初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角第4课时教学设计

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角第4课时教学设计，共5页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。
24.1.4　圆周角(第4课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能解决相关问题．2．理解圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质．【过程与方法】1．经历圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明命题的思想和方法，体会类比、分类的数学方法．2．经历圆内接四边形性质的证明，引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．【情感态度与价值观】通过圆周角定理的证明向学生渗透由特殊到一般，由一般到特殊的数学思想方法，体现了辩证唯物主义从未知到已知的认识规律，并在解答问题的活动中获取成功的体验，建立学好数学的信心．二、重难点目标【教学重点】圆周角的概念，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质．【教学难点】探究并论证圆周角定理及其推论．环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P85～P88的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．顶点在__圆上__，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__一半__.3. 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角__相等__ ；半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__,90°的圆周角所对的弦是__直径__.4．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__圆内接多边形__，这个圆叫做这个多边形的外接圆．5．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角__互补__.环节2　合作探究，解决问题【活动1】　小组讨论(师生互学)【例1】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°.若点P为上，求∠P的度数．【互动探索】(引发学生思考)求∠P的度数，题中只知道∠C的度数，两者有什么关系吗？可以转化为求什么？由⊙O的内接四边形ABCD可以得到什么？这与求∠P的度数有什么关系？【解答】如图，连结BD.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD＋∠C＝180°，∴∠BAD＝180°－∠C＝70°.又∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝(180°－∠BAD)＝55°.∵四边形APBD是⊙O的内接四边形，∴∠P＋∠ADB＝180°，∴∠P＝180°－∠ADB＝125°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的关键是正确作出辅助线，题中可以多次运用圆内接四边形的性质．【例2】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点(在直径AB的同一侧)，且＝，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB＝110°，求∠ABD的度数．【互动探索】(引发学生思考)求∠ABD的度数，∠ABD在△ABP中，又∠APB＝110°，此时想到什么？已知AB是⊙O的直径，＝结合圆周角定理及其推论，可以求出哪些角？【解答】如图，连结CD、CB.∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠APB＝∠DPC＝110°，∴∠CBD＝∠DPC－∠ACB＝20°.∵＝，∴∠CBD＝∠CAB＝20°，∴∠ABD＝180°－∠APB－∠CAB＝50°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是正确作出辅助线，利用等弧所对的圆周角相等求出∠CAB的度数．【活动2】　巩固练习(学生独学)1．在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为50°，则它所对的圆周角的度数为(　C　)A．25°　 B．50°C．25°或155°　 D．50°或130°【教师点拨】圆中一条弦(非直径)对应的弧有两条：一条优弧、一条劣弧．2．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为__70°__.3．如图，A、B、C为⊙O上的任意三点，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为__130°__.【教师点拨】综合利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求解．4．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠ACD＝25°，∴∠B＝∠ACD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.5．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长． 解：如图，连结OC.∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，∴∠AOC＝∠DAC，∴AO＝AC.又∵OA＝OC，∴AO＝AC＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝AD＝3 cm.【活动3】　拓展延伸(学生对学)【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为点D，点E为上一点，且BE＝CF.(1)求证：AE是⊙O的直径；(2)若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，求AC的长．【互动探索】(引发学生思考)(1)要证明AE是⊙O的直径，结合圆周角定理的推论可以转化为证明什么？怎样进行证明？(2)要求AC的长，求线段长的方法有哪些？题中只给出了AE的长，AC的长怎样和AE建立关系？先从哪儿入手呢？【解答】(1)证明：∵BE＝CF，∴∠BAE＝∠CAF.∵AF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAD＋∠ACD＝90°.又∵∠E＝∠ACB，∴∠E＋∠BAE＝90°，∴∠ABE＝90°，∴AE是⊙O的直径．(2)如图，连结OC.∵∠ABC＝∠CAE，∴＝，∴∠AOC＝∠EOC.由(1)知，AE是⊙O的直径，∴∠AOC＝∠EOC＝90°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等腰直角三角形．∵AE＝8，∴AO＝CO＝AE＝4，∴AC＝4.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题时，也可以逆向思考，即由所求结论和问题出发，看由结论和问题可以推出什么，再结合已知条件进行证明或求解，从而使问题得到解决．【例4】如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，＝.请连结线段BC，求四边形ABCD各内角的度数．【互动探索】(引发学生思考)求四边形ABCD各内角的度数，由AB是半圆的直径，且∠BAC＝20°，想到圆周角定理及其推论，由此可以求出哪些角的度数？又由题可知，四边形ABCD是圆的内接四边形，由此可以推出什么？【解答】如图，连结BC.∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝20°，∴∠B＝90°－∠BAC＝70°.∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠D＝180°－∠B＝110°.∵＝，∴∠DAC＝∠DCA＝(180°－∠D)＝35°，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝55°，∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝125°.即四边形ABCD各内角的度数为55°，70°，125°，110°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题综合运用了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质．解题时，要仔细审题，明确已知条件和所求问题，一步一步进行推导和计算，做到有理有据．环节3　课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！