，利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解．环节3　课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！